Discussion utilisateur:VIGNERON

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    <title>Discussion utilisateur:VIGNERON</title>
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        <username>Xhungab</username>
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      <comment>Wikilivres:Prise de décision/Créer un espace lecteurs et un espace auteurs sur la page d'accueil</comment>
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      <text bytes="31239" sha1="jkjfyvm067l9747b3pykoylgndsnmeo" xml:space="preserve">Bienvenue sur [[Wikiversité:Accueil|Wikiversité]], '''{{PAGENAME}}'''

N'hésite pas à consulter [[Aide:Comment modifier une page|comment modifier une page]]
pour de premières indications sur la création et l'édition des pages sous [[Wikiversité:Accueil|Wikiversité]].
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Pour '''signer tes messages''', tu peux taper trois fois le caractère ~.
Avec un quatrième tilde, en plus de ta « signature », seront affichées la date et l’heure. Les '''pages ne sont pas signées'''. Nous utilisons souvent des sigles parfois mystérieux : tu pourras trouver leur explication dans [[w:Aide:Jargon|Jargon]].

Si tu viens d’une autre Wiki, n'oublie pas de mettre les liens vers tes autres pages perso.

Tu peux indiquer tes hobbies, tes centres d'intérêts. Tu peux pour cela éditer ta [[Utilisateur:{{PAGENAME}}|page personnelle]].

Si tu as des questions à poser, n’hesite surtout pas à me contacter, à les poser dans le [[Wikiversité:Colloque|Colloque]] ou à venir discuter sur [[w:Wikipédia:IRC|{{Abréviation|I.R.C.|Internet Relay Chat}}]].

Bonne continuation parmi nous !--[[Utilisateur:Grimlock|Grimlock]] 18 décembre 2006 à 11:50 (UTC)

== D'ici 2 mois…  ==
…retourne voir ca : [[Département:Chinois]] [[Utilisateur:Yug|Yug]] 28 janvier 2007 à 19:53 (UTC)

== Coordination des langues  ==

Salut, comme inscrit comme utilisateur prêt à aider dans les langues, je t'invite à venir faire un tour sur [[Projet:Langues étrangères]] afin de mettre les idées en commun pour la faculté de langue.

Bien à toi

[[Utilisateur:Min's|Min's]] - [[Discussion_Utilisateur:Min's|愛]] 1 mars 2007 à 17:56 (UTC)

Pour partciper à la faculté de langues, va faire un tour sur [[Projet:Langues étrangères]].&lt;br /&gt;[[Utilisateur:Vivelefrat|Vivelefrat]] &lt;sup&gt;[[Discussion_Utilisateur:Vivelefrat|Discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;&lt;span style=&quot;margin: 0px 12px 0px -6ex;&quot;&gt;[[Spécial:Emailuser/Vivelefrat|mail]]&lt;/span&gt;&lt;/sub&gt; 7 mai 2007 à 06:40 (UTC)

== Wikibanque ==

&lt;div style=&quot;margin-bottom:1.25em;border:1px solid #8898BF; background:white; padding:0;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;height:8px; margin:0; border:0; border-bottom:1px solid #8898BF; background:#6680CC; font-size:1px;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;padding:8px;&quot;&gt;
{|
|[[Fichier:Crystal_Clear_action_encrypted.png|70px]]
| bgcolor=&quot;#FFFFFF&quot; |Bonjour VIGNERON ! Je vous annonce l'ouverture officielle de la [[Projet:Wikibanque|wikibanque]] le 12 juillet 2007. Ouvrez-vous donc un compte sur [[Projet:Wikibanque/Compte|cette page]] pour pouvoir demander de la wikimonnaie [[Projet:Wikibanque/Transaction_B|ici]] (en échange de la création d’un cours ou de tout autre sorte de travail). Vous pourrez ensuite [[Discussion Projet:Wikibanque/Négocier|demander à un utilisateur de créer un cours]] qui vous tient à cœur en lui [[Projet:Wikibanque/Transaction_A|offrant de la wikimonnaie]] après avoir éventuellement [[Projet:Wikibanque/Contrat|passé un contrat]]. C’est évidemment parce que j'en suis le créateur que j'en fait (logiquement) la promotion. Néanmoins, comme tout autre outils à la disposition des utilisateurs, vous avez le droit de ne pas en faire usage. Bonne continuation sur la Wikiversité !
|}
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
[[Utilisateur:Xavier|Xavier]] 13 juillet 2007 à 03:19 (UTC)

== Barycentre ==

Salut,

Merci de contribuer à cette leçon {{Smiley|sourire}}. Ce qui était fait était juste. J’ai néanmoins modifié quelques réponses pour répondre plus exactement à ce qui est demandé dans l'énoncé. Pour l'erreur, bien vu (le copier-coller, c’est mal ^^).

Encore merci et à bientôt ! [[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]] &lt;sub&gt;[[Discussion Utilisateur:Xzapro4|discuter]]&lt;/sub&gt; 8 mai 2009 à 07:44 (UTC)

== Génie civil  ==

Le dessin technique n’est pas une notion de base du génie civil, mais simplement un outil utilisé. [[Utilisateur:Amqui|Amqui]] 16 décembre 2009 à 15:34 (UTC)

== À propos de la leçon: [[Optimiser un fichier SVG]]  ==

Bonjour, j’ai modifié la présentation de la leçon : [[Optimiser un fichier SVG]] pour les deux raisons suivantes :
* Uniformisation par rapport aux autres leçons de la Wikiversité. En effet, cette leçon était la seule, à ma connaissance, à posséder des sous-chapitres de chapitre, j’ai donc remonté les deux sous-chapitres au niveau des autres chapitres dans une section exemple.
* La gestion s'en trouve simplifiée. Si la présentation n’est pas très rigoureuse, les Bots risquent de ne pas s'y retrouver selon la tâche qu’ils ont à effectuer.
J'espère que ce remodelage ne vous posera aucun problème. Dans le cas contraire, veuillez m'en parler pour éventuellement réfléchir à une meilleure solution. Bien cordialement. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 20 décembre 2012 à 18:28 (UTC)

== À propos de la [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton]]  ==

Bonjour, j’ai dû normaliser votre recherche pour la rendre conforme au standard de la Wikiversité. En effet, vous aviez mis le [[Modèle:Département de recherche]] au lieu du [[Modèle:Recherche]]. Le département recherche qui supervise les recherches sur les langues régionales existe déjà, c’est [[Faculté:Langues régionales/Travaux de recherche]]. Je reste à votre disposition pour tout renseignement complémentaire {{sourire}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 12:07 (UTC)
:Bonjour [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]],
:Oui, je m'en suis rend compte trop tard, au moment où cela a été corrigé…
:J'avoue que les modèles de la Wikiversité me sont un peu étrangers, j'essayerais de faire attention mais une relecture serait la bienvenue.
:Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 4 août 2015 à 12:13 (UTC)
:: Ne vous inquiétez pas pour le côté technique, les patrouilleurs sont là pour vous aider jusqu'à ce que vous soyez suffisamment expérimenté. Un autre petit détail, compte tenu du formatage de la page [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton/Communes]], cette page a naturellement été intégrée comme chapitre un. Mais comme il s'agit d’une énumération de commune, je me demande s'il ne serait pas plus judicieux de l'intégrer en tant qu'annexe (voir, à titre d'exemple la [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]). Qu'en pensez-vous ? --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 12:22 (UTC)
:::D'accord pour le côté technique.
:::Très bonne idée pour déplacer la liste en annexe. Par contre, j'aurais sans doute besoin d’un équivalent de [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton/Communes]] pour documenter le travail autour de cette liste (que l’on fera demain soir IRL), qu'est-ce qui est le mieux ? garder ce nom ou en choisir un autre ?
:::J'essayerais de créer cet après-midi un premier chapitre d’introduction général.
:::Sinon, je ne suis pas sûr de quoi mettre dans « Niveau et prérequis conseillés » : « savoir enregistrer numérique et savoir parler breton », est-ce suffisant ? correct ?
:::Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 4 août 2015 à 12:51 (UTC)
:::: C’est fait, j’ai transformé la page en annexe (son format est devenu [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton/Annexe/Communes]]). Cela ne vous empêche pas de créer un chapitre qui récupère le nom de la page transformée en annexe. Vous pouvez donc garder le nom si vous le souhaitez. J’ai appelé le premier chapitre « Introduction » (histoire de ne pas laisser vide), mais vous pouvez l'appeler autrement. « savoir enregistrer numérique et savoir parler breton » me parait bien comme prérequis. {{sourire}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 13:18 (UTC)

== Création d’un journal scientifique  ==

Bonjour, Une prise de décision est lancée sur la création d’un journal scientifique dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Journal scientifique libre]]. Cordialement. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 27 août 2015 à 11:07 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=497442 --&gt;

== Création d’une bibliothèque wikiversitaire  ==

Bonjour, Une prise de décision est lancée sur la création d’une bibliothèque wikiversitaire dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Création d’une bibliothèque Wikiversitaire]]. Cordialement. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]])  9 septembre 2015 à 07:38 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=497442 --&gt;

== Candidature au statut d'administrateur  ==

[[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] propose sa candidature au statut d'administrateur (bibliothécaire) sur la page [[Wikiversité:Bibliothécaire/Candidature/Lionel Scheepmans]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501166 --&gt;

== Candidature au statut d'administrateur  ==

[[Utilisateur:Frigory|Frigory]] propose sa candidature au statut d'administrateur (bibliothécaire) sur la page [[Wikiversité:Bibliothécaire/Candidature/Frigory]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501166 --&gt;

== Supports de cours multimédia  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] sur les supports de cours multimédia dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Supports de cours multimédia]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501721 --&gt;

== Sur la désignation par le mot : « bibliothécaire » des administrateurs  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur une rectification de la désignation par le mot : « bibliothécaire » des administrateurs de la Wikiversité. Vous êtes invités à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/La Wikiversité n’est pas une bibliothèque]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Comportement en l'absence de règles  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur le comportement à adopter en l'absence de règles.

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Comportement en l'absence de règles (précision)  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur le comportement à adopter en l'absence de règles. Vous êtes invités à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Comportement en l'absence de règles]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Candidature au statut de bureaucrate  ==

[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] propose sa candidature au statut de bureaucrate sur la page [[Wikiversité:Bureaucrate/Candidature/Lydie Noria]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=516364 --&gt;

== Deux nouvelles prises de décisions au sein de Wikiversité.  ==

Bonjour,

Ce petit message pour vous informer sur l'ouverture de deux nouvelles prises de décisions au sein de notre projet. Voici les liens qui vous mènerons vers ces pages :
*[[Projet:Wikiversité/Éditeur Visuel 2]]
*[[Projet:Wikiversité/Espace de noms « Recherche » 2]]
Une belle fin de journée, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 12 janvier 2016 à 18:37 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type d'avertissement, vous pouvez vous désinscrire en retirant votre nom d’utilisateur situé sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]]&lt;/small&gt;.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=516364 --&gt;

== Autoriser la création de pages gadget-MOOC  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] sur la création de pages gadget-MOOC dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page : [[Projet:Wikiversité/Autoriser la création de pages gadget-MOOC]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=532249 --&gt;

== Nouvelle prise de décision au sujet de l'installation de Flow dans la Wikiversité  ==

Bonjour,

Une prise de décision concernant l'installation de [[w:wikipédia:Flow|Flow]] dans la Wikiversité vient d'être lancée. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page : [[Projet:Wikiversité/Flow]].

Une belle fin de journée !

[[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 juin 2016 à 17:06 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=585023 --&gt;

== Nouvelle prise de décision en cours  ==

Bonjour,

Une nouvelle [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Collaboration juive sous le nazisme|prise de décision communautaire au sujet de la suppression d'une page de recherche est en cours]]. Soyez les bienvenus pour apporter vos commentaires et vos avis. Une belle fin de journée à tous. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 26 octobre 2016 à 21:42 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=607578 --&gt;

== Nouvelle prise de décision  ==

Bonjour,

Une nouvelle prise de décision est organisée sur le recyclage de cinq facultés en département. Vous êtes invités à en discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Recyclage de cinq facultés en département]]. Cordialement.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Prise de décision sur les facultés de langues  ==

[[Utilisateur:Amqui|Amqui]] a lancé une prise de décision sur la page [[Projet:Wikiversité/Langues]]. Vous êtes invités à venir en discuter. L'objet du ou des votes n'a pas encore été clairement précisé. Si l'objet de la discussion vous intéresse, veuillez garder un œil sur la page pour voter le cas échéant. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 19 février 2017 à 04:05 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Installation d'extensions pour visualiser des vidéos externes dans la Wikiversité  ==

Bonjour, une prise de décision a été lancée dans le [[Projet:Wikiversité/Installation d'un lecteur de vidéos externes]]. Vous êtes invités à venir en discuter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 6 avril 2017 à 19:59 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Votes sur les facultés de langues  ==

Bonjour, la phase de vote a démarrée sur le [[Projet:Wikiversité/Langues]]. Vous êtes cordialement invité à venir voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 24 avril 2017 à 04:21 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Nouvelle prise de décision importante sur les principes de bonne gouvernance  ==

Bonjour, vous êtes invité à participer à une prise de décision importante pouvant potentiellement déboucher sur la mise en place de principes de bonne gouvernance au sein du projet Wikiversité francophone. Les enjeux, discussions, propositions à voter et les votes éventuels auront lieu sur la page [[Projet:Wikiversité/Principes de bonne gouvernance]]. En espérant vous y retrouver, on vous souhaite une très agréable fin de journée, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 28 avril 2017 à 09:00 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=651778 --&gt;

== Nouvelle prise de décision au sujet de Flow  ==

Bonjour, vous êtes invité à participer à une prise de décision au sujet d'une potentielle expansion de Flow sur les pages de discussions au sein de Wikiversité. Le rendez-vous est fixé sur la page [[Projet:Wikiversité/Flow 2]]. En espérant vous y retrouver nombreux, on vous souhaite une très agréable fin de journée.

P.-S. Ce message vous est envoyé parce que votre non utilisateur figure sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]]. Si vous ne voulez plus recevoir ces notifications, rendez vous sur cette page et effacez votre nom d’utilisateur qui figure dans la liste.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=651778 --&gt;

== Début des votes concernant l'installation de Flow  ==

Bonjour, vous pouvez dès à présent [[Projet:Wikiversité/Flow 2#Vote|participer aux votes]] concernant l'expansion de Flow sur les pages de discussions des espaces de noms de Wikiversité. En espérant vous y voir nombreux, nous vous souhaitons une très agréable fin de journée.

&lt;small&gt;P.-S. Ce message vous est envoyé parce que votre non utilisateur figure sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]]. Si vous ne voulez plus recevoir ces notifications, rendez vous sur cette page et effacez votre nom d’utilisateur figurant dans la liste.&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=661329 --&gt;

== Refonte des pages de discussions communautaires ==

Bonjour, Une prise de décision est proposée sur une refonte des pages de discussions communautaires. Vous êtes invités à y participer sur le [[Projet:Wikiversité/Refonte des pages de discussions communautaires]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 28 août 2017 à 09:33 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Conventions de gestion de la Wikiversité ==

Bonjour, Une prise de décision est proposée par [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur l'approbation de la page [[Wikiversité:Conventions de gestion]] qui définit les règles de gestion de la Wikiversité. Vous êtes invités à en discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 20 septembre 2017 à 01:31 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Conventions de gestion de la Wikiversité (Redémarrage) ==

Bonjour, vous êtes invité à nouveau à discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]]. [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ayant fait des modifications importantes du texte initial proposé (qui ne faisait pas consensus) et en accord avec une majorité d'utilisateurs ayant participé aux votes sur le texte initial, il a été décidé un redémarrage de la prise de décision. Les votes et les discussions concernant le texte initial ont été supprimés, veuillez nous en excuser. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 26 septembre 2017 à 06:12 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Avis de clôture des votes sur les conventions de gestion de la Wikiversité ==

Bonjour, sauf reprise des discussions, le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]] sera conclu le jeudi 5 octobre 2017. Vous êtes chaleureusement invités à venir voter avant clôture des votes. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 2 octobre 2017 à 08:12 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Proposition d'une page à la suppression ==

Bonjour, La page [[Recherche:Métajustification de Wikipedia]] est proposée à la suppression sur [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Métajustification de Wikipedia]]. Vous êtes invités à venir voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 17 décembre 2017 à 05:01 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Nouvelle candidature au statut d'administrateur ==

Bonjour. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] propose sa candidature au statut d'administrateur de la Wikiversité. Vous êtes invités à venir en discuter et voter sur la page [[Wikiversité:Administrateur/Candidature/FrankyLeRoutier 4]]. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 mai 2018 à 08:58 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Amendement des critères de sélection des administrateurs ==

Bonjour,

Ce petit message pour vous informer qu'un vote est ouvert sur [[Discussion Wikiversité:Administrateur/Candidature/Critères|cette page]] pour amender les critères de sélection des administrateurs suite à une situation d'incohérence.

Bien à vous, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 5 juin 2018 à 14:58 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Proposition à la suppression de plusieurs travaux de recherche en mathématiques ==

Bonjour, Tous les travaux de recherche se trouvant dans le laboratoire [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]] ainsi que le travail de [[Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]] sont proposés à la suppression respectivement dans les deux pages [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]] et [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]] où vous êtes invités à venir en discuter et voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 10 juin 2018 à 17:22 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;


== Wikilivres:Prise de décision/Créer un espace lecteurs et un espace auteurs sur la page d'accueil ==

J'ai posé une demande de prise de décision concernant le sujet suivant.

'''[https://fr.wikibooks.org/wiki/Wikilivres:Prise_de_d%C3%A9cision/Cr%C3%A9er_un_espace_lecteurs_et_un_espace_auteurs_sur_la_page_d%27accueil Créer un espace lecteurs et un espace  Les coulisses de Wikibook]'''


Je pense que toutes les personnes souhaitant participer ont donné leurs avis. J'ai cherché tous les auteurs sur les trente derniers jours avec une adresse valide.
Pourriez-vous clôturer cette demande de décision, si elle vous semble terminée.

Merci [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 13 septembre 2026 à 16:04 (UTC)</text>
      <sha1>jkjfyvm067l9747b3pykoylgndsnmeo</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>986531</id>
      <parentid>986530</parentid>
      <timestamp>2026-09-13T16:39:25Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>VIGNERON</username>
        <id>95</id>
      </contributor>
      <comment>/* Wikilivres:Prise de décision/Créer un espace lecteurs et un espace auteurs sur la page d'accueil */ +</comment>
      <origin>986531</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="31928" sha1="8tsgi5po2ts964rgvm7kyk3xx0vcuds" xml:space="preserve">Bienvenue sur [[Wikiversité:Accueil|Wikiversité]], '''{{PAGENAME}}'''

N'hésite pas à consulter [[Aide:Comment modifier une page|comment modifier une page]]
pour de premières indications sur la création et l'édition des pages sous [[Wikiversité:Accueil|Wikiversité]].
Tu peux également consulter la [[Aide:FAQ|FAQ]] et
faire tes essais dans le [[Wikiversité:Bac à sable|bac à sable]]&lt;br /&gt;
N'hésite pas à consulter les [[Wikiversité:Règles|recommandations à suivre]]
(copyright, etc).

Pour '''signer tes messages''', tu peux taper trois fois le caractère ~.
Avec un quatrième tilde, en plus de ta « signature », seront affichées la date et l’heure. Les '''pages ne sont pas signées'''. Nous utilisons souvent des sigles parfois mystérieux : tu pourras trouver leur explication dans [[w:Aide:Jargon|Jargon]].

Si tu viens d’une autre Wiki, n'oublie pas de mettre les liens vers tes autres pages perso.

Tu peux indiquer tes hobbies, tes centres d'intérêts. Tu peux pour cela éditer ta [[Utilisateur:{{PAGENAME}}|page personnelle]].

Si tu as des questions à poser, n’hesite surtout pas à me contacter, à les poser dans le [[Wikiversité:Colloque|Colloque]] ou à venir discuter sur [[w:Wikipédia:IRC|{{Abréviation|I.R.C.|Internet Relay Chat}}]].

Bonne continuation parmi nous !--[[Utilisateur:Grimlock|Grimlock]] 18 décembre 2006 à 11:50 (UTC)

== D'ici 2 mois…  ==
…retourne voir ca : [[Département:Chinois]] [[Utilisateur:Yug|Yug]] 28 janvier 2007 à 19:53 (UTC)

== Coordination des langues  ==

Salut, comme inscrit comme utilisateur prêt à aider dans les langues, je t'invite à venir faire un tour sur [[Projet:Langues étrangères]] afin de mettre les idées en commun pour la faculté de langue.

Bien à toi

[[Utilisateur:Min's|Min's]] - [[Discussion_Utilisateur:Min's|愛]] 1 mars 2007 à 17:56 (UTC)

Pour partciper à la faculté de langues, va faire un tour sur [[Projet:Langues étrangères]].&lt;br /&gt;[[Utilisateur:Vivelefrat|Vivelefrat]] &lt;sup&gt;[[Discussion_Utilisateur:Vivelefrat|Discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;&lt;span style=&quot;margin: 0px 12px 0px -6ex;&quot;&gt;[[Spécial:Emailuser/Vivelefrat|mail]]&lt;/span&gt;&lt;/sub&gt; 7 mai 2007 à 06:40 (UTC)

== Wikibanque ==

&lt;div style=&quot;margin-bottom:1.25em;border:1px solid #8898BF; background:white; padding:0;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;height:8px; margin:0; border:0; border-bottom:1px solid #8898BF; background:#6680CC; font-size:1px;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;padding:8px;&quot;&gt;
{|
|[[Fichier:Crystal_Clear_action_encrypted.png|70px]]
| bgcolor=&quot;#FFFFFF&quot; |Bonjour VIGNERON ! Je vous annonce l'ouverture officielle de la [[Projet:Wikibanque|wikibanque]] le 12 juillet 2007. Ouvrez-vous donc un compte sur [[Projet:Wikibanque/Compte|cette page]] pour pouvoir demander de la wikimonnaie [[Projet:Wikibanque/Transaction_B|ici]] (en échange de la création d’un cours ou de tout autre sorte de travail). Vous pourrez ensuite [[Discussion Projet:Wikibanque/Négocier|demander à un utilisateur de créer un cours]] qui vous tient à cœur en lui [[Projet:Wikibanque/Transaction_A|offrant de la wikimonnaie]] après avoir éventuellement [[Projet:Wikibanque/Contrat|passé un contrat]]. C’est évidemment parce que j'en suis le créateur que j'en fait (logiquement) la promotion. Néanmoins, comme tout autre outils à la disposition des utilisateurs, vous avez le droit de ne pas en faire usage. Bonne continuation sur la Wikiversité !
|}
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
[[Utilisateur:Xavier|Xavier]] 13 juillet 2007 à 03:19 (UTC)

== Barycentre ==

Salut,

Merci de contribuer à cette leçon {{Smiley|sourire}}. Ce qui était fait était juste. J’ai néanmoins modifié quelques réponses pour répondre plus exactement à ce qui est demandé dans l'énoncé. Pour l'erreur, bien vu (le copier-coller, c’est mal ^^).

Encore merci et à bientôt ! [[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]] &lt;sub&gt;[[Discussion Utilisateur:Xzapro4|discuter]]&lt;/sub&gt; 8 mai 2009 à 07:44 (UTC)

== Génie civil  ==

Le dessin technique n’est pas une notion de base du génie civil, mais simplement un outil utilisé. [[Utilisateur:Amqui|Amqui]] 16 décembre 2009 à 15:34 (UTC)

== À propos de la leçon: [[Optimiser un fichier SVG]]  ==

Bonjour, j’ai modifié la présentation de la leçon : [[Optimiser un fichier SVG]] pour les deux raisons suivantes :
* Uniformisation par rapport aux autres leçons de la Wikiversité. En effet, cette leçon était la seule, à ma connaissance, à posséder des sous-chapitres de chapitre, j’ai donc remonté les deux sous-chapitres au niveau des autres chapitres dans une section exemple.
* La gestion s'en trouve simplifiée. Si la présentation n’est pas très rigoureuse, les Bots risquent de ne pas s'y retrouver selon la tâche qu’ils ont à effectuer.
J'espère que ce remodelage ne vous posera aucun problème. Dans le cas contraire, veuillez m'en parler pour éventuellement réfléchir à une meilleure solution. Bien cordialement. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 20 décembre 2012 à 18:28 (UTC)

== À propos de la [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton]]  ==

Bonjour, j’ai dû normaliser votre recherche pour la rendre conforme au standard de la Wikiversité. En effet, vous aviez mis le [[Modèle:Département de recherche]] au lieu du [[Modèle:Recherche]]. Le département recherche qui supervise les recherches sur les langues régionales existe déjà, c’est [[Faculté:Langues régionales/Travaux de recherche]]. Je reste à votre disposition pour tout renseignement complémentaire {{sourire}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 12:07 (UTC)
:Bonjour [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]],
:Oui, je m'en suis rend compte trop tard, au moment où cela a été corrigé…
:J'avoue que les modèles de la Wikiversité me sont un peu étrangers, j'essayerais de faire attention mais une relecture serait la bienvenue.
:Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 4 août 2015 à 12:13 (UTC)
:: Ne vous inquiétez pas pour le côté technique, les patrouilleurs sont là pour vous aider jusqu'à ce que vous soyez suffisamment expérimenté. Un autre petit détail, compte tenu du formatage de la page [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton/Communes]], cette page a naturellement été intégrée comme chapitre un. Mais comme il s'agit d’une énumération de commune, je me demande s'il ne serait pas plus judicieux de l'intégrer en tant qu'annexe (voir, à titre d'exemple la [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]). Qu'en pensez-vous ? --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 12:22 (UTC)
:::D'accord pour le côté technique.
:::Très bonne idée pour déplacer la liste en annexe. Par contre, j'aurais sans doute besoin d’un équivalent de [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton/Communes]] pour documenter le travail autour de cette liste (que l’on fera demain soir IRL), qu'est-ce qui est le mieux ? garder ce nom ou en choisir un autre ?
:::J'essayerais de créer cet après-midi un premier chapitre d’introduction général.
:::Sinon, je ne suis pas sûr de quoi mettre dans « Niveau et prérequis conseillés » : « savoir enregistrer numérique et savoir parler breton », est-ce suffisant ? correct ?
:::Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 4 août 2015 à 12:51 (UTC)
:::: C’est fait, j’ai transformé la page en annexe (son format est devenu [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton/Annexe/Communes]]). Cela ne vous empêche pas de créer un chapitre qui récupère le nom de la page transformée en annexe. Vous pouvez donc garder le nom si vous le souhaitez. J’ai appelé le premier chapitre « Introduction » (histoire de ne pas laisser vide), mais vous pouvez l'appeler autrement. « savoir enregistrer numérique et savoir parler breton » me parait bien comme prérequis. {{sourire}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 13:18 (UTC)

== Création d’un journal scientifique  ==

Bonjour, Une prise de décision est lancée sur la création d’un journal scientifique dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Journal scientifique libre]]. Cordialement. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 27 août 2015 à 11:07 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=497442 --&gt;

== Création d’une bibliothèque wikiversitaire  ==

Bonjour, Une prise de décision est lancée sur la création d’une bibliothèque wikiversitaire dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Création d’une bibliothèque Wikiversitaire]]. Cordialement. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]])  9 septembre 2015 à 07:38 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=497442 --&gt;

== Candidature au statut d'administrateur  ==

[[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] propose sa candidature au statut d'administrateur (bibliothécaire) sur la page [[Wikiversité:Bibliothécaire/Candidature/Lionel Scheepmans]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501166 --&gt;

== Candidature au statut d'administrateur  ==

[[Utilisateur:Frigory|Frigory]] propose sa candidature au statut d'administrateur (bibliothécaire) sur la page [[Wikiversité:Bibliothécaire/Candidature/Frigory]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501166 --&gt;

== Supports de cours multimédia  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] sur les supports de cours multimédia dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Supports de cours multimédia]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501721 --&gt;

== Sur la désignation par le mot : « bibliothécaire » des administrateurs  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur une rectification de la désignation par le mot : « bibliothécaire » des administrateurs de la Wikiversité. Vous êtes invités à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/La Wikiversité n’est pas une bibliothèque]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Comportement en l'absence de règles  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur le comportement à adopter en l'absence de règles.

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Comportement en l'absence de règles (précision)  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur le comportement à adopter en l'absence de règles. Vous êtes invités à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Comportement en l'absence de règles]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Candidature au statut de bureaucrate  ==

[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] propose sa candidature au statut de bureaucrate sur la page [[Wikiversité:Bureaucrate/Candidature/Lydie Noria]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=516364 --&gt;

== Deux nouvelles prises de décisions au sein de Wikiversité.  ==

Bonjour,

Ce petit message pour vous informer sur l'ouverture de deux nouvelles prises de décisions au sein de notre projet. Voici les liens qui vous mènerons vers ces pages :
*[[Projet:Wikiversité/Éditeur Visuel 2]]
*[[Projet:Wikiversité/Espace de noms « Recherche » 2]]
Une belle fin de journée, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 12 janvier 2016 à 18:37 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type d'avertissement, vous pouvez vous désinscrire en retirant votre nom d’utilisateur situé sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]]&lt;/small&gt;.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=516364 --&gt;

== Autoriser la création de pages gadget-MOOC  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] sur la création de pages gadget-MOOC dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page : [[Projet:Wikiversité/Autoriser la création de pages gadget-MOOC]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=532249 --&gt;

== Nouvelle prise de décision au sujet de l'installation de Flow dans la Wikiversité  ==

Bonjour,

Une prise de décision concernant l'installation de [[w:wikipédia:Flow|Flow]] dans la Wikiversité vient d'être lancée. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page : [[Projet:Wikiversité/Flow]].

Une belle fin de journée !

[[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 juin 2016 à 17:06 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=585023 --&gt;

== Nouvelle prise de décision en cours  ==

Bonjour,

Une nouvelle [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Collaboration juive sous le nazisme|prise de décision communautaire au sujet de la suppression d'une page de recherche est en cours]]. Soyez les bienvenus pour apporter vos commentaires et vos avis. Une belle fin de journée à tous. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 26 octobre 2016 à 21:42 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=607578 --&gt;

== Nouvelle prise de décision  ==

Bonjour,

Une nouvelle prise de décision est organisée sur le recyclage de cinq facultés en département. Vous êtes invités à en discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Recyclage de cinq facultés en département]]. Cordialement.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Prise de décision sur les facultés de langues  ==

[[Utilisateur:Amqui|Amqui]] a lancé une prise de décision sur la page [[Projet:Wikiversité/Langues]]. Vous êtes invités à venir en discuter. L'objet du ou des votes n'a pas encore été clairement précisé. Si l'objet de la discussion vous intéresse, veuillez garder un œil sur la page pour voter le cas échéant. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 19 février 2017 à 04:05 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Installation d'extensions pour visualiser des vidéos externes dans la Wikiversité  ==

Bonjour, une prise de décision a été lancée dans le [[Projet:Wikiversité/Installation d'un lecteur de vidéos externes]]. Vous êtes invités à venir en discuter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 6 avril 2017 à 19:59 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Votes sur les facultés de langues  ==

Bonjour, la phase de vote a démarrée sur le [[Projet:Wikiversité/Langues]]. Vous êtes cordialement invité à venir voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 24 avril 2017 à 04:21 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Nouvelle prise de décision importante sur les principes de bonne gouvernance  ==

Bonjour, vous êtes invité à participer à une prise de décision importante pouvant potentiellement déboucher sur la mise en place de principes de bonne gouvernance au sein du projet Wikiversité francophone. Les enjeux, discussions, propositions à voter et les votes éventuels auront lieu sur la page [[Projet:Wikiversité/Principes de bonne gouvernance]]. En espérant vous y retrouver, on vous souhaite une très agréable fin de journée, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 28 avril 2017 à 09:00 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=651778 --&gt;

== Nouvelle prise de décision au sujet de Flow  ==

Bonjour, vous êtes invité à participer à une prise de décision au sujet d'une potentielle expansion de Flow sur les pages de discussions au sein de Wikiversité. Le rendez-vous est fixé sur la page [[Projet:Wikiversité/Flow 2]]. En espérant vous y retrouver nombreux, on vous souhaite une très agréable fin de journée.

P.-S. Ce message vous est envoyé parce que votre non utilisateur figure sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]]. Si vous ne voulez plus recevoir ces notifications, rendez vous sur cette page et effacez votre nom d’utilisateur qui figure dans la liste.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=651778 --&gt;

== Début des votes concernant l'installation de Flow  ==

Bonjour, vous pouvez dès à présent [[Projet:Wikiversité/Flow 2#Vote|participer aux votes]] concernant l'expansion de Flow sur les pages de discussions des espaces de noms de Wikiversité. En espérant vous y voir nombreux, nous vous souhaitons une très agréable fin de journée.

&lt;small&gt;P.-S. Ce message vous est envoyé parce que votre non utilisateur figure sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]]. Si vous ne voulez plus recevoir ces notifications, rendez vous sur cette page et effacez votre nom d’utilisateur figurant dans la liste.&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=661329 --&gt;

== Refonte des pages de discussions communautaires ==

Bonjour, Une prise de décision est proposée sur une refonte des pages de discussions communautaires. Vous êtes invités à y participer sur le [[Projet:Wikiversité/Refonte des pages de discussions communautaires]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 28 août 2017 à 09:33 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Conventions de gestion de la Wikiversité ==

Bonjour, Une prise de décision est proposée par [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur l'approbation de la page [[Wikiversité:Conventions de gestion]] qui définit les règles de gestion de la Wikiversité. Vous êtes invités à en discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 20 septembre 2017 à 01:31 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Conventions de gestion de la Wikiversité (Redémarrage) ==

Bonjour, vous êtes invité à nouveau à discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]]. [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ayant fait des modifications importantes du texte initial proposé (qui ne faisait pas consensus) et en accord avec une majorité d'utilisateurs ayant participé aux votes sur le texte initial, il a été décidé un redémarrage de la prise de décision. Les votes et les discussions concernant le texte initial ont été supprimés, veuillez nous en excuser. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 26 septembre 2017 à 06:12 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Avis de clôture des votes sur les conventions de gestion de la Wikiversité ==

Bonjour, sauf reprise des discussions, le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]] sera conclu le jeudi 5 octobre 2017. Vous êtes chaleureusement invités à venir voter avant clôture des votes. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 2 octobre 2017 à 08:12 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Proposition d'une page à la suppression ==

Bonjour, La page [[Recherche:Métajustification de Wikipedia]] est proposée à la suppression sur [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Métajustification de Wikipedia]]. Vous êtes invités à venir voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 17 décembre 2017 à 05:01 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Nouvelle candidature au statut d'administrateur ==

Bonjour. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] propose sa candidature au statut d'administrateur de la Wikiversité. Vous êtes invités à venir en discuter et voter sur la page [[Wikiversité:Administrateur/Candidature/FrankyLeRoutier 4]]. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 mai 2018 à 08:58 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Amendement des critères de sélection des administrateurs ==

Bonjour,

Ce petit message pour vous informer qu'un vote est ouvert sur [[Discussion Wikiversité:Administrateur/Candidature/Critères|cette page]] pour amender les critères de sélection des administrateurs suite à une situation d'incohérence.

Bien à vous, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 5 juin 2018 à 14:58 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Proposition à la suppression de plusieurs travaux de recherche en mathématiques ==

Bonjour, Tous les travaux de recherche se trouvant dans le laboratoire [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]] ainsi que le travail de [[Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]] sont proposés à la suppression respectivement dans les deux pages [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]] et [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]] où vous êtes invités à venir en discuter et voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 10 juin 2018 à 17:22 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;


== Wikilivres:Prise de décision/Créer un espace lecteurs et un espace auteurs sur la page d'accueil ==

J'ai posé une demande de prise de décision concernant le sujet suivant.

'''[https://fr.wikibooks.org/wiki/Wikilivres:Prise_de_d%C3%A9cision/Cr%C3%A9er_un_espace_lecteurs_et_un_espace_auteurs_sur_la_page_d%27accueil Créer un espace lecteurs et un espace  Les coulisses de Wikibook]'''


Je pense que toutes les personnes souhaitant participer ont donné leurs avis. J'ai cherché tous les auteurs sur les trente derniers jours avec une adresse valide.
Pourriez-vous clôturer cette demande de décision, si elle vous semble terminée.

Merci [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 13 septembre 2026 à 16:04 (UTC)
:Bonjour,
:C'était peut-être un petit peu tôt mais vu la taille de la communauté, le nombre de votes (qui étaient tous valides) m’a tout de même semblé suffisant. Pour une prochaine fois, le mieux est de notifier directement tout les contributeurs actifs (pour établir cette liste j'utilise en général Wikiscan, voir par exemple les personnes par nombre de contributions sur Wikibooks en français pour 2026 : https://frwikibooks.wikiscan.org/?date_filter=2026&amp;menu=userstats ), pas besoin d'une adresse valide. Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 13 septembre 2026 à 16:39 (UTC)</text>
      <sha1>8tsgi5po2ts964rgvm7kyk3xx0vcuds</sha1>
    </revision>
    <revision>
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      <parentid>986531</parentid>
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      <contributor>
        <username>Xhungab</username>
        <id>11982</id>
      </contributor>
      <comment>/* Wikilivres:Prise de décision/Créer un espace lecteurs et un espace auteurs sur la page d'accueil */ Réponse</comment>
      <origin>986532</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="32105" sha1="28xccgwvwew52enf3re6x5pnvkvyo81" xml:space="preserve">Bienvenue sur [[Wikiversité:Accueil|Wikiversité]], '''{{PAGENAME}}'''

N'hésite pas à consulter [[Aide:Comment modifier une page|comment modifier une page]]
pour de premières indications sur la création et l'édition des pages sous [[Wikiversité:Accueil|Wikiversité]].
Tu peux également consulter la [[Aide:FAQ|FAQ]] et
faire tes essais dans le [[Wikiversité:Bac à sable|bac à sable]]&lt;br /&gt;
N'hésite pas à consulter les [[Wikiversité:Règles|recommandations à suivre]]
(copyright, etc).

Pour '''signer tes messages''', tu peux taper trois fois le caractère ~.
Avec un quatrième tilde, en plus de ta « signature », seront affichées la date et l’heure. Les '''pages ne sont pas signées'''. Nous utilisons souvent des sigles parfois mystérieux : tu pourras trouver leur explication dans [[w:Aide:Jargon|Jargon]].

Si tu viens d’une autre Wiki, n'oublie pas de mettre les liens vers tes autres pages perso.

Tu peux indiquer tes hobbies, tes centres d'intérêts. Tu peux pour cela éditer ta [[Utilisateur:{{PAGENAME}}|page personnelle]].

Si tu as des questions à poser, n’hesite surtout pas à me contacter, à les poser dans le [[Wikiversité:Colloque|Colloque]] ou à venir discuter sur [[w:Wikipédia:IRC|{{Abréviation|I.R.C.|Internet Relay Chat}}]].

Bonne continuation parmi nous !--[[Utilisateur:Grimlock|Grimlock]] 18 décembre 2006 à 11:50 (UTC)

== D'ici 2 mois…  ==
…retourne voir ca : [[Département:Chinois]] [[Utilisateur:Yug|Yug]] 28 janvier 2007 à 19:53 (UTC)

== Coordination des langues  ==

Salut, comme inscrit comme utilisateur prêt à aider dans les langues, je t'invite à venir faire un tour sur [[Projet:Langues étrangères]] afin de mettre les idées en commun pour la faculté de langue.

Bien à toi

[[Utilisateur:Min's|Min's]] - [[Discussion_Utilisateur:Min's|愛]] 1 mars 2007 à 17:56 (UTC)

Pour partciper à la faculté de langues, va faire un tour sur [[Projet:Langues étrangères]].&lt;br /&gt;[[Utilisateur:Vivelefrat|Vivelefrat]] &lt;sup&gt;[[Discussion_Utilisateur:Vivelefrat|Discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;&lt;span style=&quot;margin: 0px 12px 0px -6ex;&quot;&gt;[[Spécial:Emailuser/Vivelefrat|mail]]&lt;/span&gt;&lt;/sub&gt; 7 mai 2007 à 06:40 (UTC)

== Wikibanque ==

&lt;div style=&quot;margin-bottom:1.25em;border:1px solid #8898BF; background:white; padding:0;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;height:8px; margin:0; border:0; border-bottom:1px solid #8898BF; background:#6680CC; font-size:1px;&quot;&gt;&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;padding:8px;&quot;&gt;
{|
|[[Fichier:Crystal_Clear_action_encrypted.png|70px]]
| bgcolor=&quot;#FFFFFF&quot; |Bonjour VIGNERON ! Je vous annonce l'ouverture officielle de la [[Projet:Wikibanque|wikibanque]] le 12 juillet 2007. Ouvrez-vous donc un compte sur [[Projet:Wikibanque/Compte|cette page]] pour pouvoir demander de la wikimonnaie [[Projet:Wikibanque/Transaction_B|ici]] (en échange de la création d’un cours ou de tout autre sorte de travail). Vous pourrez ensuite [[Discussion Projet:Wikibanque/Négocier|demander à un utilisateur de créer un cours]] qui vous tient à cœur en lui [[Projet:Wikibanque/Transaction_A|offrant de la wikimonnaie]] après avoir éventuellement [[Projet:Wikibanque/Contrat|passé un contrat]]. C’est évidemment parce que j'en suis le créateur que j'en fait (logiquement) la promotion. Néanmoins, comme tout autre outils à la disposition des utilisateurs, vous avez le droit de ne pas en faire usage. Bonne continuation sur la Wikiversité !
|}
&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;
[[Utilisateur:Xavier|Xavier]] 13 juillet 2007 à 03:19 (UTC)

== Barycentre ==

Salut,

Merci de contribuer à cette leçon {{Smiley|sourire}}. Ce qui était fait était juste. J’ai néanmoins modifié quelques réponses pour répondre plus exactement à ce qui est demandé dans l'énoncé. Pour l'erreur, bien vu (le copier-coller, c’est mal ^^).

Encore merci et à bientôt ! [[Utilisateur:Xzapro4|Xzapro4]] &lt;sub&gt;[[Discussion Utilisateur:Xzapro4|discuter]]&lt;/sub&gt; 8 mai 2009 à 07:44 (UTC)

== Génie civil  ==

Le dessin technique n’est pas une notion de base du génie civil, mais simplement un outil utilisé. [[Utilisateur:Amqui|Amqui]] 16 décembre 2009 à 15:34 (UTC)

== À propos de la leçon: [[Optimiser un fichier SVG]]  ==

Bonjour, j’ai modifié la présentation de la leçon : [[Optimiser un fichier SVG]] pour les deux raisons suivantes :
* Uniformisation par rapport aux autres leçons de la Wikiversité. En effet, cette leçon était la seule, à ma connaissance, à posséder des sous-chapitres de chapitre, j’ai donc remonté les deux sous-chapitres au niveau des autres chapitres dans une section exemple.
* La gestion s'en trouve simplifiée. Si la présentation n’est pas très rigoureuse, les Bots risquent de ne pas s'y retrouver selon la tâche qu’ils ont à effectuer.
J'espère que ce remodelage ne vous posera aucun problème. Dans le cas contraire, veuillez m'en parler pour éventuellement réfléchir à une meilleure solution. Bien cordialement. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 20 décembre 2012 à 18:28 (UTC)

== À propos de la [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton]]  ==

Bonjour, j’ai dû normaliser votre recherche pour la rendre conforme au standard de la Wikiversité. En effet, vous aviez mis le [[Modèle:Département de recherche]] au lieu du [[Modèle:Recherche]]. Le département recherche qui supervise les recherches sur les langues régionales existe déjà, c’est [[Faculté:Langues régionales/Travaux de recherche]]. Je reste à votre disposition pour tout renseignement complémentaire {{sourire}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 12:07 (UTC)
:Bonjour [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]],
:Oui, je m'en suis rend compte trop tard, au moment où cela a été corrigé…
:J'avoue que les modèles de la Wikiversité me sont un peu étrangers, j'essayerais de faire attention mais une relecture serait la bienvenue.
:Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 4 août 2015 à 12:13 (UTC)
:: Ne vous inquiétez pas pour le côté technique, les patrouilleurs sont là pour vous aider jusqu'à ce que vous soyez suffisamment expérimenté. Un autre petit détail, compte tenu du formatage de la page [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton/Communes]], cette page a naturellement été intégrée comme chapitre un. Mais comme il s'agit d’une énumération de commune, je me demande s'il ne serait pas plus judicieux de l'intégrer en tant qu'annexe (voir, à titre d'exemple la [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages]]). Qu'en pensez-vous ? --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 12:22 (UTC)
:::D'accord pour le côté technique.
:::Très bonne idée pour déplacer la liste en annexe. Par contre, j'aurais sans doute besoin d’un équivalent de [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton/Communes]] pour documenter le travail autour de cette liste (que l’on fera demain soir IRL), qu'est-ce qui est le mieux ? garder ce nom ou en choisir un autre ?
:::J'essayerais de créer cet après-midi un premier chapitre d’introduction général.
:::Sinon, je ne suis pas sûr de quoi mettre dans « Niveau et prérequis conseillés » : « savoir enregistrer numérique et savoir parler breton », est-ce suffisant ? correct ?
:::Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 4 août 2015 à 12:51 (UTC)
:::: C’est fait, j’ai transformé la page en annexe (son format est devenu [[Recherche:Enregistrement de la prononciation du breton/Annexe/Communes]]). Cela ne vous empêche pas de créer un chapitre qui récupère le nom de la page transformée en annexe. Vous pouvez donc garder le nom si vous le souhaitez. J’ai appelé le premier chapitre « Introduction » (histoire de ne pas laisser vide), mais vous pouvez l'appeler autrement. « savoir enregistrer numérique et savoir parler breton » me parait bien comme prérequis. {{sourire}} --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 4 août 2015 à 13:18 (UTC)

== Création d’un journal scientifique  ==

Bonjour, Une prise de décision est lancée sur la création d’un journal scientifique dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Journal scientifique libre]]. Cordialement. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 27 août 2015 à 11:07 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=497442 --&gt;

== Création d’une bibliothèque wikiversitaire  ==

Bonjour, Une prise de décision est lancée sur la création d’une bibliothèque wikiversitaire dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Création d’une bibliothèque Wikiversitaire]]. Cordialement. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]])  9 septembre 2015 à 07:38 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=497442 --&gt;

== Candidature au statut d'administrateur  ==

[[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] propose sa candidature au statut d'administrateur (bibliothécaire) sur la page [[Wikiversité:Bibliothécaire/Candidature/Lionel Scheepmans]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501166 --&gt;

== Candidature au statut d'administrateur  ==

[[Utilisateur:Frigory|Frigory]] propose sa candidature au statut d'administrateur (bibliothécaire) sur la page [[Wikiversité:Bibliothécaire/Candidature/Frigory]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501166 --&gt;

== Supports de cours multimédia  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] sur les supports de cours multimédia dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Supports de cours multimédia]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501721 --&gt;

== Sur la désignation par le mot : « bibliothécaire » des administrateurs  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur une rectification de la désignation par le mot : « bibliothécaire » des administrateurs de la Wikiversité. Vous êtes invités à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/La Wikiversité n’est pas une bibliothèque]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Comportement en l'absence de règles  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur le comportement à adopter en l'absence de règles.

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Comportement en l'absence de règles (précision)  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur le comportement à adopter en l'absence de règles. Vous êtes invités à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Comportement en l'absence de règles]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Candidature au statut de bureaucrate  ==

[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] propose sa candidature au statut de bureaucrate sur la page [[Wikiversité:Bureaucrate/Candidature/Lydie Noria]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=516364 --&gt;

== Deux nouvelles prises de décisions au sein de Wikiversité.  ==

Bonjour,

Ce petit message pour vous informer sur l'ouverture de deux nouvelles prises de décisions au sein de notre projet. Voici les liens qui vous mènerons vers ces pages :
*[[Projet:Wikiversité/Éditeur Visuel 2]]
*[[Projet:Wikiversité/Espace de noms « Recherche » 2]]
Une belle fin de journée, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 12 janvier 2016 à 18:37 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type d'avertissement, vous pouvez vous désinscrire en retirant votre nom d’utilisateur situé sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]]&lt;/small&gt;.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=516364 --&gt;

== Autoriser la création de pages gadget-MOOC  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] sur la création de pages gadget-MOOC dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page : [[Projet:Wikiversité/Autoriser la création de pages gadget-MOOC]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d’utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=532249 --&gt;

== Nouvelle prise de décision au sujet de l'installation de Flow dans la Wikiversité  ==

Bonjour,

Une prise de décision concernant l'installation de [[w:wikipédia:Flow|Flow]] dans la Wikiversité vient d'être lancée. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page : [[Projet:Wikiversité/Flow]].

Une belle fin de journée !

[[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 juin 2016 à 17:06 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=585023 --&gt;

== Nouvelle prise de décision en cours  ==

Bonjour,

Une nouvelle [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Collaboration juive sous le nazisme|prise de décision communautaire au sujet de la suppression d'une page de recherche est en cours]]. Soyez les bienvenus pour apporter vos commentaires et vos avis. Une belle fin de journée à tous. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 26 octobre 2016 à 21:42 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=607578 --&gt;

== Nouvelle prise de décision  ==

Bonjour,

Une nouvelle prise de décision est organisée sur le recyclage de cinq facultés en département. Vous êtes invités à en discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Recyclage de cinq facultés en département]]. Cordialement.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Prise de décision sur les facultés de langues  ==

[[Utilisateur:Amqui|Amqui]] a lancé une prise de décision sur la page [[Projet:Wikiversité/Langues]]. Vous êtes invités à venir en discuter. L'objet du ou des votes n'a pas encore été clairement précisé. Si l'objet de la discussion vous intéresse, veuillez garder un œil sur la page pour voter le cas échéant. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 19 février 2017 à 04:05 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Installation d'extensions pour visualiser des vidéos externes dans la Wikiversité  ==

Bonjour, une prise de décision a été lancée dans le [[Projet:Wikiversité/Installation d'un lecteur de vidéos externes]]. Vous êtes invités à venir en discuter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 6 avril 2017 à 19:59 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Votes sur les facultés de langues  ==

Bonjour, la phase de vote a démarrée sur le [[Projet:Wikiversité/Langues]]. Vous êtes cordialement invité à venir voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 24 avril 2017 à 04:21 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Nouvelle prise de décision importante sur les principes de bonne gouvernance  ==

Bonjour, vous êtes invité à participer à une prise de décision importante pouvant potentiellement déboucher sur la mise en place de principes de bonne gouvernance au sein du projet Wikiversité francophone. Les enjeux, discussions, propositions à voter et les votes éventuels auront lieu sur la page [[Projet:Wikiversité/Principes de bonne gouvernance]]. En espérant vous y retrouver, on vous souhaite une très agréable fin de journée, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 28 avril 2017 à 09:00 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=651778 --&gt;

== Nouvelle prise de décision au sujet de Flow  ==

Bonjour, vous êtes invité à participer à une prise de décision au sujet d'une potentielle expansion de Flow sur les pages de discussions au sein de Wikiversité. Le rendez-vous est fixé sur la page [[Projet:Wikiversité/Flow 2]]. En espérant vous y retrouver nombreux, on vous souhaite une très agréable fin de journée.

P.-S. Ce message vous est envoyé parce que votre non utilisateur figure sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]]. Si vous ne voulez plus recevoir ces notifications, rendez vous sur cette page et effacez votre nom d’utilisateur qui figure dans la liste.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=651778 --&gt;

== Début des votes concernant l'installation de Flow  ==

Bonjour, vous pouvez dès à présent [[Projet:Wikiversité/Flow 2#Vote|participer aux votes]] concernant l'expansion de Flow sur les pages de discussions des espaces de noms de Wikiversité. En espérant vous y voir nombreux, nous vous souhaitons une très agréable fin de journée.

&lt;small&gt;P.-S. Ce message vous est envoyé parce que votre non utilisateur figure sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]]. Si vous ne voulez plus recevoir ces notifications, rendez vous sur cette page et effacez votre nom d’utilisateur figurant dans la liste.&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=661329 --&gt;

== Refonte des pages de discussions communautaires ==

Bonjour, Une prise de décision est proposée sur une refonte des pages de discussions communautaires. Vous êtes invités à y participer sur le [[Projet:Wikiversité/Refonte des pages de discussions communautaires]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 28 août 2017 à 09:33 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Conventions de gestion de la Wikiversité ==

Bonjour, Une prise de décision est proposée par [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur l'approbation de la page [[Wikiversité:Conventions de gestion]] qui définit les règles de gestion de la Wikiversité. Vous êtes invités à en discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 20 septembre 2017 à 01:31 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Conventions de gestion de la Wikiversité (Redémarrage) ==

Bonjour, vous êtes invité à nouveau à discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]]. [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ayant fait des modifications importantes du texte initial proposé (qui ne faisait pas consensus) et en accord avec une majorité d'utilisateurs ayant participé aux votes sur le texte initial, il a été décidé un redémarrage de la prise de décision. Les votes et les discussions concernant le texte initial ont été supprimés, veuillez nous en excuser. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 26 septembre 2017 à 06:12 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Avis de clôture des votes sur les conventions de gestion de la Wikiversité ==

Bonjour, sauf reprise des discussions, le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]] sera conclu le jeudi 5 octobre 2017. Vous êtes chaleureusement invités à venir voter avant clôture des votes. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 2 octobre 2017 à 08:12 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Proposition d'une page à la suppression ==

Bonjour, La page [[Recherche:Métajustification de Wikipedia]] est proposée à la suppression sur [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Métajustification de Wikipedia]]. Vous êtes invités à venir voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 17 décembre 2017 à 05:01 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Nouvelle candidature au statut d'administrateur ==

Bonjour. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] propose sa candidature au statut d'administrateur de la Wikiversité. Vous êtes invités à venir en discuter et voter sur la page [[Wikiversité:Administrateur/Candidature/FrankyLeRoutier 4]]. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 mai 2018 à 08:58 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Amendement des critères de sélection des administrateurs ==

Bonjour,

Ce petit message pour vous informer qu'un vote est ouvert sur [[Discussion Wikiversité:Administrateur/Candidature/Critères|cette page]] pour amender les critères de sélection des administrateurs suite à une situation d'incohérence.

Bien à vous, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 5 juin 2018 à 14:58 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Proposition à la suppression de plusieurs travaux de recherche en mathématiques ==

Bonjour, Tous les travaux de recherche se trouvant dans le laboratoire [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]] ainsi que le travail de [[Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]] sont proposés à la suppression respectivement dans les deux pages [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]] et [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]] où vous êtes invités à venir en discuter et voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 10 juin 2018 à 17:22 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;


== Wikilivres:Prise de décision/Créer un espace lecteurs et un espace auteurs sur la page d'accueil ==

J'ai posé une demande de prise de décision concernant le sujet suivant.

'''[https://fr.wikibooks.org/wiki/Wikilivres:Prise_de_d%C3%A9cision/Cr%C3%A9er_un_espace_lecteurs_et_un_espace_auteurs_sur_la_page_d%27accueil Créer un espace lecteurs et un espace  Les coulisses de Wikibook]'''


Je pense que toutes les personnes souhaitant participer ont donné leurs avis. J'ai cherché tous les auteurs sur les trente derniers jours avec une adresse valide.
Pourriez-vous clôturer cette demande de décision, si elle vous semble terminée.

Merci [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 13 septembre 2026 à 16:04 (UTC)
:Bonjour,
:C'était peut-être un petit peu tôt mais vu la taille de la communauté, le nombre de votes (qui étaient tous valides) m’a tout de même semblé suffisant. Pour une prochaine fois, le mieux est de notifier directement tout les contributeurs actifs (pour établir cette liste j'utilise en général Wikiscan, voir par exemple les personnes par nombre de contributions sur Wikibooks en français pour 2026 : https://frwikibooks.wikiscan.org/?date_filter=2026&amp;menu=userstats ), pas besoin d'une adresse valide. Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 13 septembre 2026 à 16:39 (UTC)
::Merci Je vais copier cette adresse.
::Merci pour votre aide.
:: [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 13 septembre 2026 à 18:12 (UTC)</text>
      <sha1>28xccgwvwew52enf3re6x5pnvkvyo81</sha1>
    </revision>
  </page>
  <page>
    <title>Mécanique 2 (PCSI)/Loi du moment cinétique : Pendule pesant</title>
    <ns>0</ns>
    <id>74333</id>
    <revision>
      <id>986523</id>
      <parentid>986515</parentid>
      <timestamp>2026-09-13T12:19:14Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) */</comment>
      <origin>986523</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="297729" sha1="5u7w9hz7c5r7zd4r1df5o38vdxn9m1n" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 8
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » ==

[[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|&lt;center&gt;Liaison sphérique &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;]]
{{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme &lt;math&gt;\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» et pouvant tourner autour d’un « point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; autre que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt;», le solide étant 
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre un schéma de principe en perspective&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec précision des degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» bloqués et de ceux de rotation «&lt;math&gt;\;R_i\;&lt;/math&gt;» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction de la rotule&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; 
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot;
! width=20% | Rotule&lt;br /&gt;de centre O
| width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]]
! width=30% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot;&gt; Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,T_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,T_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,T_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,T_x = 0\,\ldots\big]\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,R_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,R_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,R_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de rotation suivant l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,R_x = 0\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
! width=30% | Libertés : &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
&lt;center&gt;ou&lt;/center&gt;
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; avec précision des &lt;math&gt;\,5\,&lt;/math&gt; degrés bloqués, les &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» et &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de rotation «&lt;math&gt;\;R_k\;&lt;/math&gt;», le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par la composition d'une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}\,&lt;/math&gt; de direction &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction du pivot&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;» si l'axe du pivot est &lt;math&gt;\,\left( x'x \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot; width=&quot;80%&quot;
! width=15% | Pivot&lt;br /&gt;d'axe (O,x)
| width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]]
| width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]]
| width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]]
! width=25% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
! width=20% | Libertés : &lt;math&gt;\; R_x \neq 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ;

{{Al|5}}on note «&lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt;» la masse du pendule, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le meilleur &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; serait le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2&lt;sup&gt;ndes&lt;/sup&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\;\ldots\big]&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de l'espace physique « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;tout point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;».

== Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les suivantes : &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\;G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) ===

[[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\big\}\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot;&gt; L'établissement de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,&lt;/math&gt; a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste &lt;math&gt;\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref&gt; Car &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}(t)\,&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et à &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,cste_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» d'où la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou enfin, après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» et valeur de &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;,

{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }} soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; c.-à-d. qu'on établit «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante &lt;math&gt;\;cste\;&lt;/math&gt; se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\;V_{\theta_G}(0) = \mathfrak{a}\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des {{Nobr|C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;}} sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = cste\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = cste\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit {{Nobr|directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,}} l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Oendule Pesant]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec {{Nobr|C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;}} de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire ==

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot;&gt; On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_réaction-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre que la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; s'écrivait &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, c.-à-d. que la réaction étant dans le plan vertical de lancement s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; donc de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot;&gt; En effet la force étant &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» ;}}
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle 
* a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et 
* sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ;
{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» et le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
== Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites ==

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; on conclut à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|5}}« on écarte le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\;rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, 

{{Al|16}}{{Transparent|« on écarte le P.P.N.A. de sa position d’équilibre stable et }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt; dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et aussi dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature oscillatoire de petite amplitude&quot;&gt; La démonstration de la nature oscillatoire entre &lt;math&gt;\;-\theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;+\theta_0\;&lt;/math&gt; du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;center&gt;l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br /&gt;une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme d'amortissement et homogène.&lt;/center&gt;
=== P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation ===

{{Al|5}}Le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient &lt;center&gt;un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; (non amorti) » de « pulsation propre &lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Période des « petites oscillations » ===

{{Al|5}}On en déduit la « &lt;u&gt;période propre des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à un degré de liberté » «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;limite de validité de la période des petites élongations angualires&quot;&gt; On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; reste petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\;&lt;/math&gt; si on travaille à &lt;math&gt;\;1\; \%\;&lt;/math&gt; près.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; « bât plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot;&gt; C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.&lt;/ref&gt;, en un lieu fixé, pour «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; plus petit » réalisé pour une répartition de masse plus proche de l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; plus petit » &lt;ref&gt; En effet, quand on rapproche les masses de l’axe, cela implique la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; mais aussi celle de la distance &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; séparant le C.D.I. du solide de &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les variations de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; étant couplées ; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; implique celle de &lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; en effet « si on divise toutes les distances par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;», le « moment d’inertie &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\;4\;&lt;/math&gt;» et la « distance &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. que « &lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans ce cas la période des petites élongations est divisée par &lt;math&gt;\;\sqrt{2}\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et 

{{Al|16}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite »,}} à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; plus grande » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sur Terre « bât un peu plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot; /&gt; aux pôles qu'à l'équateur &lt;ref&gt; L'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant &lt;math&gt;\;g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\;&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; aux pôles battra à la période de &lt;math&gt;\;1,0026\;s\;&lt;/math&gt; à l'équateur.&lt;/ref&gt; et le même P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; « bât nettement plus rapidement » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot; /&gt; sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) &lt;ref&gt; Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; L'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit &lt;math&gt;\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq 2,45\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; sur Terre battra à la période de &lt;math&gt;\;2,45\;s\;&lt;/math&gt; sur la Lune.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites ==

=== Introduction ===

{{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et &lt;math&gt;11&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;la détermination directe de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier ===

{{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ce qui donne «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» soit, en reconnaissant 
* dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» la dérivée temporelle de «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et 
* dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|terme}}«&lt;math&gt;\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» {{Al|4}}celle de «&lt;math&gt;\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» 
{{Al|5}}puis en intégrant entre «&lt;math&gt;\;t = 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;t &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; quelconque » et «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; également quelconque »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement, en multipliant par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.&lt;/ref&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|&lt;sup&gt;53&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|&lt;sup&gt;53&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en même position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;, on ajoute de part et d’autre de l’équation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt; la quantité «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» pour reconnaître respectivement dans «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l’instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et à l’instant initial avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; d’où, en notant «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique ===

{{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt;», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;oscillatoire et périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt;» l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; », l’autre mur étant à la position repérée par «&lt;math&gt;\;-\theta_m\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0\big)&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif et périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\;\dfrac{\theta}{2}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; ou enfin, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\;\pi\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 + \pi\;&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\;0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot;&gt; On obtiendrait la même expression en supposant &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore,&lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot; /&gt; ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\;\dfrac{\theta}{2}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; ou enfin, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\;\theta_0 - \pi\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;- \pi\;&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période &lt;math&gt;\;\pi\;&lt;/math&gt; de la fonction à intégrer.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;&lt;math&gt;\Bigg\}&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)&lt;/math&gt;, il y a mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessus.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;où le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; s'arrête définitivement&lt;/u&gt; en absence de perturbations extérieures.

== Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ==

=== Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme implicite étant l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement de ce dernier «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» est égale à «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; quelconques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; après substitution de «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et de «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ===

{{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt; ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;énergie mécanique initiale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré :
* pour un mouvement &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ;
* pour un mouvement &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Conclusion&lt;/u&gt; : La « &lt;u&gt;bifurcation&lt;/u&gt; » entre les deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; et révolutif » correspond à un &lt;u&gt;portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point générique repartant dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;» ou dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

== Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot;&gt; La version utilisée étant '''Scilab''' &lt;math&gt;\;5.41&lt;/math&gt;, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.&lt;/ref&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; ensuite

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} &gt; \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; et enfin

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;».

=== Non isochronisme des oscillations ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » par « P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; », «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et on adapte les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;&lt;/math&gt; satisfaisant un mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; d'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg\{&lt;/math&gt;c.-à-d. telles que «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; devant être substitué par &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité &lt;ref&gt; La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations est &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où l'expression de la &lt;u&gt;période d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme intégrale&lt;/u&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» est la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; suivi de sa réécriture &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans nouvelle démonstration&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouvant le &lt;u&gt;non isochronisme de ce dernier&lt;/u&gt; : &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;changement de variable&quot;&gt; Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable &lt;math&gt;\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification du non isochronisme&quot;&gt; Cette dernière expression intégrale de &lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; justifiant l'&lt;u&gt;absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.&lt;/u&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; dépendant effectivement de &lt;math&gt;\theta_m\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Formule de de Borda ===

&lt;center&gt;La formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot;&gt; En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de &lt;math&gt;\;\simeq 1760&lt;/math&gt;, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]'''  ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde  [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué  un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de &lt;math&gt;\;36\; mm&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;526\; g&lt;/math&gt;, et accrochée à un fil de fer de &lt;math&gt;\;12\; pieds\;&lt;/math&gt; de long (un pied de l’époque valait &lt;math&gt;\;324,839\, mm\big)&lt;/math&gt;, la période d'oscillations était de &lt;math&gt;\;2\, s\big]\;&lt;/math&gt; puis, entre &lt;math&gt;\;1792\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;1799&lt;/math&gt;, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.&lt;/ref&gt; n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt;, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; de la période d’oscillations » &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; est l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; A priori non petite.&lt;/ref&gt; exprimée en &lt;math&gt;\;rad\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : L'évaluation de la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; non petites &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;celles-ci devant être &lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;&lt;/math&gt; pour donner un résultat correct à &lt;math&gt;\;1\,\%\;&lt;/math&gt; près&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0&lt;/math&gt;, l'amplitude des oscillations est égale à &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\big)&lt;/math&gt;, la comparaison avec la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donnant : 
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;0,43\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;7,19\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;18,94\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période.

== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_t\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\;R_2\;&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\;R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à droite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\;+12\; V\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» à l’équilibre inférieure à &lt;math&gt;\;10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;2,4\; V\;&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\;0,3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\;F&lt;/math&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\;3\;&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\;COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;10\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\;7000\;&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\;2\;P + 1\;&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\;b_0 = 1\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;f_c\;&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\;f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\;1\;Hz\big]\;&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\;n_e\;&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\;\big\{n_e\;&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\;7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; ou plus devrait convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\;2\;P + 1 = 41\;&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|4}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\;P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\;2\;\pi\;&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … 
&lt;br&gt;{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;2,5\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\;1000\;&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\;12\; s\;&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\;4800\;&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\;90\;\text{°}\;&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) */</comment>
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      <text bytes="298043" sha1="97e7q1hm1ctrkg6n34qey5plc53dj60" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 8
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » ==

[[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|&lt;center&gt;Liaison sphérique &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;]]
{{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme &lt;math&gt;\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» et pouvant tourner autour d’un « point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; autre que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt;», le solide étant 
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre un schéma de principe en perspective&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec précision des degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» bloqués et de ceux de rotation «&lt;math&gt;\;R_i\;&lt;/math&gt;» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction de la rotule&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; 
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot;
! width=20% | Rotule&lt;br /&gt;de centre O
| width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]]
! width=30% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot;&gt; Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,T_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,T_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,T_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,T_x = 0\,\ldots\big]\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,R_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,R_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,R_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de rotation suivant l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,R_x = 0\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
! width=30% | Libertés : &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
&lt;center&gt;ou&lt;/center&gt;
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; avec précision des &lt;math&gt;\,5\,&lt;/math&gt; degrés bloqués, les &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» et &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de rotation «&lt;math&gt;\;R_k\;&lt;/math&gt;», le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par la composition d'une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}\,&lt;/math&gt; de direction &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction du pivot&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;» si l'axe du pivot est &lt;math&gt;\,\left( x'x \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot; width=&quot;80%&quot;
! width=15% | Pivot&lt;br /&gt;d'axe (O,x)
| width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]]
| width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]]
| width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]]
! width=25% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
! width=20% | Libertés : &lt;math&gt;\; R_x \neq 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ;

{{Al|5}}on note «&lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt;» la masse du pendule, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le meilleur &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; serait le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2&lt;sup&gt;ndes&lt;/sup&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\;\ldots\big]&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de l'espace physique « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;tout point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;».

== Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les suivantes : &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\;G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) ===

[[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\big\}\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot;&gt; L'établissement de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,&lt;/math&gt; a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste &lt;math&gt;\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref&gt; Car &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}(t)\,&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et à &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,cste_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;

{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }} soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; c.-à-d. qu'on établit «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante &lt;math&gt;\;cste\;&lt;/math&gt; se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\;V_{\theta_G}(0) = \mathfrak{a}\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des {{Nobr|C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;}} sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = cste\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = cste\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit {{Nobr|directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,}} l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Oendule Pesant]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec {{Nobr|C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;}} de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire ==

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot;&gt; On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_réaction-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre que la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; s'écrivait &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, c.-à-d. que la réaction étant dans le plan vertical de lancement s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; donc de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot;&gt; En effet la force étant &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» ;}}
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle 
* a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et 
* sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ;
{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» et le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
== Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites ==

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; on conclut à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|5}}« on écarte le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\;rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, 

{{Al|16}}{{Transparent|« on écarte le P.P.N.A. de sa position d’équilibre stable et }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt; dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et aussi dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature oscillatoire de petite amplitude&quot;&gt; La démonstration de la nature oscillatoire entre &lt;math&gt;\;-\theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;+\theta_0\;&lt;/math&gt; du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;center&gt;l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br /&gt;une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme d'amortissement et homogène.&lt;/center&gt;
=== P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation ===

{{Al|5}}Le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient &lt;center&gt;un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; (non amorti) » de « pulsation propre &lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Période des « petites oscillations » ===

{{Al|5}}On en déduit la « &lt;u&gt;période propre des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à un degré de liberté » «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;limite de validité de la période des petites élongations angualires&quot;&gt; On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; reste petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\;&lt;/math&gt; si on travaille à &lt;math&gt;\;1\; \%\;&lt;/math&gt; près.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; « bât plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot;&gt; C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.&lt;/ref&gt;, en un lieu fixé, pour «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; plus petit » réalisé pour une répartition de masse plus proche de l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; plus petit » &lt;ref&gt; En effet, quand on rapproche les masses de l’axe, cela implique la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; mais aussi celle de la distance &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; séparant le C.D.I. du solide de &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les variations de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; étant couplées ; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; implique celle de &lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; en effet « si on divise toutes les distances par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;», le « moment d’inertie &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\;4\;&lt;/math&gt;» et la « distance &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. que « &lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans ce cas la période des petites élongations est divisée par &lt;math&gt;\;\sqrt{2}\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et 

{{Al|16}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite »,}} à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; plus grande » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sur Terre « bât un peu plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot; /&gt; aux pôles qu'à l'équateur &lt;ref&gt; L'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant &lt;math&gt;\;g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\;&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; aux pôles battra à la période de &lt;math&gt;\;1,0026\;s\;&lt;/math&gt; à l'équateur.&lt;/ref&gt; et le même P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; « bât nettement plus rapidement » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot; /&gt; sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) &lt;ref&gt; Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; L'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit &lt;math&gt;\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq 2,45\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; sur Terre battra à la période de &lt;math&gt;\;2,45\;s\;&lt;/math&gt; sur la Lune.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites ==

=== Introduction ===

{{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et &lt;math&gt;11&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;la détermination directe de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier ===

{{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ce qui donne «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» soit, en reconnaissant 
* dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» la dérivée temporelle de «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et 
* dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|terme}}«&lt;math&gt;\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» {{Al|4}}celle de «&lt;math&gt;\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» 
{{Al|5}}puis en intégrant entre «&lt;math&gt;\;t = 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;t &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; quelconque » et «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; également quelconque »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement, en multipliant par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.&lt;/ref&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|&lt;sup&gt;53&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|&lt;sup&gt;53&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en même position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;, on ajoute de part et d’autre de l’équation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt; la quantité «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» pour reconnaître respectivement dans «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l’instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et à l’instant initial avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; d’où, en notant «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique ===

{{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt;», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;oscillatoire et périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt;» l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; », l’autre mur étant à la position repérée par «&lt;math&gt;\;-\theta_m\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0\big)&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif et périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\;\dfrac{\theta}{2}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; ou enfin, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\;\pi\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 + \pi\;&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\;0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot;&gt; On obtiendrait la même expression en supposant &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore,&lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot; /&gt; ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\;\dfrac{\theta}{2}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; ou enfin, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\;\theta_0 - \pi\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;- \pi\;&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période &lt;math&gt;\;\pi\;&lt;/math&gt; de la fonction à intégrer.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;&lt;math&gt;\Bigg\}&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)&lt;/math&gt;, il y a mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessus.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;où le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; s'arrête définitivement&lt;/u&gt; en absence de perturbations extérieures.

== Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ==

=== Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme implicite étant l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement de ce dernier «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» est égale à «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; quelconques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; après substitution de «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et de «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ===

{{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt; ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;énergie mécanique initiale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré :
* pour un mouvement &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ;
* pour un mouvement &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Conclusion&lt;/u&gt; : La « &lt;u&gt;bifurcation&lt;/u&gt; » entre les deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; et révolutif » correspond à un &lt;u&gt;portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point générique repartant dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;» ou dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

== Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot;&gt; La version utilisée étant '''Scilab''' &lt;math&gt;\;5.41&lt;/math&gt;, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.&lt;/ref&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; ensuite

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} &gt; \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; et enfin

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;».

=== Non isochronisme des oscillations ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » par « P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; », «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et on adapte les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;&lt;/math&gt; satisfaisant un mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; d'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg\{&lt;/math&gt;c.-à-d. telles que «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; devant être substitué par &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité &lt;ref&gt; La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations est &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où l'expression de la &lt;u&gt;période d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme intégrale&lt;/u&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» est la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; suivi de sa réécriture &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans nouvelle démonstration&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouvant le &lt;u&gt;non isochronisme de ce dernier&lt;/u&gt; : &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;changement de variable&quot;&gt; Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable &lt;math&gt;\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification du non isochronisme&quot;&gt; Cette dernière expression intégrale de &lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; justifiant l'&lt;u&gt;absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.&lt;/u&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; dépendant effectivement de &lt;math&gt;\theta_m\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Formule de de Borda ===

&lt;center&gt;La formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot;&gt; En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de &lt;math&gt;\;\simeq 1760&lt;/math&gt;, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]'''  ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde  [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué  un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de &lt;math&gt;\;36\; mm&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;526\; g&lt;/math&gt;, et accrochée à un fil de fer de &lt;math&gt;\;12\; pieds\;&lt;/math&gt; de long (un pied de l’époque valait &lt;math&gt;\;324,839\, mm\big)&lt;/math&gt;, la période d'oscillations était de &lt;math&gt;\;2\, s\big]\;&lt;/math&gt; puis, entre &lt;math&gt;\;1792\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;1799&lt;/math&gt;, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.&lt;/ref&gt; n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt;, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; de la période d’oscillations » &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; est l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; A priori non petite.&lt;/ref&gt; exprimée en &lt;math&gt;\;rad\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : L'évaluation de la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; non petites &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;celles-ci devant être &lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;&lt;/math&gt; pour donner un résultat correct à &lt;math&gt;\;1\,\%\;&lt;/math&gt; près&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0&lt;/math&gt;, l'amplitude des oscillations est égale à &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\big)&lt;/math&gt;, la comparaison avec la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donnant : 
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;0,43\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;7,19\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;18,94\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période.

== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_t\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\;R_2\;&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\;R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à droite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\;+12\; V\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» à l’équilibre inférieure à &lt;math&gt;\;10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;2,4\; V\;&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\;0,3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\;F&lt;/math&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\;3\;&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\;COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;10\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\;7000\;&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\;2\;P + 1\;&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\;b_0 = 1\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;f_c\;&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\;f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\;1\;Hz\big]\;&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\;n_e\;&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\;\big\{n_e\;&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\;7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; ou plus devrait convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\;2\;P + 1 = 41\;&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|4}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\;P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\;2\;\pi\;&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … 
&lt;br&gt;{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;2,5\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\;1000\;&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\;12\; s\;&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\;4800\;&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\;90\;\text{°}\;&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) */</comment>
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      <text bytes="297960" sha1="5pn5sovhgqh9l335ysyvz4qn86fxkft" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 8
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » ==

[[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|&lt;center&gt;Liaison sphérique &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;]]
{{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme &lt;math&gt;\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» et pouvant tourner autour d’un « point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; autre que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt;», le solide étant 
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre un schéma de principe en perspective&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec précision des degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» bloqués et de ceux de rotation «&lt;math&gt;\;R_i\;&lt;/math&gt;» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction de la rotule&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; 
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot;
! width=20% | Rotule&lt;br /&gt;de centre O
| width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]]
! width=30% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot;&gt; Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,T_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,T_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,T_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,T_x = 0\,\ldots\big]\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,R_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,R_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,R_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de rotation suivant l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,R_x = 0\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
! width=30% | Libertés : &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
&lt;center&gt;ou&lt;/center&gt;
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; avec précision des &lt;math&gt;\,5\,&lt;/math&gt; degrés bloqués, les &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» et &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de rotation «&lt;math&gt;\;R_k\;&lt;/math&gt;», le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par la composition d'une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}\,&lt;/math&gt; de direction &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction du pivot&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;» si l'axe du pivot est &lt;math&gt;\,\left( x'x \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot; width=&quot;80%&quot;
! width=15% | Pivot&lt;br /&gt;d'axe (O,x)
| width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]]
| width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]]
| width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]]
! width=25% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
! width=20% | Libertés : &lt;math&gt;\; R_x \neq 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ;

{{Al|5}}on note «&lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt;» la masse du pendule, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le meilleur &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; serait le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2&lt;sup&gt;ndes&lt;/sup&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\;\ldots\big]&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de l'espace physique « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;tout point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;».

== Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les suivantes : &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\;G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) ===

[[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\big\}\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot;&gt; L'établissement de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,&lt;/math&gt; a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste &lt;math&gt;\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref&gt; Car &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}(t)\,&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et à &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,cste_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; c.-à-d. qu'on établit «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante &lt;math&gt;\;cste\;&lt;/math&gt; se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\;V_{\theta_G}(0) = \mathfrak{a}\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des {{Nobr|C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;}} sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = cste\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = cste\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit {{Nobr|directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,}} l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Oendule Pesant]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec {{Nobr|C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;}} de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire ==

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot;&gt; On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_réaction-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre que la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; s'écrivait &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, c.-à-d. que la réaction étant dans le plan vertical de lancement s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; donc de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot;&gt; En effet la force étant &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» ;}}
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle 
* a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et 
* sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ;
{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» et le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
== Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites ==

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; on conclut à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|5}}« on écarte le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\;rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, 

{{Al|16}}{{Transparent|« on écarte le P.P.N.A. de sa position d’équilibre stable et }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt; dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et aussi dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature oscillatoire de petite amplitude&quot;&gt; La démonstration de la nature oscillatoire entre &lt;math&gt;\;-\theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;+\theta_0\;&lt;/math&gt; du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;center&gt;l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br /&gt;une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme d'amortissement et homogène.&lt;/center&gt;
=== P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation ===

{{Al|5}}Le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient &lt;center&gt;un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; (non amorti) » de « pulsation propre &lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Période des « petites oscillations » ===

{{Al|5}}On en déduit la « &lt;u&gt;période propre des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à un degré de liberté » «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;limite de validité de la période des petites élongations angualires&quot;&gt; On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; reste petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\;&lt;/math&gt; si on travaille à &lt;math&gt;\;1\; \%\;&lt;/math&gt; près.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; « bât plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot;&gt; C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.&lt;/ref&gt;, en un lieu fixé, pour «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; plus petit » réalisé pour une répartition de masse plus proche de l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; plus petit » &lt;ref&gt; En effet, quand on rapproche les masses de l’axe, cela implique la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; mais aussi celle de la distance &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; séparant le C.D.I. du solide de &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les variations de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; étant couplées ; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; implique celle de &lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; en effet « si on divise toutes les distances par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;», le « moment d’inertie &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\;4\;&lt;/math&gt;» et la « distance &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. que « &lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans ce cas la période des petites élongations est divisée par &lt;math&gt;\;\sqrt{2}\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et 

{{Al|16}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite »,}} à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; plus grande » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sur Terre « bât un peu plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot; /&gt; aux pôles qu'à l'équateur &lt;ref&gt; L'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant &lt;math&gt;\;g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\;&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; aux pôles battra à la période de &lt;math&gt;\;1,0026\;s\;&lt;/math&gt; à l'équateur.&lt;/ref&gt; et le même P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; « bât nettement plus rapidement » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot; /&gt; sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) &lt;ref&gt; Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; L'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit &lt;math&gt;\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq 2,45\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; sur Terre battra à la période de &lt;math&gt;\;2,45\;s\;&lt;/math&gt; sur la Lune.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites ==

=== Introduction ===

{{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et &lt;math&gt;11&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;la détermination directe de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier ===

{{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ce qui donne «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» soit, en reconnaissant 
* dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» la dérivée temporelle de «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et 
* dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|terme}}«&lt;math&gt;\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» {{Al|4}}celle de «&lt;math&gt;\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» 
{{Al|5}}puis en intégrant entre «&lt;math&gt;\;t = 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;t &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; quelconque » et «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; également quelconque »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement, en multipliant par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.&lt;/ref&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|&lt;sup&gt;53&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|&lt;sup&gt;53&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en même position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;, on ajoute de part et d’autre de l’équation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt; la quantité «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» pour reconnaître respectivement dans «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l’instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et à l’instant initial avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; d’où, en notant «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique ===

{{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt;», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;oscillatoire et périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt;» l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; », l’autre mur étant à la position repérée par «&lt;math&gt;\;-\theta_m\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0\big)&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif et périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\;\dfrac{\theta}{2}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; ou enfin, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\;\pi\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 + \pi\;&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\;0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot;&gt; On obtiendrait la même expression en supposant &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore,&lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot; /&gt; ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\;\dfrac{\theta}{2}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; ou enfin, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\;\theta_0 - \pi\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;- \pi\;&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période &lt;math&gt;\;\pi\;&lt;/math&gt; de la fonction à intégrer.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;&lt;math&gt;\Bigg\}&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)&lt;/math&gt;, il y a mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessus.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;où le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; s'arrête définitivement&lt;/u&gt; en absence de perturbations extérieures.

== Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ==

=== Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme implicite étant l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement de ce dernier «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» est égale à «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; quelconques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; après substitution de «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et de «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ===

{{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt; ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;énergie mécanique initiale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré :
* pour un mouvement &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ;
* pour un mouvement &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Conclusion&lt;/u&gt; : La « &lt;u&gt;bifurcation&lt;/u&gt; » entre les deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; et révolutif » correspond à un &lt;u&gt;portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point générique repartant dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;» ou dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

== Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot;&gt; La version utilisée étant '''Scilab''' &lt;math&gt;\;5.41&lt;/math&gt;, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.&lt;/ref&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; ensuite

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} &gt; \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; et enfin

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;».

=== Non isochronisme des oscillations ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » par « P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; », «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et on adapte les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;&lt;/math&gt; satisfaisant un mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; d'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg\{&lt;/math&gt;c.-à-d. telles que «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; devant être substitué par &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité &lt;ref&gt; La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations est &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où l'expression de la &lt;u&gt;période d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme intégrale&lt;/u&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» est la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; suivi de sa réécriture &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans nouvelle démonstration&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouvant le &lt;u&gt;non isochronisme de ce dernier&lt;/u&gt; : &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;changement de variable&quot;&gt; Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable &lt;math&gt;\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification du non isochronisme&quot;&gt; Cette dernière expression intégrale de &lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; justifiant l'&lt;u&gt;absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.&lt;/u&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; dépendant effectivement de &lt;math&gt;\theta_m\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Formule de de Borda ===

&lt;center&gt;La formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot;&gt; En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de &lt;math&gt;\;\simeq 1760&lt;/math&gt;, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]'''  ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde  [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué  un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de &lt;math&gt;\;36\; mm&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;526\; g&lt;/math&gt;, et accrochée à un fil de fer de &lt;math&gt;\;12\; pieds\;&lt;/math&gt; de long (un pied de l’époque valait &lt;math&gt;\;324,839\, mm\big)&lt;/math&gt;, la période d'oscillations était de &lt;math&gt;\;2\, s\big]\;&lt;/math&gt; puis, entre &lt;math&gt;\;1792\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;1799&lt;/math&gt;, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.&lt;/ref&gt; n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt;, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; de la période d’oscillations » &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; est l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; A priori non petite.&lt;/ref&gt; exprimée en &lt;math&gt;\;rad\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : L'évaluation de la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; non petites &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;celles-ci devant être &lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;&lt;/math&gt; pour donner un résultat correct à &lt;math&gt;\;1\,\%\;&lt;/math&gt; près&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0&lt;/math&gt;, l'amplitude des oscillations est égale à &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\big)&lt;/math&gt;, la comparaison avec la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donnant : 
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;0,43\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;7,19\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;18,94\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période.

== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_t\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\;R_2\;&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\;R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à droite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\;+12\; V\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» à l’équilibre inférieure à &lt;math&gt;\;10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;2,4\; V\;&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\;0,3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\;F&lt;/math&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\;3\;&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\;COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;10\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\;7000\;&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\;2\;P + 1\;&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\;b_0 = 1\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;f_c\;&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\;f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\;1\;Hz\big]\;&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\;n_e\;&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\;\big\{n_e\;&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\;7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; ou plus devrait convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\;2\;P + 1 = 41\;&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|4}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\;P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\;2\;\pi\;&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … 
&lt;br&gt;{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;2,5\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\;1000\;&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\;12\; s\;&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\;4800\;&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\;90\;\text{°}\;&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) */</comment>
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      <text bytes="304006" sha1="74fpp8h7c1lq5bfin87eaqe1nwrj9sh" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 8
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » ==

[[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|&lt;center&gt;Liaison sphérique &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;]]
{{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme &lt;math&gt;\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» et pouvant tourner autour d’un « point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; autre que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt;», le solide étant 
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre un schéma de principe en perspective&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec précision des degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» bloqués et de ceux de rotation «&lt;math&gt;\;R_i\;&lt;/math&gt;» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction de la rotule&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; 
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot;
! width=20% | Rotule&lt;br /&gt;de centre O
| width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]]
! width=30% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot;&gt; Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,T_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,T_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,T_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,T_x = 0\,\ldots\big]\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,R_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,R_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,R_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de rotation suivant l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,R_x = 0\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
! width=30% | Libertés : &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
&lt;center&gt;ou&lt;/center&gt;
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; avec précision des &lt;math&gt;\,5\,&lt;/math&gt; degrés bloqués, les &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» et &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de rotation «&lt;math&gt;\;R_k\;&lt;/math&gt;», le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par la composition d'une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}\,&lt;/math&gt; de direction &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction du pivot&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;» si l'axe du pivot est &lt;math&gt;\,\left( x'x \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot; width=&quot;80%&quot;
! width=15% | Pivot&lt;br /&gt;d'axe (O,x)
| width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]]
| width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]]
| width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]]
! width=25% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
! width=20% | Libertés : &lt;math&gt;\; R_x \neq 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ;

{{Al|5}}on note «&lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt;» la masse du pendule, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le meilleur &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; serait le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2&lt;sup&gt;ndes&lt;/sup&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\;\ldots\big]&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de l'espace physique « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;tout point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;».

== Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les suivantes : &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\;G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) ===

[[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\big\}\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot;&gt; L'établissement de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,&lt;/math&gt; a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste &lt;math&gt;\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot;&gt; Car &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}(t)\,&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et à &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,cste_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot; /&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot; /&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot; /&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement. 

{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les C.I. «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; différait et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane Remarque : Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit {{Nobr|directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,}} l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Oendule Pesant]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec {{Nobr|C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;}} de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire ==

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot;&gt; On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_réaction-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre que la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; s'écrivait &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, c.-à-d. que la réaction étant dans le plan vertical de lancement s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; donc de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot;&gt; En effet la force étant &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» ;}}
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle 
* a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et 
* sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ;
{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» et le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
== Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites ==

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; on conclut à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|5}}« on écarte le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\;rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, 

{{Al|16}}{{Transparent|« on écarte le P.P.N.A. de sa position d’équilibre stable et }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt; dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et aussi dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature oscillatoire de petite amplitude&quot;&gt; La démonstration de la nature oscillatoire entre &lt;math&gt;\;-\theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;+\theta_0\;&lt;/math&gt; du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;center&gt;l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br /&gt;une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme d'amortissement et homogène.&lt;/center&gt;
=== P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation ===

{{Al|5}}Le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient &lt;center&gt;un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; (non amorti) » de « pulsation propre &lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Période des « petites oscillations » ===

{{Al|5}}On en déduit la « &lt;u&gt;période propre des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à un degré de liberté » «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;limite de validité de la période des petites élongations angualires&quot;&gt; On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; reste petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\;&lt;/math&gt; si on travaille à &lt;math&gt;\;1\; \%\;&lt;/math&gt; près.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; « bât plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot;&gt; C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.&lt;/ref&gt;, en un lieu fixé, pour «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; plus petit » réalisé pour une répartition de masse plus proche de l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; plus petit » &lt;ref&gt; En effet, quand on rapproche les masses de l’axe, cela implique la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; mais aussi celle de la distance &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; séparant le C.D.I. du solide de &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les variations de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; étant couplées ; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; implique celle de &lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; en effet « si on divise toutes les distances par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;», le « moment d’inertie &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\;4\;&lt;/math&gt;» et la « distance &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. que « &lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans ce cas la période des petites élongations est divisée par &lt;math&gt;\;\sqrt{2}\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et 

{{Al|16}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite »,}} à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; plus grande » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sur Terre « bât un peu plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot; /&gt; aux pôles qu'à l'équateur &lt;ref&gt; L'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant &lt;math&gt;\;g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\;&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; aux pôles battra à la période de &lt;math&gt;\;1,0026\;s\;&lt;/math&gt; à l'équateur.&lt;/ref&gt; et le même P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; « bât nettement plus rapidement » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot; /&gt; sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) &lt;ref&gt; Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; L'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit &lt;math&gt;\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq 2,45\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; sur Terre battra à la période de &lt;math&gt;\;2,45\;s\;&lt;/math&gt; sur la Lune.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites ==

=== Introduction ===

{{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et &lt;math&gt;11&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;la détermination directe de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier ===

{{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ce qui donne «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» soit, en reconnaissant 
* dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» la dérivée temporelle de «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et 
* dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|terme}}«&lt;math&gt;\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» {{Al|4}}celle de «&lt;math&gt;\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» 
{{Al|5}}puis en intégrant entre «&lt;math&gt;\;t = 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;t &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; quelconque » et «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; également quelconque »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement, en multipliant par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.&lt;/ref&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|&lt;sup&gt;53&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|&lt;sup&gt;53&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en même position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;, on ajoute de part et d’autre de l’équation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt; la quantité «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» pour reconnaître respectivement dans «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l’instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et à l’instant initial avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; d’où, en notant «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique ===

{{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt;», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;oscillatoire et périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt;» l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; », l’autre mur étant à la position repérée par «&lt;math&gt;\;-\theta_m\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0\big)&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif et périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\;\dfrac{\theta}{2}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; ou enfin, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\;\pi\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 + \pi\;&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\;0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot;&gt; On obtiendrait la même expression en supposant &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore,&lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot; /&gt; ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\;\dfrac{\theta}{2}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; ou enfin, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\;\theta_0 - \pi\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;- \pi\;&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période &lt;math&gt;\;\pi\;&lt;/math&gt; de la fonction à intégrer.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;&lt;math&gt;\Bigg\}&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)&lt;/math&gt;, il y a mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessus.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;où le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; s'arrête définitivement&lt;/u&gt; en absence de perturbations extérieures.

== Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ==

=== Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme implicite étant l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement de ce dernier «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» est égale à «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; quelconques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; après substitution de «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et de «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ===

{{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt; ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;énergie mécanique initiale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré :
* pour un mouvement &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ;
* pour un mouvement &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Conclusion&lt;/u&gt; : La « &lt;u&gt;bifurcation&lt;/u&gt; » entre les deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; et révolutif » correspond à un &lt;u&gt;portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point générique repartant dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;» ou dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

== Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot;&gt; La version utilisée étant '''Scilab''' &lt;math&gt;\;5.41&lt;/math&gt;, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.&lt;/ref&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; ensuite

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} &gt; \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; et enfin

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;».

=== Non isochronisme des oscillations ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » par « P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; », «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et on adapte les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;&lt;/math&gt; satisfaisant un mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; d'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg\{&lt;/math&gt;c.-à-d. telles que «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; devant être substitué par &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité &lt;ref&gt; La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations est &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où l'expression de la &lt;u&gt;période d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme intégrale&lt;/u&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» est la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; suivi de sa réécriture &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans nouvelle démonstration&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouvant le &lt;u&gt;non isochronisme de ce dernier&lt;/u&gt; : &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;changement de variable&quot;&gt; Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable &lt;math&gt;\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification du non isochronisme&quot;&gt; Cette dernière expression intégrale de &lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; justifiant l'&lt;u&gt;absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.&lt;/u&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; dépendant effectivement de &lt;math&gt;\theta_m\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Formule de de Borda ===

&lt;center&gt;La formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot;&gt; En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de &lt;math&gt;\;\simeq 1760&lt;/math&gt;, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]'''  ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde  [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué  un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de &lt;math&gt;\;36\; mm&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;526\; g&lt;/math&gt;, et accrochée à un fil de fer de &lt;math&gt;\;12\; pieds\;&lt;/math&gt; de long (un pied de l’époque valait &lt;math&gt;\;324,839\, mm\big)&lt;/math&gt;, la période d'oscillations était de &lt;math&gt;\;2\, s\big]\;&lt;/math&gt; puis, entre &lt;math&gt;\;1792\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;1799&lt;/math&gt;, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.&lt;/ref&gt; n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt;, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; de la période d’oscillations » &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; est l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; A priori non petite.&lt;/ref&gt; exprimée en &lt;math&gt;\;rad\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : L'évaluation de la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; non petites &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;celles-ci devant être &lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;&lt;/math&gt; pour donner un résultat correct à &lt;math&gt;\;1\,\%\;&lt;/math&gt; près&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0&lt;/math&gt;, l'amplitude des oscillations est égale à &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\big)&lt;/math&gt;, la comparaison avec la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donnant : 
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;0,43\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;7,19\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;18,94\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période.

== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_t\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\;R_2\;&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\;R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à droite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\;+12\; V\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» à l’équilibre inférieure à &lt;math&gt;\;10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;2,4\; V\;&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\;0,3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\;F&lt;/math&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\;3\;&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\;COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;10\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\;7000\;&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\;2\;P + 1\;&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\;b_0 = 1\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;f_c\;&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\;f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\;1\;Hz\big]\;&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\;n_e\;&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\;\big\{n_e\;&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\;7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; ou plus devrait convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\;2\;P + 1 = 41\;&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|4}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\;P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\;2\;\pi\;&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … 
&lt;br&gt;{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;2,5\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\;1000\;&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\;12\; s\;&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\;4800\;&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\;90\;\text{°}\;&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) */</comment>
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      <text bytes="303877" sha1="ruw602dv3o4nkpo9zt59lplw8f9kiyz" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 8
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » ==

[[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|&lt;center&gt;Liaison sphérique &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;]]
{{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme &lt;math&gt;\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» et pouvant tourner autour d’un « point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; autre que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt;», le solide étant 
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre un schéma de principe en perspective&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec précision des degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» bloqués et de ceux de rotation «&lt;math&gt;\;R_i\;&lt;/math&gt;» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction de la rotule&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; 
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot;
! width=20% | Rotule&lt;br /&gt;de centre O
| width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]]
! width=30% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot;&gt; Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,T_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,T_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,T_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,T_x = 0\,\ldots\big]\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,R_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,R_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,R_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de rotation suivant l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,R_x = 0\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
! width=30% | Libertés : &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
&lt;center&gt;ou&lt;/center&gt;
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; avec précision des &lt;math&gt;\,5\,&lt;/math&gt; degrés bloqués, les &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» et &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de rotation «&lt;math&gt;\;R_k\;&lt;/math&gt;», le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par la composition d'une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}\,&lt;/math&gt; de direction &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction du pivot&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;» si l'axe du pivot est &lt;math&gt;\,\left( x'x \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot; width=&quot;80%&quot;
! width=15% | Pivot&lt;br /&gt;d'axe (O,x)
| width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]]
| width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]]
| width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]]
! width=25% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
! width=20% | Libertés : &lt;math&gt;\; R_x \neq 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ;

{{Al|5}}on note «&lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt;» la masse du pendule, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le meilleur &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; serait le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2&lt;sup&gt;ndes&lt;/sup&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\;\ldots\big]&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de l'espace physique « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;tout point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;».

== Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les suivantes : &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\;G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) ===

[[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\big\}\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot;&gt; L'établissement de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,&lt;/math&gt; a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste &lt;math&gt;\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot;&gt; Car &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}(t)\,&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et à &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,cste_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot; /&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot; /&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot; /&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les C.I. «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; différait et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit {{Nobr|directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,}} l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Oendule Pesant]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec {{Nobr|C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;}} de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire ==

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot;&gt; On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_réaction-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre que la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; s'écrivait &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, c.-à-d. que la réaction étant dans le plan vertical de lancement s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; donc de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot;&gt; En effet la force étant &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» ;}}
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle 
* a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et 
* sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ;
{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» et le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
== Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites ==

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; on conclut à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|5}}« on écarte le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\;rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, 

{{Al|16}}{{Transparent|« on écarte le P.P.N.A. de sa position d’équilibre stable et }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt; dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et aussi dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature oscillatoire de petite amplitude&quot;&gt; La démonstration de la nature oscillatoire entre &lt;math&gt;\;-\theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;+\theta_0\;&lt;/math&gt; du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;center&gt;l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br /&gt;une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme d'amortissement et homogène.&lt;/center&gt;
=== P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation ===

{{Al|5}}Le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient &lt;center&gt;un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; (non amorti) » de « pulsation propre &lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Période des « petites oscillations » ===

{{Al|5}}On en déduit la « &lt;u&gt;période propre des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à un degré de liberté » «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;limite de validité de la période des petites élongations angualires&quot;&gt; On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; reste petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\;&lt;/math&gt; si on travaille à &lt;math&gt;\;1\; \%\;&lt;/math&gt; près.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; « bât plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot;&gt; C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.&lt;/ref&gt;, en un lieu fixé, pour «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; plus petit » réalisé pour une répartition de masse plus proche de l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; plus petit » &lt;ref&gt; En effet, quand on rapproche les masses de l’axe, cela implique la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; mais aussi celle de la distance &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; séparant le C.D.I. du solide de &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les variations de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; étant couplées ; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; implique celle de &lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; en effet « si on divise toutes les distances par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;», le « moment d’inertie &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\;4\;&lt;/math&gt;» et la « distance &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. que « &lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans ce cas la période des petites élongations est divisée par &lt;math&gt;\;\sqrt{2}\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et 

{{Al|16}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite »,}} à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; plus grande » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sur Terre « bât un peu plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot; /&gt; aux pôles qu'à l'équateur &lt;ref&gt; L'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant &lt;math&gt;\;g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\;&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; aux pôles battra à la période de &lt;math&gt;\;1,0026\;s\;&lt;/math&gt; à l'équateur.&lt;/ref&gt; et le même P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; « bât nettement plus rapidement » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot; /&gt; sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) &lt;ref&gt; Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; L'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit &lt;math&gt;\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq 2,45\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; sur Terre battra à la période de &lt;math&gt;\;2,45\;s\;&lt;/math&gt; sur la Lune.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites ==

=== Introduction ===

{{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et &lt;math&gt;11&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;la détermination directe de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier ===

{{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ce qui donne «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» soit, en reconnaissant 
* dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» la dérivée temporelle de «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et 
* dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|terme}}«&lt;math&gt;\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» {{Al|4}}celle de «&lt;math&gt;\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» 
{{Al|5}}puis en intégrant entre «&lt;math&gt;\;t = 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;t &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; quelconque » et «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; également quelconque »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement, en multipliant par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.&lt;/ref&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|&lt;sup&gt;53&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|&lt;sup&gt;53&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en même position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;, on ajoute de part et d’autre de l’équation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt; la quantité «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» pour reconnaître respectivement dans «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l’instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et à l’instant initial avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; d’où, en notant «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique ===

{{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt;», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;oscillatoire et périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt;» l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; », l’autre mur étant à la position repérée par «&lt;math&gt;\;-\theta_m\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0\big)&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif et périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\;\dfrac{\theta}{2}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; ou enfin, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\;\pi\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 + \pi\;&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\;0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot;&gt; On obtiendrait la même expression en supposant &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore,&lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot; /&gt; ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\;\dfrac{\theta}{2}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; ou enfin, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\;\theta_0 - \pi\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;- \pi\;&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période &lt;math&gt;\;\pi\;&lt;/math&gt; de la fonction à intégrer.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;&lt;math&gt;\Bigg\}&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)&lt;/math&gt;, il y a mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessus.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;où le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; s'arrête définitivement&lt;/u&gt; en absence de perturbations extérieures.

== Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ==

=== Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme implicite étant l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement de ce dernier «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» est égale à «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; quelconques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; après substitution de «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et de «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ===

{{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt; ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;énergie mécanique initiale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré :
* pour un mouvement &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ;
* pour un mouvement &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Conclusion&lt;/u&gt; : La « &lt;u&gt;bifurcation&lt;/u&gt; » entre les deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; et révolutif » correspond à un &lt;u&gt;portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point générique repartant dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;» ou dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

== Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot;&gt; La version utilisée étant '''Scilab''' &lt;math&gt;\;5.41&lt;/math&gt;, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.&lt;/ref&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; ensuite

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} &gt; \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; et enfin

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;».

=== Non isochronisme des oscillations ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » par « P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; », «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et on adapte les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;&lt;/math&gt; satisfaisant un mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; d'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg\{&lt;/math&gt;c.-à-d. telles que «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; devant être substitué par &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité &lt;ref&gt; La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations est &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où l'expression de la &lt;u&gt;période d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme intégrale&lt;/u&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» est la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; suivi de sa réécriture &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans nouvelle démonstration&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouvant le &lt;u&gt;non isochronisme de ce dernier&lt;/u&gt; : &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;changement de variable&quot;&gt; Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable &lt;math&gt;\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification du non isochronisme&quot;&gt; Cette dernière expression intégrale de &lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; justifiant l'&lt;u&gt;absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.&lt;/u&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; dépendant effectivement de &lt;math&gt;\theta_m\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Formule de de Borda ===

&lt;center&gt;La formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot;&gt; En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de &lt;math&gt;\;\simeq 1760&lt;/math&gt;, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]'''  ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde  [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué  un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de &lt;math&gt;\;36\; mm&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;526\; g&lt;/math&gt;, et accrochée à un fil de fer de &lt;math&gt;\;12\; pieds\;&lt;/math&gt; de long (un pied de l’époque valait &lt;math&gt;\;324,839\, mm\big)&lt;/math&gt;, la période d'oscillations était de &lt;math&gt;\;2\, s\big]\;&lt;/math&gt; puis, entre &lt;math&gt;\;1792\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;1799&lt;/math&gt;, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.&lt;/ref&gt; n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt;, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; de la période d’oscillations » &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; est l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; A priori non petite.&lt;/ref&gt; exprimée en &lt;math&gt;\;rad\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : L'évaluation de la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; non petites &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;celles-ci devant être &lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;&lt;/math&gt; pour donner un résultat correct à &lt;math&gt;\;1\,\%\;&lt;/math&gt; près&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0&lt;/math&gt;, l'amplitude des oscillations est égale à &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\big)&lt;/math&gt;, la comparaison avec la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donnant : 
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;0,43\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;7,19\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;18,94\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période.

== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_t\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\;R_2\;&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\;R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à droite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\;+12\; V\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» à l’équilibre inférieure à &lt;math&gt;\;10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;2,4\; V\;&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\;0,3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\;F&lt;/math&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\;3\;&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\;COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;10\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\;7000\;&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\;2\;P + 1\;&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\;b_0 = 1\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;f_c\;&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\;f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\;1\;Hz\big]\;&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\;n_e\;&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\;\big\{n_e\;&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\;7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; ou plus devrait convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\;2\;P + 1 = 41\;&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|4}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\;P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\;2\;\pi\;&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … 
&lt;br&gt;{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;2,5\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\;1000\;&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\;12\; s\;&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\;4800\;&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\;90\;\text{°}\;&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté */</comment>
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      <text bytes="305626" sha1="626z69e9u486dq5ss80c04emdz57k1k" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 8
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » ==

[[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|&lt;center&gt;Liaison sphérique &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;]]
{{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme &lt;math&gt;\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» et pouvant tourner autour d’un « point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; autre que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt;», le solide étant 
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre un schéma de principe en perspective&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec précision des degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» bloqués et de ceux de rotation «&lt;math&gt;\;R_i\;&lt;/math&gt;» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction de la rotule&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; 
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot;
! width=20% | Rotule&lt;br /&gt;de centre O
| width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]]
! width=30% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot;&gt; Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,T_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,T_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,T_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,T_x = 0\,\ldots\big]\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,R_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,R_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,R_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de rotation suivant l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,R_x = 0\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
! width=30% | Libertés : &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
&lt;center&gt;ou&lt;/center&gt;
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; avec précision des &lt;math&gt;\,5\,&lt;/math&gt; degrés bloqués, les &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» et &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de rotation «&lt;math&gt;\;R_k\;&lt;/math&gt;», le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par la composition d'une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}\,&lt;/math&gt; de direction &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction du pivot&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;» si l'axe du pivot est &lt;math&gt;\,\left( x'x \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot; width=&quot;80%&quot;
! width=15% | Pivot&lt;br /&gt;d'axe (O,x)
| width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]]
| width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]]
| width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]]
! width=25% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
! width=20% | Libertés : &lt;math&gt;\; R_x \neq 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ;

{{Al|5}}on note «&lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt;» la masse du pendule, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le meilleur &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; serait le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2&lt;sup&gt;ndes&lt;/sup&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\;\ldots\big]&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de l'espace physique « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;tout point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;».

== Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les suivantes : &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\;G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) ===

[[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\big\}\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot;&gt; L'établissement de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,&lt;/math&gt; a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste &lt;math&gt;\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot;&gt; Car &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}(t)\,&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et à &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,cste_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot; /&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot; /&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot; /&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les C.I. «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; différait et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Oendule Pesant]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec {{Nobr|C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;}} de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire ==

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot;&gt; On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_réaction-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre que la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; s'écrivait &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, c.-à-d. que la réaction étant dans le plan vertical de lancement s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; donc de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot;&gt; En effet la force étant &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» ;}}
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle 
* a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et 
* sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ;
{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» et le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
== Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites ==

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; on conclut à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|5}}« on écarte le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\;rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, 

{{Al|16}}{{Transparent|« on écarte le P.P.N.A. de sa position d’équilibre stable et }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt; dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et aussi dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature oscillatoire de petite amplitude&quot;&gt; La démonstration de la nature oscillatoire entre &lt;math&gt;\;-\theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;+\theta_0\;&lt;/math&gt; du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;center&gt;l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br /&gt;une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme d'amortissement et homogène.&lt;/center&gt;
=== P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation ===

{{Al|5}}Le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient &lt;center&gt;un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; (non amorti) » de « pulsation propre &lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Période des « petites oscillations » ===

{{Al|5}}On en déduit la « &lt;u&gt;période propre des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à un degré de liberté » «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;limite de validité de la période des petites élongations angualires&quot;&gt; On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; reste petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\;&lt;/math&gt; si on travaille à &lt;math&gt;\;1\; \%\;&lt;/math&gt; près.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; « bât plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot;&gt; C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.&lt;/ref&gt;, en un lieu fixé, pour «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; plus petit » réalisé pour une répartition de masse plus proche de l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; plus petit » &lt;ref&gt; En effet, quand on rapproche les masses de l’axe, cela implique la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; mais aussi celle de la distance &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; séparant le C.D.I. du solide de &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les variations de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; étant couplées ; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; implique celle de &lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; en effet « si on divise toutes les distances par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;», le « moment d’inertie &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\;4\;&lt;/math&gt;» et la « distance &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. que « &lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans ce cas la période des petites élongations est divisée par &lt;math&gt;\;\sqrt{2}\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et 

{{Al|16}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite »,}} à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; plus grande » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sur Terre « bât un peu plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot; /&gt; aux pôles qu'à l'équateur &lt;ref&gt; L'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant &lt;math&gt;\;g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\;&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; aux pôles battra à la période de &lt;math&gt;\;1,0026\;s\;&lt;/math&gt; à l'équateur.&lt;/ref&gt; et le même P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; « bât nettement plus rapidement » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot; /&gt; sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) &lt;ref&gt; Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; L'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit &lt;math&gt;\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq 2,45\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; sur Terre battra à la période de &lt;math&gt;\;2,45\;s\;&lt;/math&gt; sur la Lune.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites ==

=== Introduction ===

{{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et &lt;math&gt;11&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;la détermination directe de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier ===

{{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ce qui donne «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» soit, en reconnaissant 
* dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» la dérivée temporelle de «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et 
* dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|terme}}«&lt;math&gt;\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» {{Al|4}}celle de «&lt;math&gt;\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» 
{{Al|5}}puis en intégrant entre «&lt;math&gt;\;t = 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;t &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; quelconque » et «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; également quelconque »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement, en multipliant par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.&lt;/ref&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|&lt;sup&gt;53&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|&lt;sup&gt;53&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en même position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;, on ajoute de part et d’autre de l’équation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt; la quantité «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» pour reconnaître respectivement dans «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l’instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et à l’instant initial avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; d’où, en notant «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique ===

{{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt;», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;oscillatoire et périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt;» l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; », l’autre mur étant à la position repérée par «&lt;math&gt;\;-\theta_m\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0\big)&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif et périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\;\dfrac{\theta}{2}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; ou enfin, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\;\pi\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 + \pi\;&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\;0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot;&gt; On obtiendrait la même expression en supposant &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore,&lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot; /&gt; ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\;\dfrac{\theta}{2}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; ou enfin, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\;\theta_0 - \pi\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;- \pi\;&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période &lt;math&gt;\;\pi\;&lt;/math&gt; de la fonction à intégrer.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;&lt;math&gt;\Bigg\}&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)&lt;/math&gt;, il y a mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessus.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;où le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; s'arrête définitivement&lt;/u&gt; en absence de perturbations extérieures.

== Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ==

=== Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme implicite étant l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement de ce dernier «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» est égale à «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; quelconques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; après substitution de «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et de «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ===

{{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt; ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;énergie mécanique initiale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré :
* pour un mouvement &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ;
* pour un mouvement &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Conclusion&lt;/u&gt; : La « &lt;u&gt;bifurcation&lt;/u&gt; » entre les deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; et révolutif » correspond à un &lt;u&gt;portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point générique repartant dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;» ou dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

== Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot;&gt; La version utilisée étant '''Scilab''' &lt;math&gt;\;5.41&lt;/math&gt;, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.&lt;/ref&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; ensuite

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} &gt; \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; et enfin

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;».

=== Non isochronisme des oscillations ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » par « P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; », «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et on adapte les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;&lt;/math&gt; satisfaisant un mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; d'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg\{&lt;/math&gt;c.-à-d. telles que «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; devant être substitué par &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité &lt;ref&gt; La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations est &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où l'expression de la &lt;u&gt;période d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme intégrale&lt;/u&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» est la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; suivi de sa réécriture &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans nouvelle démonstration&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouvant le &lt;u&gt;non isochronisme de ce dernier&lt;/u&gt; : &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;changement de variable&quot;&gt; Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable &lt;math&gt;\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification du non isochronisme&quot;&gt; Cette dernière expression intégrale de &lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; justifiant l'&lt;u&gt;absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.&lt;/u&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; dépendant effectivement de &lt;math&gt;\theta_m\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Formule de de Borda ===

&lt;center&gt;La formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot;&gt; En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de &lt;math&gt;\;\simeq 1760&lt;/math&gt;, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]'''  ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde  [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué  un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de &lt;math&gt;\;36\; mm&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;526\; g&lt;/math&gt;, et accrochée à un fil de fer de &lt;math&gt;\;12\; pieds\;&lt;/math&gt; de long (un pied de l’époque valait &lt;math&gt;\;324,839\, mm\big)&lt;/math&gt;, la période d'oscillations était de &lt;math&gt;\;2\, s\big]\;&lt;/math&gt; puis, entre &lt;math&gt;\;1792\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;1799&lt;/math&gt;, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.&lt;/ref&gt; n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt;, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; de la période d’oscillations » &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; est l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; A priori non petite.&lt;/ref&gt; exprimée en &lt;math&gt;\;rad\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : L'évaluation de la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; non petites &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;celles-ci devant être &lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;&lt;/math&gt; pour donner un résultat correct à &lt;math&gt;\;1\,\%\;&lt;/math&gt; près&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0&lt;/math&gt;, l'amplitude des oscillations est égale à &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\big)&lt;/math&gt;, la comparaison avec la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donnant : 
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;0,43\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;7,19\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;18,94\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période.

== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_t\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\;R_2\;&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\;R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à droite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\;+12\; V\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» à l’équilibre inférieure à &lt;math&gt;\;10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;2,4\; V\;&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\;0,3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\;F&lt;/math&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\;3\;&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\;COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;10\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\;7000\;&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\;2\;P + 1\;&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\;b_0 = 1\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;f_c\;&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\;f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\;1\;Hz\big]\;&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\;n_e\;&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\;\big\{n_e\;&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\;7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; ou plus devrait convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\;2\;P + 1 = 41\;&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|4}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\;P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\;2\;\pi\;&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … 
&lt;br&gt;{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;2,5\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\;1000\;&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\;12\; s\;&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\;4800\;&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\;90\;\text{°}\;&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté */</comment>
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      <text bytes="306032" sha1="o52s3zhw9z0w51nqixfoq4z42m39y3a" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 8
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » ==

[[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|&lt;center&gt;Liaison sphérique &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;]]
{{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme &lt;math&gt;\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» et pouvant tourner autour d’un « point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; autre que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt;», le solide étant 
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre un schéma de principe en perspective&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec précision des degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» bloqués et de ceux de rotation «&lt;math&gt;\;R_i\;&lt;/math&gt;» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction de la rotule&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; 
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot;
! width=20% | Rotule&lt;br /&gt;de centre O
| width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]]
! width=30% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot;&gt; Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,T_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,T_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,T_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,T_x = 0\,\ldots\big]\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,R_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,R_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,R_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de rotation suivant l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,R_x = 0\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
! width=30% | Libertés : &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
&lt;center&gt;ou&lt;/center&gt;
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; avec précision des &lt;math&gt;\,5\,&lt;/math&gt; degrés bloqués, les &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» et &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de rotation «&lt;math&gt;\;R_k\;&lt;/math&gt;», le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par la composition d'une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}\,&lt;/math&gt; de direction &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction du pivot&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;» si l'axe du pivot est &lt;math&gt;\,\left( x'x \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot; width=&quot;80%&quot;
! width=15% | Pivot&lt;br /&gt;d'axe (O,x)
| width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]]
| width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]]
| width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]]
! width=25% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
! width=20% | Libertés : &lt;math&gt;\; R_x \neq 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ;

{{Al|5}}on note «&lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt;» la masse du pendule, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le meilleur &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; serait le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2&lt;sup&gt;ndes&lt;/sup&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\;\ldots\big]&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de l'espace physique « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;tout point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;».

== Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les suivantes : &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\;G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) ===

[[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\big\}\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot;&gt; L'établissement de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,&lt;/math&gt; a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste &lt;math&gt;\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot;&gt; Car &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}(t)\,&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et à &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,cste_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot; /&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot; /&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot; /&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les C.I. «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; différait et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Oendule Pesant]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec {{Nobr|C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;}} de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire ==

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot;&gt; On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_réaction-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre que la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; s'écrivait &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, c.-à-d. que la réaction étant dans le plan vertical de lancement s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; donc de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot;&gt; En effet la force étant &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» ;}}
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle 
* a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et 
* sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ;
{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» et le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
== Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites ==

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; on conclut à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|5}}« on écarte le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\;rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, 

{{Al|16}}{{Transparent|« on écarte le P.P.N.A. de sa position d’équilibre stable et }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt; dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et aussi dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature oscillatoire de petite amplitude&quot;&gt; La démonstration de la nature oscillatoire entre &lt;math&gt;\;-\theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;+\theta_0\;&lt;/math&gt; du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;center&gt;l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br /&gt;une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme d'amortissement et homogène.&lt;/center&gt;
=== P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation ===

{{Al|5}}Le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient &lt;center&gt;un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; (non amorti) » de « pulsation propre &lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Période des « petites oscillations » ===

{{Al|5}}On en déduit la « &lt;u&gt;période propre des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à un degré de liberté » «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;limite de validité de la période des petites élongations angualires&quot;&gt; On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; reste petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\;&lt;/math&gt; si on travaille à &lt;math&gt;\;1\; \%\;&lt;/math&gt; près.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; « bât plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot;&gt; C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.&lt;/ref&gt;, en un lieu fixé, pour «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; plus petit » réalisé pour une répartition de masse plus proche de l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; plus petit » &lt;ref&gt; En effet, quand on rapproche les masses de l’axe, cela implique la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; mais aussi celle de la distance &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; séparant le C.D.I. du solide de &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les variations de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; étant couplées ; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; implique celle de &lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; en effet « si on divise toutes les distances par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;», le « moment d’inertie &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\;4\;&lt;/math&gt;» et la « distance &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. que « &lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans ce cas la période des petites élongations est divisée par &lt;math&gt;\;\sqrt{2}\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et 

{{Al|16}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite »,}} à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; plus grande » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sur Terre « bât un peu plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot; /&gt; aux pôles qu'à l'équateur &lt;ref&gt; L'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant &lt;math&gt;\;g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\;&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; aux pôles battra à la période de &lt;math&gt;\;1,0026\;s\;&lt;/math&gt; à l'équateur.&lt;/ref&gt; et le même P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; « bât nettement plus rapidement » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot; /&gt; sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) &lt;ref&gt; Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; L'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit &lt;math&gt;\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq 2,45\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; sur Terre battra à la période de &lt;math&gt;\;2,45\;s\;&lt;/math&gt; sur la Lune.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites ==

=== Introduction ===

{{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et &lt;math&gt;11&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;la détermination directe de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier ===

{{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ce qui donne «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» soit, en reconnaissant 
* dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» la dérivée temporelle de «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et 
* dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|terme}}«&lt;math&gt;\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» {{Al|4}}celle de «&lt;math&gt;\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» 
{{Al|5}}puis en intégrant entre «&lt;math&gt;\;t = 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;t &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; quelconque » et «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; également quelconque »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement, en multipliant par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.&lt;/ref&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|&lt;sup&gt;53&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|&lt;sup&gt;53&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en même position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;, on ajoute de part et d’autre de l’équation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt; la quantité «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» pour reconnaître respectivement dans «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l’instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et à l’instant initial avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; d’où, en notant «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique ===

{{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt;», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;oscillatoire et périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt;» l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; », l’autre mur étant à la position repérée par «&lt;math&gt;\;-\theta_m\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0\big)&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif et périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\;\dfrac{\theta}{2}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; ou enfin, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\;\pi\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 + \pi\;&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\;0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot;&gt; On obtiendrait la même expression en supposant &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore,&lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot; /&gt; ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\;\dfrac{\theta}{2}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; ou enfin, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\;\theta_0 - \pi\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;- \pi\;&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période &lt;math&gt;\;\pi\;&lt;/math&gt; de la fonction à intégrer.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;&lt;math&gt;\Bigg\}&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)&lt;/math&gt;, il y a mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessus.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;où le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; s'arrête définitivement&lt;/u&gt; en absence de perturbations extérieures.

== Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ==

=== Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme implicite étant l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement de ce dernier «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» est égale à «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; quelconques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; après substitution de «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et de «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ===

{{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt; ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;énergie mécanique initiale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré :
* pour un mouvement &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ;
* pour un mouvement &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Conclusion&lt;/u&gt; : La « &lt;u&gt;bifurcation&lt;/u&gt; » entre les deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; et révolutif » correspond à un &lt;u&gt;portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point générique repartant dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;» ou dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

== Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot;&gt; La version utilisée étant '''Scilab''' &lt;math&gt;\;5.41&lt;/math&gt;, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.&lt;/ref&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; ensuite

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} &gt; \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; et enfin

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;».

=== Non isochronisme des oscillations ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » par « P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; », «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et on adapte les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;&lt;/math&gt; satisfaisant un mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; d'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg\{&lt;/math&gt;c.-à-d. telles que «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; devant être substitué par &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité &lt;ref&gt; La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations est &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où l'expression de la &lt;u&gt;période d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme intégrale&lt;/u&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» est la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; suivi de sa réécriture &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans nouvelle démonstration&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouvant le &lt;u&gt;non isochronisme de ce dernier&lt;/u&gt; : &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;changement de variable&quot;&gt; Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable &lt;math&gt;\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification du non isochronisme&quot;&gt; Cette dernière expression intégrale de &lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; justifiant l'&lt;u&gt;absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.&lt;/u&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; dépendant effectivement de &lt;math&gt;\theta_m\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Formule de de Borda ===

&lt;center&gt;La formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot;&gt; En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de &lt;math&gt;\;\simeq 1760&lt;/math&gt;, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]'''  ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde  [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué  un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de &lt;math&gt;\;36\; mm&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;526\; g&lt;/math&gt;, et accrochée à un fil de fer de &lt;math&gt;\;12\; pieds\;&lt;/math&gt; de long (un pied de l’époque valait &lt;math&gt;\;324,839\, mm\big)&lt;/math&gt;, la période d'oscillations était de &lt;math&gt;\;2\, s\big]\;&lt;/math&gt; puis, entre &lt;math&gt;\;1792\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;1799&lt;/math&gt;, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.&lt;/ref&gt; n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt;, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; de la période d’oscillations » &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; est l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; A priori non petite.&lt;/ref&gt; exprimée en &lt;math&gt;\;rad\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : L'évaluation de la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; non petites &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;celles-ci devant être &lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;&lt;/math&gt; pour donner un résultat correct à &lt;math&gt;\;1\,\%\;&lt;/math&gt; près&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0&lt;/math&gt;, l'amplitude des oscillations est égale à &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\big)&lt;/math&gt;, la comparaison avec la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donnant : 
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;0,43\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;7,19\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;18,94\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période.

== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_t\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\;R_2\;&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\;R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à droite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\;+12\; V\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» à l’équilibre inférieure à &lt;math&gt;\;10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;2,4\; V\;&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\;0,3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\;F&lt;/math&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\;3\;&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\;COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;10\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\;7000\;&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\;2\;P + 1\;&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\;b_0 = 1\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;f_c\;&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\;f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\;1\;Hz\big]\;&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\;n_e\;&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\;\big\{n_e\;&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\;7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; ou plus devrait convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\;2\;P + 1 = 41\;&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|4}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\;P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\;2\;\pi\;&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … 
&lt;br&gt;{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;2,5\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\;1000\;&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\;12\; s\;&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\;4800\;&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\;90\;\text{°}\;&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) */</comment>
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      <text bytes="306260" sha1="1sdc5j23rqolsuxdi4wcjjs4p6sjbej" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 8
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » ==

[[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|&lt;center&gt;Liaison sphérique &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;]]
{{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme &lt;math&gt;\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» et pouvant tourner autour d’un « point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; autre que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt;», le solide étant 
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre un schéma de principe en perspective&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec précision des degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» bloqués et de ceux de rotation «&lt;math&gt;\;R_i\;&lt;/math&gt;» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction de la rotule&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; 
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot;
! width=20% | Rotule&lt;br /&gt;de centre O
| width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]]
! width=30% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot;&gt; Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,T_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,T_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,T_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,T_x = 0\,\ldots\big]\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,R_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,R_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,R_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de rotation suivant l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,R_x = 0\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
! width=30% | Libertés : &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
&lt;center&gt;ou&lt;/center&gt;
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; avec précision des &lt;math&gt;\,5\,&lt;/math&gt; degrés bloqués, les &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» et &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de rotation «&lt;math&gt;\;R_k\;&lt;/math&gt;», le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par la composition d'une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}\,&lt;/math&gt; de direction &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction du pivot&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;» si l'axe du pivot est &lt;math&gt;\,\left( x'x \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot; width=&quot;80%&quot;
! width=15% | Pivot&lt;br /&gt;d'axe (O,x)
| width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]]
| width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]]
| width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]]
! width=25% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
! width=20% | Libertés : &lt;math&gt;\; R_x \neq 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ;

{{Al|5}}on note «&lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt;» la masse du pendule, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le meilleur &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; serait le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2&lt;sup&gt;ndes&lt;/sup&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\;\ldots\big]&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de l'espace physique « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;tout point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;».

== Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les suivantes : &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\;G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) ===

[[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\big\}\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot;&gt; L'établissement de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,&lt;/math&gt; a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste &lt;math&gt;\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot;&gt; Car &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}(t)\,&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et à &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,cste_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot; /&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot; /&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot; /&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les C.I. «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; différait et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Oendule Pesant]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec {{Nobr|C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;}} de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire ==

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot;&gt; On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_réaction-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre que la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; s'écrivait &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, c.-à-d. que la réaction étant dans le plan vertical de lancement s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; donc de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot;&gt; En effet la force étant &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» ;}}
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle 
* a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et 
* sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ;
{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» et le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
== Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites ==

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; on conclut à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|5}}« on écarte le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\;rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, 

{{Al|16}}{{Transparent|« on écarte le P.P.N.A. de sa position d’équilibre stable et }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt; dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et aussi dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature oscillatoire de petite amplitude&quot;&gt; La démonstration de la nature oscillatoire entre &lt;math&gt;\;-\theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;+\theta_0\;&lt;/math&gt; du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;center&gt;l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br /&gt;une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme d'amortissement et homogène.&lt;/center&gt;
=== P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation ===

{{Al|5}}Le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient &lt;center&gt;un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; (non amorti) » de « pulsation propre &lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Période des « petites oscillations » ===

{{Al|5}}On en déduit la « &lt;u&gt;période propre des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à un degré de liberté » «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;limite de validité de la période des petites élongations angualires&quot;&gt; On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; reste petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\;&lt;/math&gt; si on travaille à &lt;math&gt;\;1\; \%\;&lt;/math&gt; près.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; « bât plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot;&gt; C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.&lt;/ref&gt;, en un lieu fixé, pour «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; plus petit » réalisé pour une répartition de masse plus proche de l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; plus petit » &lt;ref&gt; En effet, quand on rapproche les masses de l’axe, cela implique la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; mais aussi celle de la distance &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; séparant le C.D.I. du solide de &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les variations de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; étant couplées ; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; implique celle de &lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; en effet « si on divise toutes les distances par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;», le « moment d’inertie &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\;4\;&lt;/math&gt;» et la « distance &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. que « &lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans ce cas la période des petites élongations est divisée par &lt;math&gt;\;\sqrt{2}\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et 

{{Al|16}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite »,}} à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; plus grande » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sur Terre « bât un peu plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot; /&gt; aux pôles qu'à l'équateur &lt;ref&gt; L'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant &lt;math&gt;\;g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\;&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; aux pôles battra à la période de &lt;math&gt;\;1,0026\;s\;&lt;/math&gt; à l'équateur.&lt;/ref&gt; et le même P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; « bât nettement plus rapidement » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot; /&gt; sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) &lt;ref&gt; Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; L'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit &lt;math&gt;\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq 2,45\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; sur Terre battra à la période de &lt;math&gt;\;2,45\;s\;&lt;/math&gt; sur la Lune.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites ==

=== Introduction ===

{{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et &lt;math&gt;11&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;la détermination directe de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier ===

{{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ce qui donne «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» soit, en reconnaissant 
* dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» la dérivée temporelle de «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et 
* dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|terme}}«&lt;math&gt;\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» {{Al|4}}celle de «&lt;math&gt;\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» 
{{Al|5}}puis en intégrant entre «&lt;math&gt;\;t = 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;t &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; quelconque » et «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; également quelconque »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement, en multipliant par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.&lt;/ref&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|&lt;sup&gt;53&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|&lt;sup&gt;53&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en même position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;, on ajoute de part et d’autre de l’équation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt; la quantité «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» pour reconnaître respectivement dans «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l’instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et à l’instant initial avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; d’où, en notant «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique ===

{{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt;», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;oscillatoire et périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt;» l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; », l’autre mur étant à la position repérée par «&lt;math&gt;\;-\theta_m\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0\big)&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif et périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\;\dfrac{\theta}{2}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; ou enfin, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\;\pi\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 + \pi\;&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\;0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot;&gt; On obtiendrait la même expression en supposant &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore,&lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot; /&gt; ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\;\dfrac{\theta}{2}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; ou enfin, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\;\theta_0 - \pi\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;- \pi\;&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période &lt;math&gt;\;\pi\;&lt;/math&gt; de la fonction à intégrer.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;&lt;math&gt;\Bigg\}&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)&lt;/math&gt;, il y a mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessus.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;où le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; s'arrête définitivement&lt;/u&gt; en absence de perturbations extérieures.

== Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ==

=== Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme implicite étant l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement de ce dernier «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» est égale à «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; quelconques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; après substitution de «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et de «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ===

{{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt; ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;énergie mécanique initiale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré :
* pour un mouvement &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ;
* pour un mouvement &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Conclusion&lt;/u&gt; : La « &lt;u&gt;bifurcation&lt;/u&gt; » entre les deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; et révolutif » correspond à un &lt;u&gt;portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point générique repartant dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;» ou dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

== Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot;&gt; La version utilisée étant '''Scilab''' &lt;math&gt;\;5.41&lt;/math&gt;, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.&lt;/ref&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; ensuite

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} &gt; \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; et enfin

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;».

=== Non isochronisme des oscillations ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » par « P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; », «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et on adapte les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;&lt;/math&gt; satisfaisant un mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; d'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg\{&lt;/math&gt;c.-à-d. telles que «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; devant être substitué par &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité &lt;ref&gt; La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations est &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où l'expression de la &lt;u&gt;période d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme intégrale&lt;/u&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» est la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; suivi de sa réécriture &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans nouvelle démonstration&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouvant le &lt;u&gt;non isochronisme de ce dernier&lt;/u&gt; : &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;changement de variable&quot;&gt; Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable &lt;math&gt;\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification du non isochronisme&quot;&gt; Cette dernière expression intégrale de &lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; justifiant l'&lt;u&gt;absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.&lt;/u&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; dépendant effectivement de &lt;math&gt;\theta_m\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Formule de de Borda ===

&lt;center&gt;La formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot;&gt; En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de &lt;math&gt;\;\simeq 1760&lt;/math&gt;, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]'''  ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde  [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué  un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de &lt;math&gt;\;36\; mm&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;526\; g&lt;/math&gt;, et accrochée à un fil de fer de &lt;math&gt;\;12\; pieds\;&lt;/math&gt; de long (un pied de l’époque valait &lt;math&gt;\;324,839\, mm\big)&lt;/math&gt;, la période d'oscillations était de &lt;math&gt;\;2\, s\big]\;&lt;/math&gt; puis, entre &lt;math&gt;\;1792\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;1799&lt;/math&gt;, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.&lt;/ref&gt; n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt;, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; de la période d’oscillations » &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; est l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; A priori non petite.&lt;/ref&gt; exprimée en &lt;math&gt;\;rad\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : L'évaluation de la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; non petites &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;celles-ci devant être &lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;&lt;/math&gt; pour donner un résultat correct à &lt;math&gt;\;1\,\%\;&lt;/math&gt; près&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0&lt;/math&gt;, l'amplitude des oscillations est égale à &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\big)&lt;/math&gt;, la comparaison avec la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donnant : 
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;0,43\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;7,19\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;18,94\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période.

== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_t\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\;R_2\;&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\;R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à droite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\;+12\; V\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» à l’équilibre inférieure à &lt;math&gt;\;10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;2,4\; V\;&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\;0,3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\;F&lt;/math&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\;3\;&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\;COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;10\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\;7000\;&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\;2\;P + 1\;&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\;b_0 = 1\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;f_c\;&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\;f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\;1\;Hz\big]\;&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\;n_e\;&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\;\big\{n_e\;&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\;7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; ou plus devrait convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\;2\;P + 1 = 41\;&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|4}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\;P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\;2\;\pi\;&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … 
&lt;br&gt;{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;2,5\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\;1000\;&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\;12\; s\;&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\;4800\;&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\;90\;\text{°}\;&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
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      <comment>/* Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) */</comment>
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      <text bytes="306260" sha1="fk9gr5xza49ed7zcc8k8rga3umloayg" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 8
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » ==

[[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|&lt;center&gt;Liaison sphérique &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;]]
{{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme &lt;math&gt;\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» et pouvant tourner autour d’un « point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; autre que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt;», le solide étant 
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre un schéma de principe en perspective&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec précision des degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» bloqués et de ceux de rotation «&lt;math&gt;\;R_i\;&lt;/math&gt;» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction de la rotule&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; 
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot;
! width=20% | Rotule&lt;br /&gt;de centre O
| width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]]
! width=30% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot;&gt; Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,T_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,T_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,T_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,T_x = 0\,\ldots\big]\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,R_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,R_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,R_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de rotation suivant l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,R_x = 0\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
! width=30% | Libertés : &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
&lt;center&gt;ou&lt;/center&gt;
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; avec précision des &lt;math&gt;\,5\,&lt;/math&gt; degrés bloqués, les &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» et &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de rotation «&lt;math&gt;\;R_k\;&lt;/math&gt;», le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par la composition d'une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}\,&lt;/math&gt; de direction &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction du pivot&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;» si l'axe du pivot est &lt;math&gt;\,\left( x'x \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot; width=&quot;80%&quot;
! width=15% | Pivot&lt;br /&gt;d'axe (O,x)
| width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]]
| width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]]
| width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]]
! width=25% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
! width=20% | Libertés : &lt;math&gt;\; R_x \neq 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ;

{{Al|5}}on note «&lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt;» la masse du pendule, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le meilleur &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; serait le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2&lt;sup&gt;ndes&lt;/sup&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\;\ldots\big]&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de l'espace physique « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;tout point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;».

== Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les suivantes : &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\;G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) ===

[[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\big\}\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot;&gt; L'établissement de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,&lt;/math&gt; a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste &lt;math&gt;\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot;&gt; Car &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}(t)\,&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et à &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,cste_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot; /&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot; /&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot; /&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les C.I. «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; différait et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Oendule Pesant]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec {{Nobr|C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;}} de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire ==

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot;&gt; On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_réaction-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre que la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; s'écrivait &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, c.-à-d. que la réaction étant dans le plan vertical de lancement s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; donc de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot;&gt; En effet la force étant &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» ;}}
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle 
* a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et 
* sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ;
{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» et le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
== Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites ==

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; on conclut à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|5}}« on écarte le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\;rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, 

{{Al|16}}{{Transparent|« on écarte le P.P.N.A. de sa position d’équilibre stable et }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt; dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et aussi dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature oscillatoire de petite amplitude&quot;&gt; La démonstration de la nature oscillatoire entre &lt;math&gt;\;-\theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;+\theta_0\;&lt;/math&gt; du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;center&gt;l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br /&gt;une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme d'amortissement et homogène.&lt;/center&gt;
=== P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation ===

{{Al|5}}Le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient &lt;center&gt;un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; (non amorti) » de « pulsation propre &lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Période des « petites oscillations » ===

{{Al|5}}On en déduit la « &lt;u&gt;période propre des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à un degré de liberté » «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;limite de validité de la période des petites élongations angualires&quot;&gt; On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; reste petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\;&lt;/math&gt; si on travaille à &lt;math&gt;\;1\; \%\;&lt;/math&gt; près.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; « bât plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot;&gt; C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.&lt;/ref&gt;, en un lieu fixé, pour «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; plus petit » réalisé pour une répartition de masse plus proche de l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; plus petit » &lt;ref&gt; En effet, quand on rapproche les masses de l’axe, cela implique la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; mais aussi celle de la distance &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; séparant le C.D.I. du solide de &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les variations de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; étant couplées ; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; implique celle de &lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; en effet « si on divise toutes les distances par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;», le « moment d’inertie &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\;4\;&lt;/math&gt;» et la « distance &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. que « &lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans ce cas la période des petites élongations est divisée par &lt;math&gt;\;\sqrt{2}\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et 

{{Al|16}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite »,}} à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; plus grande » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sur Terre « bât un peu plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot; /&gt; aux pôles qu'à l'équateur &lt;ref&gt; L'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant &lt;math&gt;\;g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\;&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; aux pôles battra à la période de &lt;math&gt;\;1,0026\;s\;&lt;/math&gt; à l'équateur.&lt;/ref&gt; et le même P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; « bât nettement plus rapidement » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot; /&gt; sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) &lt;ref&gt; Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; L'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit &lt;math&gt;\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq 2,45\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; sur Terre battra à la période de &lt;math&gt;\;2,45\;s\;&lt;/math&gt; sur la Lune.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites ==

=== Introduction ===

{{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et &lt;math&gt;11&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;la détermination directe de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier ===

{{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ce qui donne «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» soit, en reconnaissant 
* dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» la dérivée temporelle de «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et 
* dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|terme}}«&lt;math&gt;\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» {{Al|4}}celle de «&lt;math&gt;\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» 
{{Al|5}}puis en intégrant entre «&lt;math&gt;\;t = 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;t &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; quelconque » et «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; également quelconque »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement, en multipliant par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.&lt;/ref&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|&lt;sup&gt;53&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|&lt;sup&gt;53&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en même position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;, on ajoute de part et d’autre de l’équation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt; la quantité «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» pour reconnaître respectivement dans «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l’instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et à l’instant initial avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; d’où, en notant «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique ===

{{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt;», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;oscillatoire et périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt;» l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; », l’autre mur étant à la position repérée par «&lt;math&gt;\;-\theta_m\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0\big)&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif et périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\;\dfrac{\theta}{2}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; ou enfin, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\;\pi\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 + \pi\;&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\;0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot;&gt; On obtiendrait la même expression en supposant &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore,&lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot; /&gt; ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\;\dfrac{\theta}{2}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; ou enfin, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\;\theta_0 - \pi\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;- \pi\;&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période &lt;math&gt;\;\pi\;&lt;/math&gt; de la fonction à intégrer.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;&lt;math&gt;\Bigg\}&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)&lt;/math&gt;, il y a mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessus.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;où le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; s'arrête définitivement&lt;/u&gt; en absence de perturbations extérieures.

== Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ==

=== Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme implicite étant l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement de ce dernier «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» est égale à «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; quelconques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; après substitution de «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et de «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ===

{{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt; ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;énergie mécanique initiale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré :
* pour un mouvement &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ;
* pour un mouvement &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Conclusion&lt;/u&gt; : La « &lt;u&gt;bifurcation&lt;/u&gt; » entre les deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; et révolutif » correspond à un &lt;u&gt;portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point générique repartant dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;» ou dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

== Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot;&gt; La version utilisée étant '''Scilab''' &lt;math&gt;\;5.41&lt;/math&gt;, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.&lt;/ref&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; ensuite

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} &gt; \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; et enfin

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;».

=== Non isochronisme des oscillations ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » par « P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; », «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et on adapte les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;&lt;/math&gt; satisfaisant un mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; d'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg\{&lt;/math&gt;c.-à-d. telles que «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; devant être substitué par &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité &lt;ref&gt; La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations est &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où l'expression de la &lt;u&gt;période d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme intégrale&lt;/u&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» est la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; suivi de sa réécriture &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans nouvelle démonstration&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouvant le &lt;u&gt;non isochronisme de ce dernier&lt;/u&gt; : &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;changement de variable&quot;&gt; Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable &lt;math&gt;\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification du non isochronisme&quot;&gt; Cette dernière expression intégrale de &lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; justifiant l'&lt;u&gt;absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.&lt;/u&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; dépendant effectivement de &lt;math&gt;\theta_m\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Formule de de Borda ===

&lt;center&gt;La formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot;&gt; En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de &lt;math&gt;\;\simeq 1760&lt;/math&gt;, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]'''  ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde  [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué  un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de &lt;math&gt;\;36\; mm&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;526\; g&lt;/math&gt;, et accrochée à un fil de fer de &lt;math&gt;\;12\; pieds\;&lt;/math&gt; de long (un pied de l’époque valait &lt;math&gt;\;324,839\, mm\big)&lt;/math&gt;, la période d'oscillations était de &lt;math&gt;\;2\, s\big]\;&lt;/math&gt; puis, entre &lt;math&gt;\;1792\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;1799&lt;/math&gt;, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.&lt;/ref&gt; n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt;, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; de la période d’oscillations » &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; est l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; A priori non petite.&lt;/ref&gt; exprimée en &lt;math&gt;\;rad\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : L'évaluation de la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; non petites &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;celles-ci devant être &lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;&lt;/math&gt; pour donner un résultat correct à &lt;math&gt;\;1\,\%\;&lt;/math&gt; près&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0&lt;/math&gt;, l'amplitude des oscillations est égale à &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\big)&lt;/math&gt;, la comparaison avec la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donnant : 
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;0,43\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;7,19\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;18,94\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période.

== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_t\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\;R_2\;&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\;R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à droite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\;+12\; V\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» à l’équilibre inférieure à &lt;math&gt;\;10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;2,4\; V\;&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\;0,3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\;F&lt;/math&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\;3\;&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\;COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;10\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\;7000\;&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\;2\;P + 1\;&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\;b_0 = 1\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;f_c\;&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\;f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\;1\;Hz\big]\;&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\;n_e\;&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\;\big\{n_e\;&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\;7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; ou plus devrait convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\;2\;P + 1 = 41\;&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|4}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\;P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\;2\;\pi\;&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … 
&lt;br&gt;{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;2,5\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\;1000\;&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\;12\; s\;&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\;4800\;&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\;90\;\text{°}\;&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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        <username>Phl7605</username>
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      <text bytes="306260" sha1="nr3j6goi9mwf1vw79z4m6epddr6m804" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 8
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » ==

[[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|&lt;center&gt;Liaison sphérique &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;]]
{{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme &lt;math&gt;\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» et pouvant tourner autour d’un « point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; autre que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt;», le solide étant 
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre un schéma de principe en perspective&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec précision des degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» bloqués et de ceux de rotation «&lt;math&gt;\;R_i\;&lt;/math&gt;» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction de la rotule&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; 
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot;
! width=20% | Rotule&lt;br /&gt;de centre O
| width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]]
! width=30% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot;&gt; Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,T_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,T_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,T_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,T_x = 0\,\ldots\big]\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,R_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,R_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,R_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de rotation suivant l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,R_x = 0\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
! width=30% | Libertés : &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
&lt;center&gt;ou&lt;/center&gt;
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; avec précision des &lt;math&gt;\,5\,&lt;/math&gt; degrés bloqués, les &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» et &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de rotation «&lt;math&gt;\;R_k\;&lt;/math&gt;», le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par la composition d'une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}\,&lt;/math&gt; de direction &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction du pivot&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;» si l'axe du pivot est &lt;math&gt;\,\left( x'x \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot; width=&quot;80%&quot;
! width=15% | Pivot&lt;br /&gt;d'axe (O,x)
| width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]]
| width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]]
| width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]]
! width=25% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
! width=20% | Libertés : &lt;math&gt;\; R_x \neq 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ;

{{Al|5}}on note «&lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt;» la masse du pendule, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le meilleur &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; serait le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2&lt;sup&gt;ndes&lt;/sup&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\;\ldots\big]&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de l'espace physique « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;tout point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;».

== Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les suivantes : &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\;G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) ===

[[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\big\}\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot;&gt; L'établissement de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,&lt;/math&gt; a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste &lt;math&gt;\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot;&gt; Car &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}(t)\,&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et à &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,cste_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|&lt;sup&gt;27&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot; /&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot; /&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot; /&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les C.I. «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; différait et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec {{Nobr|C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;}} de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire ==

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot;&gt; On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_réaction-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre que la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; s'écrivait &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, c.-à-d. que la réaction étant dans le plan vertical de lancement s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; donc de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot;&gt; En effet la force étant &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» ;}}
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle 
* a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et 
* sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ;
{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» et le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
== Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites ==

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; on conclut à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|5}}« on écarte le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\;rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, 

{{Al|16}}{{Transparent|« on écarte le P.P.N.A. de sa position d’équilibre stable et }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt; dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et aussi dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature oscillatoire de petite amplitude&quot;&gt; La démonstration de la nature oscillatoire entre &lt;math&gt;\;-\theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;+\theta_0\;&lt;/math&gt; du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;center&gt;l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br /&gt;une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme d'amortissement et homogène.&lt;/center&gt;
=== P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation ===

{{Al|5}}Le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient &lt;center&gt;un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; (non amorti) » de « pulsation propre &lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Période des « petites oscillations » ===

{{Al|5}}On en déduit la « &lt;u&gt;période propre des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à un degré de liberté » «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;limite de validité de la période des petites élongations angualires&quot;&gt; On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; reste petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\;&lt;/math&gt; si on travaille à &lt;math&gt;\;1\; \%\;&lt;/math&gt; près.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; « bât plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot;&gt; C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.&lt;/ref&gt;, en un lieu fixé, pour «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; plus petit » réalisé pour une répartition de masse plus proche de l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; plus petit » &lt;ref&gt; En effet, quand on rapproche les masses de l’axe, cela implique la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; mais aussi celle de la distance &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; séparant le C.D.I. du solide de &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les variations de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; étant couplées ; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; implique celle de &lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; en effet « si on divise toutes les distances par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;», le « moment d’inertie &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\;4\;&lt;/math&gt;» et la « distance &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. que « &lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans ce cas la période des petites élongations est divisée par &lt;math&gt;\;\sqrt{2}\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et 

{{Al|16}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite »,}} à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; plus grande » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sur Terre « bât un peu plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot; /&gt; aux pôles qu'à l'équateur &lt;ref&gt; L'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant &lt;math&gt;\;g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\;&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; aux pôles battra à la période de &lt;math&gt;\;1,0026\;s\;&lt;/math&gt; à l'équateur.&lt;/ref&gt; et le même P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; « bât nettement plus rapidement » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot; /&gt; sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) &lt;ref&gt; Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; L'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit &lt;math&gt;\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq 2,45\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; sur Terre battra à la période de &lt;math&gt;\;2,45\;s\;&lt;/math&gt; sur la Lune.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites ==

=== Introduction ===

{{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et &lt;math&gt;11&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;la détermination directe de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier ===

{{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ce qui donne «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» soit, en reconnaissant 
* dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» la dérivée temporelle de «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et 
* dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|terme}}«&lt;math&gt;\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» {{Al|4}}celle de «&lt;math&gt;\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» 
{{Al|5}}puis en intégrant entre «&lt;math&gt;\;t = 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;t &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; quelconque » et «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; également quelconque »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement, en multipliant par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.&lt;/ref&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|&lt;sup&gt;53&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|&lt;sup&gt;53&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en même position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;, on ajoute de part et d’autre de l’équation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt; la quantité «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» pour reconnaître respectivement dans «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l’instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et à l’instant initial avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; d’où, en notant «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique ===

{{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt;», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;oscillatoire et périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt;» l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; », l’autre mur étant à la position repérée par «&lt;math&gt;\;-\theta_m\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0\big)&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif et périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\;\dfrac{\theta}{2}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; ou enfin, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\;\pi\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 + \pi\;&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\;0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot;&gt; On obtiendrait la même expression en supposant &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore,&lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot; /&gt; ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\;\dfrac{\theta}{2}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; ou enfin, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\;\theta_0 - \pi\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;- \pi\;&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période &lt;math&gt;\;\pi\;&lt;/math&gt; de la fonction à intégrer.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;&lt;math&gt;\Bigg\}&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)&lt;/math&gt;, il y a mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessus.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;où le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; s'arrête définitivement&lt;/u&gt; en absence de perturbations extérieures.

== Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ==

=== Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme implicite étant l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement de ce dernier «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» est égale à «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; quelconques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; après substitution de «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et de «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ===

{{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt; ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;énergie mécanique initiale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré :
* pour un mouvement &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ;
* pour un mouvement &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Conclusion&lt;/u&gt; : La « &lt;u&gt;bifurcation&lt;/u&gt; » entre les deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; et révolutif » correspond à un &lt;u&gt;portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point générique repartant dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;» ou dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

== Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot;&gt; La version utilisée étant '''Scilab''' &lt;math&gt;\;5.41&lt;/math&gt;, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.&lt;/ref&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; ensuite

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} &gt; \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; et enfin

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;».

=== Non isochronisme des oscillations ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » par « P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; », «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et on adapte les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;&lt;/math&gt; satisfaisant un mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; d'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg\{&lt;/math&gt;c.-à-d. telles que «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; devant être substitué par &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité &lt;ref&gt; La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations est &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où l'expression de la &lt;u&gt;période d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme intégrale&lt;/u&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» est la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; suivi de sa réécriture &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans nouvelle démonstration&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouvant le &lt;u&gt;non isochronisme de ce dernier&lt;/u&gt; : &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;changement de variable&quot;&gt; Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable &lt;math&gt;\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification du non isochronisme&quot;&gt; Cette dernière expression intégrale de &lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; justifiant l'&lt;u&gt;absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.&lt;/u&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; dépendant effectivement de &lt;math&gt;\theta_m\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Formule de de Borda ===

&lt;center&gt;La formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot;&gt; En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de &lt;math&gt;\;\simeq 1760&lt;/math&gt;, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]'''  ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde  [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué  un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de &lt;math&gt;\;36\; mm&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;526\; g&lt;/math&gt;, et accrochée à un fil de fer de &lt;math&gt;\;12\; pieds\;&lt;/math&gt; de long (un pied de l’époque valait &lt;math&gt;\;324,839\, mm\big)&lt;/math&gt;, la période d'oscillations était de &lt;math&gt;\;2\, s\big]\;&lt;/math&gt; puis, entre &lt;math&gt;\;1792\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;1799&lt;/math&gt;, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.&lt;/ref&gt; n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt;, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; de la période d’oscillations » &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; est l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; A priori non petite.&lt;/ref&gt; exprimée en &lt;math&gt;\;rad\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : L'évaluation de la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; non petites &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;celles-ci devant être &lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;&lt;/math&gt; pour donner un résultat correct à &lt;math&gt;\;1\,\%\;&lt;/math&gt; près&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0&lt;/math&gt;, l'amplitude des oscillations est égale à &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\big)&lt;/math&gt;, la comparaison avec la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donnant : 
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;0,43\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;7,19\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;18,94\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période.

== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_t\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\;R_2\;&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\;R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à droite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\;+12\; V\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» à l’équilibre inférieure à &lt;math&gt;\;10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;2,4\; V\;&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\;0,3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\;F&lt;/math&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\;3\;&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\;COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;10\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\;7000\;&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\;2\;P + 1\;&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\;b_0 = 1\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;f_c\;&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\;f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\;1\;Hz\big]\;&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\;n_e\;&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\;\big\{n_e\;&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\;7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; ou plus devrait convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\;2\;P + 1 = 41\;&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|4}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\;P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\;2\;\pi\;&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … 
&lt;br&gt;{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;2,5\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\;1000\;&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\;12\; s\;&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\;4800\;&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\;90\;\text{°}\;&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté */</comment>
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      <text bytes="306427" sha1="eizgsoddaaslkvrnqhh4pmuse4odd8a" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 8
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » ==

[[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|&lt;center&gt;Liaison sphérique &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;]]
{{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme &lt;math&gt;\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» et pouvant tourner autour d’un « point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; autre que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt;», le solide étant 
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre un schéma de principe en perspective&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec précision des degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» bloqués et de ceux de rotation «&lt;math&gt;\;R_i\;&lt;/math&gt;» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction de la rotule&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; 
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot;
! width=20% | Rotule&lt;br /&gt;de centre O
| width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]]
! width=30% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot;&gt; Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,T_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,T_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,T_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,T_x = 0\,\ldots\big]\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,R_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,R_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,R_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de rotation suivant l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,R_x = 0\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
! width=30% | Libertés : &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
&lt;center&gt;ou&lt;/center&gt;
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; avec précision des &lt;math&gt;\,5\,&lt;/math&gt; degrés bloqués, les &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» et &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de rotation «&lt;math&gt;\;R_k\;&lt;/math&gt;», le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par la composition d'une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}\,&lt;/math&gt; de direction &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction du pivot&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;» si l'axe du pivot est &lt;math&gt;\,\left( x'x \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot; width=&quot;80%&quot;
! width=15% | Pivot&lt;br /&gt;d'axe (O,x)
| width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]]
| width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]]
| width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]]
! width=25% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
! width=20% | Libertés : &lt;math&gt;\; R_x \neq 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ;

{{Al|5}}on note «&lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt;» la masse du pendule, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le meilleur &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; serait le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2&lt;sup&gt;ndes&lt;/sup&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\;\ldots\big]&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de l'espace physique « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;tout point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;».

== Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les suivantes : &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\;G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) ===

[[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\big\}\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot;&gt; L'établissement de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,&lt;/math&gt; a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste &lt;math&gt;\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot;&gt; Car &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}(t)\,&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et à &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,cste_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|&lt;sup&gt;27&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot; /&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot; /&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot; /&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les C.I. «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; différait et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire ==

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot;&gt; On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_réaction-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre que la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; s'écrivait &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, c.-à-d. que la réaction étant dans le plan vertical de lancement s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; donc de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot;&gt; En effet la force étant &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» ;}}
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle 
* a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et 
* sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ;
{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» et le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
== Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites ==

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; on conclut à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|5}}« on écarte le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\;rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, 

{{Al|16}}{{Transparent|« on écarte le P.P.N.A. de sa position d’équilibre stable et }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt; dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et aussi dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature oscillatoire de petite amplitude&quot;&gt; La démonstration de la nature oscillatoire entre &lt;math&gt;\;-\theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;+\theta_0\;&lt;/math&gt; du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;center&gt;l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br /&gt;une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme d'amortissement et homogène.&lt;/center&gt;
=== P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation ===

{{Al|5}}Le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient &lt;center&gt;un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; (non amorti) » de « pulsation propre &lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Période des « petites oscillations » ===

{{Al|5}}On en déduit la « &lt;u&gt;période propre des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à un degré de liberté » «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;limite de validité de la période des petites élongations angualires&quot;&gt; On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; reste petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\;&lt;/math&gt; si on travaille à &lt;math&gt;\;1\; \%\;&lt;/math&gt; près.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; « bât plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot;&gt; C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.&lt;/ref&gt;, en un lieu fixé, pour «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; plus petit » réalisé pour une répartition de masse plus proche de l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; plus petit » &lt;ref&gt; En effet, quand on rapproche les masses de l’axe, cela implique la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; mais aussi celle de la distance &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; séparant le C.D.I. du solide de &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les variations de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; étant couplées ; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; implique celle de &lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; en effet « si on divise toutes les distances par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;», le « moment d’inertie &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\;4\;&lt;/math&gt;» et la « distance &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. que « &lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans ce cas la période des petites élongations est divisée par &lt;math&gt;\;\sqrt{2}\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et 

{{Al|16}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite »,}} à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; plus grande » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sur Terre « bât un peu plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot; /&gt; aux pôles qu'à l'équateur &lt;ref&gt; L'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant &lt;math&gt;\;g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\;&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; aux pôles battra à la période de &lt;math&gt;\;1,0026\;s\;&lt;/math&gt; à l'équateur.&lt;/ref&gt; et le même P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; « bât nettement plus rapidement » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot; /&gt; sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) &lt;ref&gt; Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; L'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit &lt;math&gt;\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq 2,45\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; sur Terre battra à la période de &lt;math&gt;\;2,45\;s\;&lt;/math&gt; sur la Lune.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites ==

=== Introduction ===

{{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et &lt;math&gt;11&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;la détermination directe de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier ===

{{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ce qui donne «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» soit, en reconnaissant 
* dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» la dérivée temporelle de «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et 
* dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|terme}}«&lt;math&gt;\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» {{Al|4}}celle de «&lt;math&gt;\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» 
{{Al|5}}puis en intégrant entre «&lt;math&gt;\;t = 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;t &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; quelconque » et «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; également quelconque »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement, en multipliant par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.&lt;/ref&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|&lt;sup&gt;53&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|&lt;sup&gt;53&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en même position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;, on ajoute de part et d’autre de l’équation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt; la quantité «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» pour reconnaître respectivement dans «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l’instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et à l’instant initial avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; d’où, en notant «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique ===

{{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt;», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;oscillatoire et périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt;» l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; », l’autre mur étant à la position repérée par «&lt;math&gt;\;-\theta_m\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0\big)&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif et périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\;\dfrac{\theta}{2}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; ou enfin, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\;\pi\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 + \pi\;&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\;0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot;&gt; On obtiendrait la même expression en supposant &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore,&lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot; /&gt; ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\;\dfrac{\theta}{2}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; ou enfin, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\;\theta_0 - \pi\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;- \pi\;&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période &lt;math&gt;\;\pi\;&lt;/math&gt; de la fonction à intégrer.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;&lt;math&gt;\Bigg\}&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)&lt;/math&gt;, il y a mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessus.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;où le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; s'arrête définitivement&lt;/u&gt; en absence de perturbations extérieures.

== Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ==

=== Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme implicite étant l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement de ce dernier «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» est égale à «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; quelconques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; après substitution de «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et de «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ===

{{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt; ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;énergie mécanique initiale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré :
* pour un mouvement &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ;
* pour un mouvement &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Conclusion&lt;/u&gt; : La « &lt;u&gt;bifurcation&lt;/u&gt; » entre les deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; et révolutif » correspond à un &lt;u&gt;portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point générique repartant dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;» ou dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

== Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot;&gt; La version utilisée étant '''Scilab''' &lt;math&gt;\;5.41&lt;/math&gt;, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.&lt;/ref&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; ensuite

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} &gt; \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; et enfin

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;».

=== Non isochronisme des oscillations ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » par « P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; », «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et on adapte les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;&lt;/math&gt; satisfaisant un mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; d'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg\{&lt;/math&gt;c.-à-d. telles que «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; devant être substitué par &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité &lt;ref&gt; La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations est &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où l'expression de la &lt;u&gt;période d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme intégrale&lt;/u&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» est la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; suivi de sa réécriture &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans nouvelle démonstration&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouvant le &lt;u&gt;non isochronisme de ce dernier&lt;/u&gt; : &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;changement de variable&quot;&gt; Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable &lt;math&gt;\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification du non isochronisme&quot;&gt; Cette dernière expression intégrale de &lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; justifiant l'&lt;u&gt;absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.&lt;/u&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; dépendant effectivement de &lt;math&gt;\theta_m\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Formule de de Borda ===

&lt;center&gt;La formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot;&gt; En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de &lt;math&gt;\;\simeq 1760&lt;/math&gt;, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]'''  ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde  [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué  un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de &lt;math&gt;\;36\; mm&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;526\; g&lt;/math&gt;, et accrochée à un fil de fer de &lt;math&gt;\;12\; pieds\;&lt;/math&gt; de long (un pied de l’époque valait &lt;math&gt;\;324,839\, mm\big)&lt;/math&gt;, la période d'oscillations était de &lt;math&gt;\;2\, s\big]\;&lt;/math&gt; puis, entre &lt;math&gt;\;1792\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;1799&lt;/math&gt;, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.&lt;/ref&gt; n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt;, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; de la période d’oscillations » &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; est l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; A priori non petite.&lt;/ref&gt; exprimée en &lt;math&gt;\;rad\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : L'évaluation de la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; non petites &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;celles-ci devant être &lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;&lt;/math&gt; pour donner un résultat correct à &lt;math&gt;\;1\,\%\;&lt;/math&gt; près&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0&lt;/math&gt;, l'amplitude des oscillations est égale à &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\big)&lt;/math&gt;, la comparaison avec la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donnant : 
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;0,43\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;7,19\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;18,94\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période.

== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_t\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\;R_2\;&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\;R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à droite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\;+12\; V\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» à l’équilibre inférieure à &lt;math&gt;\;10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;2,4\; V\;&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\;0,3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\;F&lt;/math&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\;3\;&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\;COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;10\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\;7000\;&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\;2\;P + 1\;&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\;b_0 = 1\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;f_c\;&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\;f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\;1\;Hz\big]\;&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\;n_e\;&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\;\big\{n_e\;&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\;7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; ou plus devrait convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\;2\;P + 1 = 41\;&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|4}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\;P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\;2\;\pi\;&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … 
&lt;br&gt;{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;2,5\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\;1000\;&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\;12\; s\;&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\;4800\;&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\;90\;\text{°}\;&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté */</comment>
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      <text bytes="307635" sha1="44ycp1zkqz8ao1o0gue72s6ctg5tw1d" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 8
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » ==

[[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|&lt;center&gt;Liaison sphérique &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;]]
{{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme &lt;math&gt;\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» et pouvant tourner autour d’un « point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; autre que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt;», le solide étant 
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre un schéma de principe en perspective&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec précision des degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» bloqués et de ceux de rotation «&lt;math&gt;\;R_i\;&lt;/math&gt;» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction de la rotule&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; 
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot;
! width=20% | Rotule&lt;br /&gt;de centre O
| width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]]
! width=30% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot;&gt; Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,T_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,T_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,T_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,T_x = 0\,\ldots\big]\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,R_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,R_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,R_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de rotation suivant l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,R_x = 0\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
! width=30% | Libertés : &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
&lt;center&gt;ou&lt;/center&gt;
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; avec précision des &lt;math&gt;\,5\,&lt;/math&gt; degrés bloqués, les &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» et &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de rotation «&lt;math&gt;\;R_k\;&lt;/math&gt;», le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par la composition d'une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}\,&lt;/math&gt; de direction &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction du pivot&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;» si l'axe du pivot est &lt;math&gt;\,\left( x'x \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot; width=&quot;80%&quot;
! width=15% | Pivot&lt;br /&gt;d'axe (O,x)
| width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]]
| width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]]
| width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]]
! width=25% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
! width=20% | Libertés : &lt;math&gt;\; R_x \neq 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ;

{{Al|5}}on note «&lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt;» la masse du pendule, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le meilleur &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; serait le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2&lt;sup&gt;ndes&lt;/sup&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\;\ldots\big]&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de l'espace physique « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;tout point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;».

== Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les suivantes : &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\;G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) ===

[[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\big\}\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot;&gt; L'établissement de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,&lt;/math&gt; a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste &lt;math&gt;\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot;&gt; Car &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}(t)\,&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et à &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,cste_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|&lt;sup&gt;27&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot; /&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot; /&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot; /&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les C.I. «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; différait et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et


mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire ==

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot;&gt; On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_réaction-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre que la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; s'écrivait &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, c.-à-d. que la réaction étant dans le plan vertical de lancement s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; donc de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot;&gt; En effet la force étant &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» ;}}
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle 
* a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et 
* sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ;
{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» et le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
== Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites ==

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; on conclut à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|5}}« on écarte le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\;rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, 

{{Al|16}}{{Transparent|« on écarte le P.P.N.A. de sa position d’équilibre stable et }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt; dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et aussi dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature oscillatoire de petite amplitude&quot;&gt; La démonstration de la nature oscillatoire entre &lt;math&gt;\;-\theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;+\theta_0\;&lt;/math&gt; du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;center&gt;l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br /&gt;une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme d'amortissement et homogène.&lt;/center&gt;
=== P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation ===

{{Al|5}}Le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient &lt;center&gt;un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; (non amorti) » de « pulsation propre &lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Période des « petites oscillations » ===

{{Al|5}}On en déduit la « &lt;u&gt;période propre des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à un degré de liberté » «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;limite de validité de la période des petites élongations angualires&quot;&gt; On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; reste petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\;&lt;/math&gt; si on travaille à &lt;math&gt;\;1\; \%\;&lt;/math&gt; près.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; « bât plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot;&gt; C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.&lt;/ref&gt;, en un lieu fixé, pour «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; plus petit » réalisé pour une répartition de masse plus proche de l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; plus petit » &lt;ref&gt; En effet, quand on rapproche les masses de l’axe, cela implique la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; mais aussi celle de la distance &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; séparant le C.D.I. du solide de &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les variations de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; étant couplées ; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; implique celle de &lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; en effet « si on divise toutes les distances par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;», le « moment d’inertie &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\;4\;&lt;/math&gt;» et la « distance &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. que « &lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans ce cas la période des petites élongations est divisée par &lt;math&gt;\;\sqrt{2}\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et 

{{Al|16}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite »,}} à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; plus grande » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sur Terre « bât un peu plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot; /&gt; aux pôles qu'à l'équateur &lt;ref&gt; L'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant &lt;math&gt;\;g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\;&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; aux pôles battra à la période de &lt;math&gt;\;1,0026\;s\;&lt;/math&gt; à l'équateur.&lt;/ref&gt; et le même P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; « bât nettement plus rapidement » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot; /&gt; sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) &lt;ref&gt; Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; L'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit &lt;math&gt;\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq 2,45\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; sur Terre battra à la période de &lt;math&gt;\;2,45\;s\;&lt;/math&gt; sur la Lune.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites ==

=== Introduction ===

{{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et &lt;math&gt;11&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;la détermination directe de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier ===

{{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ce qui donne «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» soit, en reconnaissant 
* dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» la dérivée temporelle de «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et 
* dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|terme}}«&lt;math&gt;\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» {{Al|4}}celle de «&lt;math&gt;\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» 
{{Al|5}}puis en intégrant entre «&lt;math&gt;\;t = 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;t &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; quelconque » et «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; également quelconque »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement, en multipliant par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.&lt;/ref&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|&lt;sup&gt;53&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|&lt;sup&gt;53&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en même position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;, on ajoute de part et d’autre de l’équation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt; la quantité «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» pour reconnaître respectivement dans «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l’instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et à l’instant initial avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; d’où, en notant «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique ===

{{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt;», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;oscillatoire et périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt;» l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; », l’autre mur étant à la position repérée par «&lt;math&gt;\;-\theta_m\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0\big)&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif et périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\;\dfrac{\theta}{2}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; ou enfin, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\;\pi\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 + \pi\;&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\;0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot;&gt; On obtiendrait la même expression en supposant &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore,&lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot; /&gt; ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\;\dfrac{\theta}{2}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; ou enfin, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\;\theta_0 - \pi\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;- \pi\;&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période &lt;math&gt;\;\pi\;&lt;/math&gt; de la fonction à intégrer.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;&lt;math&gt;\Bigg\}&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)&lt;/math&gt;, il y a mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessus.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;où le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; s'arrête définitivement&lt;/u&gt; en absence de perturbations extérieures.

== Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ==

=== Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme implicite étant l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement de ce dernier «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» est égale à «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; quelconques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; après substitution de «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et de «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ===

{{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt; ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;énergie mécanique initiale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré :
* pour un mouvement &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ;
* pour un mouvement &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Conclusion&lt;/u&gt; : La « &lt;u&gt;bifurcation&lt;/u&gt; » entre les deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; et révolutif » correspond à un &lt;u&gt;portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point générique repartant dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;» ou dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

== Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot;&gt; La version utilisée étant '''Scilab''' &lt;math&gt;\;5.41&lt;/math&gt;, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.&lt;/ref&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; ensuite

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} &gt; \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; et enfin

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;».

=== Non isochronisme des oscillations ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » par « P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; », «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et on adapte les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;&lt;/math&gt; satisfaisant un mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; d'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg\{&lt;/math&gt;c.-à-d. telles que «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; devant être substitué par &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité &lt;ref&gt; La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations est &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où l'expression de la &lt;u&gt;période d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme intégrale&lt;/u&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» est la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; suivi de sa réécriture &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans nouvelle démonstration&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouvant le &lt;u&gt;non isochronisme de ce dernier&lt;/u&gt; : &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;changement de variable&quot;&gt; Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable &lt;math&gt;\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification du non isochronisme&quot;&gt; Cette dernière expression intégrale de &lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; justifiant l'&lt;u&gt;absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.&lt;/u&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; dépendant effectivement de &lt;math&gt;\theta_m\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Formule de de Borda ===

&lt;center&gt;La formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot;&gt; En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de &lt;math&gt;\;\simeq 1760&lt;/math&gt;, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]'''  ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde  [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué  un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de &lt;math&gt;\;36\; mm&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;526\; g&lt;/math&gt;, et accrochée à un fil de fer de &lt;math&gt;\;12\; pieds\;&lt;/math&gt; de long (un pied de l’époque valait &lt;math&gt;\;324,839\, mm\big)&lt;/math&gt;, la période d'oscillations était de &lt;math&gt;\;2\, s\big]\;&lt;/math&gt; puis, entre &lt;math&gt;\;1792\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;1799&lt;/math&gt;, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.&lt;/ref&gt; n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt;, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; de la période d’oscillations » &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; est l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; A priori non petite.&lt;/ref&gt; exprimée en &lt;math&gt;\;rad\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : L'évaluation de la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; non petites &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;celles-ci devant être &lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;&lt;/math&gt; pour donner un résultat correct à &lt;math&gt;\;1\,\%\;&lt;/math&gt; près&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0&lt;/math&gt;, l'amplitude des oscillations est égale à &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\big)&lt;/math&gt;, la comparaison avec la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donnant : 
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;0,43\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;7,19\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;18,94\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période.

== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_t\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\;R_2\;&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\;R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à droite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\;+12\; V\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» à l’équilibre inférieure à &lt;math&gt;\;10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;2,4\; V\;&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\;0,3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\;F&lt;/math&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\;3\;&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\;COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;10\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\;7000\;&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\;2\;P + 1\;&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\;b_0 = 1\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;f_c\;&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\;f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\;1\;Hz\big]\;&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\;n_e\;&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\;\big\{n_e\;&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\;7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; ou plus devrait convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\;2\;P + 1 = 41\;&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|4}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\;P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\;2\;\pi\;&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … 
&lt;br&gt;{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;2,5\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\;1000\;&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\;12\; s\;&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\;4800\;&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\;90\;\text{°}\;&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté */</comment>
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      <text bytes="308475" sha1="9l5tety0dx9ynwlaqob1wj8qohns1ah" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 8
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion/]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation/]]
}}

&lt;center&gt;Nous nous plaçons, dans ce chapitre, dans le cadre de la dynamique newtonienne, &lt;br&gt;l'espace physique considéré étant &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;sauf avis contraire&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot;&gt; Voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
== Présentation du pendule pesant (non amorti) « P.P.(N.A.) » ==

[[Image:rotule.jpg|thumb|300px|left|&lt;center&gt;Liaison sphérique &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot;&gt; Encore appelée « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison rotule]] », elle laisse trois degrés de liberté en rotation &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;deux permettant de définir la direction &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\,&lt;/math&gt; dans l’espace et un autorisant le solide à tourner autour de l’axe &lt;math&gt;\,\left( OG \right)\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;&lt;br&gt;&lt;br&gt;]]
{{Al|5}}On appelle « [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] » tout solide placé dans un « champ de pesanteur uniforme &lt;math&gt;\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» et pouvant tourner autour d’un « point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; autre que son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,G\;&lt;/math&gt;», le solide étant 
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot;&gt; C.-à-d. dans laquelle on peut négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre un schéma de principe en perspective&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous la représentation symbolique d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec précision des degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» bloqués et de ceux de rotation «&lt;math&gt;\;R_i\;&lt;/math&gt;» libres, les forces réactives que la rotule exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et appelée « réaction de la rotule », de direction a priori quelconque dépendant des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction de la rotule&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que la rotule exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{rotule}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{0} \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; 
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot;
! width=20% | Rotule&lt;br /&gt;de centre O
| width=20% | [[Image:SockBall.jpg|center]]
! width=30% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot;&gt; Selon la « Norme EN 23952 / EN ISO 3952-1 » pour laquelle &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,T_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,T_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,T_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de translation le long de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,T_x = 0\,\ldots\big]\,&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\,R_x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,R_y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,R_z\big)\,&lt;/math&gt; caractérise une rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;respectivement &lt;math&gt;\,y'y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,z'z\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le blocage de rotation suivant l'axe &lt;math&gt;\,x'x&lt;/math&gt; étant noté &lt;math&gt;\,R_x = 0\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
! width=30% | Libertés : &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} R_x \neq 0\\R_y \neq 0\\R_z \neq 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
&lt;center&gt;ou&lt;/center&gt;
* en « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] avec le point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir un exemple de [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Réalisation_pratique_d'une_«_liaison_pivot_»|réalisation pratique d'une liaison pivot]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, « idéale » &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ci-dessous les représentations symboliques de face, de profil et en perspective d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; avec précision des &lt;math&gt;\,5\,&lt;/math&gt; degrés bloqués, les &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de translation «&lt;math&gt;\;T_i\;&lt;/math&gt;» et &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; degrés de rotation «&lt;math&gt;\;R_k\;&lt;/math&gt;», le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; étant libre, les forces réactives que le pivot exerce sur le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] pouvant être modélisées, dans le cas d'une liaison idéale &lt;ref name=&quot;liaison idéale&quot; /&gt;, par la composition d'une force &lt;math&gt;\,\vec{R}&lt;/math&gt;, appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, appelée « réaction du pivot », de direction a priori quelconque et d'un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}\,&lt;/math&gt; de direction &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe du pivot, appelé « couple de réaction du pivot », tous deux dépendant de la disposition des autres forces extérieures exercées sur le pendule &lt;ref name=&quot;torseur de réaction du pivot&quot;&gt; Avec la notion de « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Domaine_pratique_d'utilisation_de_torseurs|torseur]] » exposée en complément au chap.&lt;math&gt;1&lt;/math&gt; dans la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI)]] », les forces réactives que le pivot exerce sur le pendule constituent un « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Torseur_statique|torseur de réaction]] » dont les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_-_bis_(PCSI)/Les_torseurs#Cas_d'un_torseur_dont_la_résultante_est_un_vecteur_polaire_(ou_vrai_vecteur)|éléments de réduction]] en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» sont «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} = X\;\vec{u}_x + Y\;\vec{u}_y + Z\;\vec{u}_z\\ \overrightarrow{\mathcal{M}}_O = \vec{\Gamma} = \Gamma_y\;\vec{u}_y + \Gamma_z\;\vec{u}_z \end{array} \right\rbrace_O\;&lt;/math&gt;» si l'axe du pivot est &lt;math&gt;\,\left( x'x \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt; étant la résultante du torseur et &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_O\,&lt;/math&gt; son moment au point &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ici la base pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_pseudo-vecteur_(ou_vecteur_axial)|pseudo-vecteur]] « moment du torseur en &lt;math&gt;\,O\;&lt;/math&gt;» est identifiée à celle pour expliciter le [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteurs_polaires_ou_axiaux,_invariance_par_principe_de_Curie#Définition_d'un_vrai_vecteur_(ou_vecteur_polaire)|vrai vecteur]] « résultante du torseur »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.
{| border=1 cellspacing=0 cellpadding=0 align=center style=&quot;border-collapse: collapse;&quot; width=&quot;80%&quot;
! width=15% | Pivot&lt;br /&gt;d'axe (O,x)
| width=20% | [[Image:Pivot_T.jpg|center]]
| width=5% | [[Image:Pivot_F.jpg|center]]
| width=15% | [[Image:3d pivot.jpg|center|100px]]
! width=25% | Liaisons : &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c} T_x = 0\\T_y = 0\\T_Z = 0\\R_y = 0\\R_z = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
! width=20% | Libertés : &lt;math&gt;\; R_x \neq 0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;translations ou rotations bloquées ou libres&quot; /&gt;
|}
{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] est dit « non amorti » si on néglige toute force de frottement fluide ;

{{Al|5}}on note «&lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt;» la masse du pendule, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|on note }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}référentiel dans lequel on repère le pendule par l’intermédiaire des coordonnées de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;le meilleur &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}repérage dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; serait le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}mais, avec ce choix, la difficulté apparaîtrait dès lors que l'on aurait besoin de former des dérivées temporelles 2&lt;sup&gt;ndes&lt;/sup&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le }}des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit du repérage le plus proche c.-à-d. &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|on note «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt;» la distance séparant le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; du pendule de son point &lt;math&gt;\,\color{transparent}{O}\,&lt;/math&gt; fixe dans le des vecteurs de base d'où le rejet de ce choix au profit }}le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\;\ldots\big]&lt;/math&gt; ; 

{{Al|5}}avec le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de l'espace physique « orienté à droite » &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;il conviendrait bien sûr d’ajouter un schéma de situation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;tout point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] a pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho\,,\, \varphi\,,\, z \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot;&gt; C.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-17|&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_\rho\,,\, \vec{u}_\varphi\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec le repérage cylindro-polaire }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], pour coordonnées cylindro-polaires «&lt;math&gt;\;\left( \rho_G\,,\, \varphi_G\,,\, z_G \right)\;&lt;/math&gt;» dans la base locale associée &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;orthonormée directe &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec{u}_{\varphi_G}\,,\, \vec{u}_z \right)\;&lt;/math&gt;».

== Conditions initiales (C.I.) de lancement pour que le mouvement du pendule pesant (non amorti) (P.P.(N.A.)) soit à un degré de liberté, établissement de la nature « rotatoire » de son mouvement ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot;&gt; Condition(s) Initiale(s).&lt;/ref&gt; de lancement du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule pesant]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; dépendent du type de liaison existant entre le solide et le point fixe &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les suivantes : &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\;G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|21}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison sphérique &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;« }}on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\,O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]], celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Les C.I. de lancement du P.P.(N.A.) &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;s’il s’agit d’une liaison pivot, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, }}n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.) ===

[[File:Pendule pesant non amorti à liaison sphérique - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\,\overrightarrow{Oz}\,&lt;/math&gt; vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du pendule]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Démonstration_de_la_nature_plane_du_mouvement_de_M_dans_les_C.I._de_lancement_«_1a_»_(ou_«_1b_»)|démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b)]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », on y établit la nature plane du mouvement du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] (Non Amorti).&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, toutefois, ici, la démonstration nécessitant de légères adaptations est exposée de nouveau ci-dessous :

{{Al|5}}les seules actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\;\vec{u}_{r_G}(t) \wedge m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;déf de urG&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}(t)\;&lt;/math&gt; étant le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; vecteur de base sphérique de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; associé au point &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}(t) = \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\mathfrak{a}\, \left\lbrace \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) + \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \right\rbrace \wedge m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; ou, en utilisant la distributivité de la multiplication par un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}scalaire et celle de la multiplication vectorielle par rapport à la même addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] de la multiplication vectorielle » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;= \mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge m\;g\;\vec{u}_z\; \cancel{+\; \mathfrak{a}\; \cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_z \wedge m\;g\;\vec{u}_z} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base &lt;math&gt;\,\left\lbrace \vec{u}_{\rho_G}(t), \,\vec{u}_z, \, \vec{u}_{\varphi_G}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; étant direct, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(t) \wedge \vec{u}_z = -\vec{u}_{\varphi_G}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\;&lt;/math&gt;», appliquée en &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, se décomposant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}a priori selon &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt; mais, avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, celle-ci se simplifie en &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réduction à deux composantes de la réaction dans ces C.I.&quot;&gt; Si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.(N.A.)_soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.(N.A.) soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\,R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\,&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer à &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\big\}\,&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\,0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\,\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\,&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}(0)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\vec{u}_z&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;à l'instant &lt;math&gt;\,0\,&lt;/math&gt; les forces extérieures étant dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; le vecteur accélération initial de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; y est contenu, de même que le vecteur vitesse initial de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;, d'où on en déduit que le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; à un instant légèrement postérieur &lt;math&gt;\,\delta t\,&lt;/math&gt; est aussi contenu dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\,\ldots\,&lt;/math&gt; ainsi on établit, par récurrence, que la réaction à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; est dans le plan vertical de lancement&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\,\vec{R}\,&lt;/math&gt;&lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\rho_G}\,&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\,OG\,&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; de vecteur moment par &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|les seules actions extérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot;&gt; L'établissement de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\big]\,&lt;/math&gt; a en fait déjà été évoqué dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, établissement par récurrence ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici on se propose de retrouver la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; en explicitant le théorème du mouvement du C.D.I. avec pour hypothèse « la réaction contenue dans le plan vertical de lancement » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;remarque : cette hypothèse a été obtenue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-réduction_à_deux_composantes_de_la_réaction_dans_ces_C.I.-18|&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;]] » en procédant par récurrence et dans cette dernière apparaît l'établissement que le vecteur accélération de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; reste dans le plan vertical de lancement et par suite si le vecteur vitesse y est il y reste &lt;math&gt;\,\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Principe_fondamental_de_la_dynamique_et_théorème_de_la_résultante_cinétique#Énoncé_du_théorème_(dynamique_newtonienne)|énoncé du théorème (dynamique newtonienne)]] (du mouvement du centre d'inertie d'un système fermé de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », sa généralisation, sans aucune restriction, à un système continu fermé de matière d'expansions tridimensionnelle, surfacique ou linéique étant admise.&lt;/ref&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot;&gt; Car &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG}(t)\,&lt;/math&gt; donc &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et à &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] (autre forme de l'accélération orthoradiale) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans laquelle la coordonnée orthoradiale &lt;math&gt;\,\theta\,&lt;/math&gt; doit être remplacée par &lt;math&gt;\,\varphi_G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot;&gt; Pour cela il est nécessaire de supprimer les valeurs de &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; pour lesquelles &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\big[t = t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; instants de passage par la position verticale d'équilibre stable du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], ce dernier étant en équilibre stable pour &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et au-dessous&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot;&gt; Constante d'intégration &lt;math&gt;\,cste_i\,&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\,&lt;/math&gt; sur lequel se fait l'intégration mais en fait toutes ces constantes vont être égales d'après ce qui suit et la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-27|&lt;sup&gt;27&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot;&gt; Si une longueur était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait une vitesse infinie à l'instant de discontinuité, ce qui n'est pas possible &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot;&gt; Si la vitesse angulaire &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; était discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;correspondant à un saut fini à l'instant de discontinuité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, cela supposerait la vitesse orthoradiale &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;\dot{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; également discontinue de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce et par suite sa dérivée temporelle infinie à l'instant de discontinuité &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;attention la dérivée temporelle de la vitesse orthoradiale n'est pas l'accélération orthoradiale revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composantes_cylindro-polaires_(ou_cylindriques)_du_vecteur_accélération_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude|composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ce qui nécessiterait la discontinuité de 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; espèce d'au moins une force appliquée et n'est pas le cas ici &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot;&gt; Et par suite une même constante d'intégration pour tous les intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot;&gt; En choisissant le plan de lancement comme demi-plan méridien de référence &lt;math&gt;\,xOz\,&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot;&gt; Par absence de vitesse initiale on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \rho(0)\;\dot{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin[ \theta(t)]\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;commentaire sur la démonstration de la nature plane&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane }}le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dans le référentiel terrestre galiléen &lt;math&gt;\,m\;\vec{g} + \vec{R}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;théorème du mouvement du C.D.I.&quot; /&gt; projeté sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; nous conduit à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;m\;g_{\varphi_G} + R_{\varphi_G}(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, les composantes de &lt;math&gt;\,\vec{g}\,&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\,\vec{R}(t)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t)\,&lt;/math&gt; étant nulles &lt;ref name=&quot;nullité des composantes des forces sur le plan de lancement vertical&quot; /&gt; on obtient, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,m&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme « semi intégrée » de l'accélération orthoradiale &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{a_{\varphi_G,\,G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{m}&lt;/math&gt;, ou, en utilisant la forme }}«&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» après simplification par &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{\rho_G(t)} \neq 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;suppression des instants de passage à l'équilibre stable&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}équation différentielle qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps &lt;math&gt;\,\mathcal{I}_i\;i\,\in\,\mathbb{N}\,&lt;/math&gt; ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;constante d'intégration dépendant a priori de l'intervalle d'intégration&quot; /&gt; dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\,t_{\text{éq stable}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\,\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\,t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|16}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste_i\;\forall\;t\;\in\;\mathcal{I}_i}\;&lt;/math&gt;» }}ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ; on détermine la constante &lt;math&gt;\,cste\,&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot;&gt; La vitesse initiale étant dans le plan de lancement on a &lt;math&gt;\,V_{z_G}(0) = \dot{z_G}(0) = -\mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\theta_G}(0) = V_0\;\sin(\theta_0)\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\,z_G(t) = \mathfrak{a}\;\cos[ \theta(t)]\,&lt;/math&gt; et la vitesse initiale est &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG_0}\,&lt;/math&gt; dans le plan vertical &lt;math&gt;\,\downarrow\,&lt;/math&gt; de lancement&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,V_{\varphi_G}(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\dot{\varphi_G}(0) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit, la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}&lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{l} \rho_G(0) = \mathfrak{a}\;\sin(\theta_0)\\ \dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;sachant que «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = cste,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» ; }}«&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = 0\;&lt;/math&gt;» d'où «&lt;math&gt;\;cste = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ou, en simplifiant par &lt;math&gt;\,\rho_G^2(t)\,&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» après intégration, avec &lt;math&gt;\,cste'\,&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\varphi_G(0) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\Rightarrow}&lt;/math&gt; }}  d'où «&lt;math&gt;\;cste' = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la réécriture de la loi selon &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane le théorème du mouvement du C.D.I. }}«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans le plan de lancement. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Ayant pu constaté que, dans les vérifications présentées ci-dessus de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; dans les C.I. «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Ayant pu constaté que, }}seule la valeur de &lt;math&gt;\,\dot{\theta_G}(0) = \left\lbrace \begin{array}{c l} 0\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\\ -\dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\; &amp;\text{dans le cas de }\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\end{array}\right\rbrace\,&lt;/math&gt; différait et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Ayant pu constaté }}que celle-ci n'y intervenait pas durectement, nous aurions pu nous contenter d'une seule présentation &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant non amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] non amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; ayant été vérifiée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre et la distance &lt;math&gt;\,[OG]\,&lt;/math&gt; étant constante, on en déduit effectivement la nature circulaire du mouvement de &lt;math&gt;\,G&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot;&gt; Dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] avec C.I. de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\varphi_G}(t) = \vec{u}_{\varphi_G}(0)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\,\vec{u}_z\,&lt;/math&gt; unitaire vertical &lt;math&gt;\,\downarrow&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{u}_x\,&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\,\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\vec{u}_y&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal égal à &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant &lt;br&gt;{{Al|14}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\vec{u}_{\Delta_O}\big)}&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)}\;&lt;/math&gt; soit directe », }}orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\,\Delta_O\,&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\Delta_O}\,&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\,zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot;&gt; On simplifie la notation par rapport à celle utilisée jusqu'à présent «&lt;math&gt;\;\vec{u}_r\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\,&lt;/math&gt; à la place de &lt;math&gt;\,\vec{u}_{\theta_G}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}«&lt;math&gt;\,\left\lbrace\! r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left(\! \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \!\right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \!\right\rbrace\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\,\overrightarrow{OG} = \mathfrak{a}\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\,\theta_G\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Abscisse angulaire du C.D.I. &lt;math&gt;\,G\,&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) noté «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» par la suite en absence d'ambiguïté &lt;math&gt;\,\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; est aussi le &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\,\color{transparent}{G}\,&lt;/math&gt; par ses coordonnées polaires }}paramètre de position angulaire repérant le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, }}Les actions extérieures agissant sur le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_pesant|Pendule Pesant]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; représentées sur le schéma ci-contre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures }}sont les seules pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}à savoir&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;son poids «&lt;math&gt;\;m\,\vec{g} = m\,g\,\vec{u}_z = m\,g\,\cos(\theta)\,\vec{u}_r - m\,g\,\sin(\theta)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» de moment &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\,g\,\mathfrak{a}\, \sin(\theta)\,\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d'une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir}}&lt;math&gt;\;\bullet\;&lt;/math&gt;la réaction de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\vec{R}(t) = R_r(t)\,\vec{u}_r + R_\theta(t)\,\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;forces extérieures pour une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules à savoir&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}appliquée en &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt;, de moment vectoriel en &lt;math&gt;\,O\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules }}pour une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faut ajouter sur le schéma le couple de réaction du pivot &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot;&gt; Le vecteur moment d'un couple n'est pas représenté par un vecteur pour éviter la confusion avec une force &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Avec les deux types de liaison, Les actions extérieures sont les seules pour une « liaison pivot » }}de moment vectoriel &lt;math&gt;\,\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Pour le représenter sur le schéma ci-dessus on indiquerait le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple de récation du pivot ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\,\theta(t)\,&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.

== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du pendule pesant non amorti (à un degré de liberté) par application du théorème du moment cinétique scalaire ==

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.(N.A.) à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot;&gt; On a établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-existence_des_trois_composantes_de_la_réaction-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre que la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; s'écrivait &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, c.-à-d. que la réaction étant dans le plan vertical de lancement s'écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on établit de même que la réaction de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule quels que soient les C.I. de lancement compatibles avec la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] s'écrit «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;», sans oublier qu'à cette force il faut ajouter un couple de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; donc de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot;&gt; En effet la force étant &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe par rapport auquel son moment scalaire est évalué est de bras de levier nul.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot;&gt; Le couple étant de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» ;}}
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|voir }}le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » soit &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M\big]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{S} \right)}  \sigma(M)\;r^2\;d S_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et d'aire &lt;math&gt;\;d S_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'une expansion linéique &lt;math&gt;\;\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; : «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\,\left( \Gamma \right)}  \lambda(M)\;r^2\;d \mathit{l}_M&lt;/math&gt;» {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;dJ_\Delta(M) = dm\;r^2\;&lt;/math&gt;»}} étant le moment d'inertie par rapport à &lt;math&gt;\;(\Delta)\;&lt;/math&gt; du pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;(dm)\;&lt;/math&gt; c.-à-d. de l'élément de matière centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à la distance orthogonale &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; de l'axe &lt;math&gt;\;\left( \Delta \right)\;&lt;/math&gt; et de longueur &lt;math&gt;\;d \mathit{l}_M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(N.A.) « [[w:Pendule_simple|pendule pesant simple]] (non amorti) » laquelle 
* a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_du_P.P.S._par_application_de_la_r.f.d.n.|mise en équation du P.P.S. par application de la r.f.d.n.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et 
* sera retrouvée par application du théorème du moment cinétique scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’équation_différentielle_en_θ(t)_par_application_du_théorème_du_moment_cinétique_scalaire_au_point_matériel_M_dans_le_cas_d’un_P.P.S.N.A.|détermination de l'équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d'un P.P.S.N.A.]] » plus loin dans le chapitre ;
{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(N.A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(N.A.), dans le cas où le P.P.S.(N.A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(N.A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;» et le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.N.A. appliqué au P.P.S.N.A. s'écrit alors «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Petits_mouvements_au_voisinage_d'un_équilibre_stable#1ère_définition_d'un_oscillateur_«_non_linéaire_»_au_voisinage_d'un_équilibre_stable|1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; définition d'un oscillateur non linéaire au voisinage d'un équilibre stable]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
== Absence de solution analytique dans le cas général d’élongations angulaires non petites ==

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.N.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Absence_de_solution_analytique_de_l'équation_différentielle_du_P.P.S.|absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P.S.]] (dans le cas général) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot;&gt; On appelle « [[w:Solution_de_forme_fermée|solution analytique]] » d'une équation différentielle, une expression mathématique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;souvent dite « formule explicite »&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pouvant s'obtenir par une combinaison d'opérations et de [[w:Fonction_de_référence|fonctions de référence]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. fonctions affines, puissances, trigonométriques et exponentielles ainsi que leurs fonctions inverses sur un domaine de définition restreint pour lequel il y a bijection et même certaines solutions d'équations différentielles dites de référence&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les opérations étant l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et l'extraction de racines.&lt;/ref&gt; on conclut à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.(N.A.)&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot;&gt; On devrait dire « élongations angulaires petites &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou non&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;en valeur absolue&lt;/u&gt; » mais personne ne le fait par abus de langage.&lt;/ref&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Cas_particulier_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_pendule_pesant_(non_amorti_à_un_degré_de_liberté)_=_oscillateur_harmonique_(non_amorti)_approché_de_rotation,_période_des_«_petites_oscillations_»|cas particulier des petites élongations angulaires, pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des petites oscillations]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Cas particulier des « petites élongations angulaires », pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation, période des « petites oscillations » ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires]] &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|5}}« on écarte le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessous.&lt;/ref&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot;&gt; Conditions notées «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]].&lt;/ref&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot;&gt; À condition que l'angle soit exprimé en &lt;math&gt;\;rad&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, 

{{Al|16}}{{Transparent|« on écarte le P.P.N.A. de sa position d’équilibre stable et }}l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot;&gt; C.-à-d. &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0\;&lt;/math&gt; dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] et aussi dans le cas où la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature oscillatoire de petite amplitude&quot;&gt; La démonstration de la nature oscillatoire entre &lt;math&gt;\;-\theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;+\theta_0\;&lt;/math&gt; du P.P. en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Approximation linéaire du P.P.(N.A.) dans le cadre des « petites élongations angulaires » ===

{{Al|5}}Dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot;&gt; Développement Limité.&lt;/ref&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;0\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable_au_voisinage_d'une_de_ses_valeurs#Développements_limités_à_l'ordre_un_de_quelques_fonctions_usuelles|D.L. à l'ordre un de quelques fonctions usuelles]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;center&gt;l'équation différentielle suivie par le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. &lt;br /&gt;une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme d'amortissement et homogène.&lt;/center&gt;
=== P.P.(N.A.) à un degré de liberté dans le cadre des « petites élongations angulaires » = oscillateur harmonique (non amorti) approché de rotation ===

{{Al|5}}Le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient &lt;center&gt;un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; (non amorti) » de « pulsation propre &lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Période des « petites oscillations » ===

{{Al|5}}On en déduit la « &lt;u&gt;période propre des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à un degré de liberté » «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = \dfrac{2\;\pi}{\omega_0} = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;limite de validité de la période des petites élongations angualires&quot;&gt; On rappelle que cette expression n'est valable que si l'amplitude d'oscillations &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; reste petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\theta_m \lesssim 15\; \text{°}\;&lt;/math&gt; si on travaille à &lt;math&gt;\;1\; \%\;&lt;/math&gt; près.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}on constate que le P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; « bât plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot;&gt; C.-à-d. a une « période propre des petites élongations angulaires » plus courte.&lt;/ref&gt;, en un lieu fixé, pour «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; plus petit » réalisé pour une répartition de masse plus proche de l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; c.-à-d. «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; plus petit » &lt;ref&gt; En effet, quand on rapproche les masses de l’axe, cela implique la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; mais aussi celle de la distance &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; séparant le C.D.I. du solide de &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les variations de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; étant couplées ; &lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois on peut vérifier, pour des variations particulières, et l'admettre pour toutes variations, que la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; implique celle de &lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; en effet « si on divise toutes les distances par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;», le « moment d’inertie &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\;4\;&lt;/math&gt;» et la « distance &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. que « &lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{\mathfrak{a}}\;&lt;/math&gt; est divisé par &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans ce cas la période des petites élongations est divisée par &lt;math&gt;\;\sqrt{2}\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et 

{{Al|16}}{{Transparent|on constate que le P.P.(N.A.) « bât plus vite »,}} à répartition de masse fixée, pour une « intensité de pesanteur &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; plus grande » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sur Terre « bât un peu plus vite » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot; /&gt; aux pôles qu'à l'équateur &lt;ref&gt; L'intensité de la pesanteur à la surface de la Terre valant &lt;math&gt;\;g_{\text{pôles}} \simeq 9,83\;m \cdot s^{-2}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g_{\text{équat}} \simeq 9,78\;m \cdot s^{-2}\;&lt;/math&gt; on en déduit &lt;math&gt;\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{équat}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{pôles}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{pôles}}}{g_{\text{équat}}}} \simeq 1,0026\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; aux pôles battra à la période de &lt;math&gt;\;1,0026\;s\;&lt;/math&gt; à l'équateur.&lt;/ref&gt; et le même P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; « bât nettement plus rapidement » &lt;ref name=&quot;bât plus vite&quot; /&gt; sur la Terre (♁) que sur la Lune (☽) &lt;ref&gt; Il n'y a en fait pas un symbole astronomique attitré pour représenter la Lune mais plusieurs suivant la phase dans laquelle la Lune est vue en un endroit de la Terre, le symbole choisi ici correspond au premier quartier de la Lune, les autres symboles possibles étant ([[File:Full moon symbol.svg|x18px|Full moon symbol]]) pour la pleine Lune, (☾) pour le dernier quartier et ([[File:New moon symbol.svg|x18px|New moon symbol]]) pour la nouvelle Lune.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; L'intensité de la pesanteur à la surface lunaire étant approximativement le sixième de l'intensité de la pesanteur à la surface terrestre on en déduit &lt;math&gt;\dfrac{\mathcal{T}_{0,\,\text{☽}}}{\mathcal{T}_{0,\,\text{♁}}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{\dfrac{g_{\text{♁}}}{g_{\text{☽}}}} \simeq 2,45\;&lt;/math&gt; c.-à-d. qu'un même pendule battant à la période de &lt;math&gt;\;1\;s\;&lt;/math&gt; sur Terre battra à la période de &lt;math&gt;\;2,45\;s\;&lt;/math&gt; sur la Lune.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

== Intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) dans le cas général des élongations angulaires non petites ==

=== Introduction ===

{{Al|5}}La meilleure façon d’obtenir cette intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté est de faire une étude énergétique, mais les notions d’énergies d’un système discret de points matériels ou d’un système continu de matière n’étant vues qu'aux chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation|énergie cinétique d'un solide en rotation]] », &lt;math&gt;10&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique|lois scalaires de l'énergie cinétique]] » et &lt;math&gt;11&lt;/math&gt; « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels|lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels]] » de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] », nous allons procéder autrement &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;la détermination directe de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;selon la meilleure méthode exposée dans les chapitres précités de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; sera vue dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l’équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce dernier ===

{{Al|5}}L’équation différentielle du mouvement en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;», on multiplie celle-ci par «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ce qui donne «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t) = 0\;&lt;/math&gt;» soit, en reconnaissant 
* dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» la dérivée temporelle de «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et 
* dans le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|terme}}«&lt;math&gt;\;\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right]\,\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» {{Al|4}}celle de «&lt;math&gt;\;-\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» 
{{Al|5}}puis en intégrant entre «&lt;math&gt;\;t = 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;t &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; étant «&lt;math&gt;\;\theta(0) = \theta_0\;&lt;/math&gt; quelconque » et «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}(0) = \dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; également quelconque »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2}{2} - \dfrac{\dot{\theta}_0^2}{2} - \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\cos(\theta_0) = 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement, en multipliant par «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et en basculant les termes constants dans le membre de droite l’équation différentielle du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos(\theta_0)\quad\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}nous verrons au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_d'un_«_système_de_points_matériels_indéformable_en_rotation_»_autour_d'un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique d'un système de points matériels indéformable en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie cinétique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_potentielle_de_pesanteur_du_pendule_pesant|énergie potentielle de pesanteur du pendule pesant]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; terme «&lt;math&gt;\;- m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» du membre de gauche définit l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; La référence d'une énergie potentielle étant l'endroit où cette dernière est choisie nulle.&lt;/ref&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot;&gt; C.-à-d. avec référence d'énergie potentielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|&lt;sup&gt;53&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{réf. de }U_{\text{pes}}} = \pm\dfrac{\pi}{2}\;&lt;/math&gt;» que l’on ne choisit en général pas car la position horizontale du P.P.(N.A.) n’est qu'une position physique transitoire ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le seul cas où il pourrait être intéressant de choisir cette position comme référence de l'énergie potentielle de pesanteur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-référence_d'énergie_potentielle-53|&lt;sup&gt;53&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est celui où elle correspond à la position initiale mais, avec d’autres lancements ce choix serait maladroit sans toutefois être interdit &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}{{Transparent|nous verrons }}au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Énergie_mécanique_du_pendule_pesant_et_sa_conservation_en_absence_de_frottement|énergie mécanique du pendule pesant et sa conservation en absence de frottement]] » du chap.&lt;math&gt;10&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » que la somme des deux termes du membre de gauche «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 - m\;g\;\mathfrak{a}\;\cos\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» définit l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, celle des deux termes du membres de droite définissant l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en même position horizontale » &lt;ref name=&quot;référence particulière de l'énergie potentielle du P.P.&quot; /&gt;, l'égalité des deux correspondant à la conservation de l'énergie mécanique du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; ;

{{Al|5}}pour se ramener au choix usuel de la « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; de l’énergie potentielle de pesanteur en la position d’équilibre stable &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. stable}} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;, on ajoute de part et d’autre de l’équation &lt;math&gt;\;\left( \mathfrak{1} \right)\;&lt;/math&gt; la quantité «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» pour reconnaître respectivement dans «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l’instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et à l’instant initial avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; d’où, en notant «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt;» l'énergie mécanique initiale du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, la réécriture de l’intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t) = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;E_m(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie mécanique du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» avec « référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; en la position d’équilibre stable » &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;.&lt;/center&gt;
=== Étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique ===

{{Al|5}}Étude analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. 1b par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2\;&lt;/math&gt;», les conclusions de la discussion étant rappelées ci-dessous :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;oscillatoire et périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = 4\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\;&lt;/math&gt;» avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Période_des_«_petites_oscillations_»|période des petites oscillations]]» plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt;» l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; C.-à-d. la position du mur d’énergie potentielle du côté du « sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; des &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; », l’autre mur étant à la position repérée par «&lt;math&gt;\;-\theta_m\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} = \dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right] = m\;g\;\mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_m) \right]&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire du pendule étant nulle sur les murs d'énergie potentielle.&lt;/ref&gt; ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0\big)&lt;/math&gt;, le mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; est &lt;u&gt;révolutif et périodique&lt;/u&gt; de période sous forme intégrale &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta}(t) \vert = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}} \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace} = \sqrt{\dfrac{2\;E_{m,\,0}}{J_{\Delta_O}} - \dfrac{4\;m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\; \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]} = 2\;\sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{2} \right]}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\;\dfrac{\theta}{2}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0 + \pi}^{\theta_0 + 2\,\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; ou enfin, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\;\pi\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 + \pi\;&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\;0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{\pi}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 + \pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \dfrac{d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot;&gt; On obtiendrait la même expression en supposant &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou encore,&lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{1}{2}\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;passage par angle moitié&quot; /&gt; ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer dépendant de &lt;math&gt;\;\dfrac{\theta}{2}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{\theta_0 - 2\,\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; ou enfin, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet l'aire sous la fonction à intégrer entre &lt;math&gt;\;\theta_0 - \pi\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;- \pi\;&lt;/math&gt; est la même que celle entre &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, la fonction à intégrer étant &lt;math&gt;\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et par suite &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{\theta_0}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\displaystyle\int_{\theta_0 - \pi}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} + \displaystyle\int_{0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt; soit finalement &lt;math&gt;\;\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta_0 - \pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}} = \displaystyle\int_{0}^{-\pi} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\Bigg\{&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \dfrac{\mathcal{T}_0}{2\;\pi}\;\displaystyle\int_{\pi}^{0} \dfrac{-d \theta}{\sqrt{\dfrac{E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}} - \sin^2\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Obtenue en ajoutant simultanément, aux deux bornes de l'intégrale, une même période &lt;math&gt;\;\pi\;&lt;/math&gt; de la fonction à intégrer.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;expression indépendante du signe de theta0&quot; /&gt;&lt;math&gt;\Bigg\}&lt;/math&gt;,&lt;/center&gt; {{Al|5}}ces dernières expressions de période dans le cas &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » &lt;ref&gt; En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;nous supposons &lt;math&gt;\;\theta_0 \in \left] -\pi\,,\,+\pi \right[\big)&lt;/math&gt;, il y a mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;jusqu'à l'une des positions d'équilibres instables&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \pm \pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot;&gt; Correspondant à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sur la verticale de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et au-dessus.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;u&gt;où le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; s'arrête définitivement&lt;/u&gt; en absence de perturbations extérieures.

== Différents portraits de phase du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), « bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ==

=== Équation des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}L’équation du portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme implicite étant l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement de ce dernier «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\left[ \dot{\theta}(t) \right]^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» déterminée au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Détermination_de_l’intégrale_1ère_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_à_partir_de_l’équation_différentielle_du_mouvement_en_θ(t)_suivi_par_ce_dernier|détermination de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.(N.A.) à partir de l'équation différentielle du mouvement en θ(t) suivi par ce derneir]] » plus haut dans ce chapitre dans laquelle la constante «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» est égale à «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\,\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos(\theta_0) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; quelconques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; étant identique à celle d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Non Amorti.&lt;/ref&gt; après substitution de «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;» et de «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;», nous pouvons refaire, aux substitutions près, l’étude exposée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Propriétés_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|propriétés des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Tracé des portraits de phase d’un P.P.(N.A.) dans le cas général d’« oscillations ou de mouvement révolutif » ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Tracé_des_portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._«_1b_U_1a_»|tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S. lancé dans les C.I. “1b U 1a”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== « Bifurcation » entre mouvement « pendulaire » et révolutif ===

{{Al|5}}Nous observons deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot;&gt; Adjectif synonyme d'« oscillatoire ».&lt;/ref&gt; ou révolutif » suivant la valeur du paramètre «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big(&lt;/math&gt;énergie mécanique initiale&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une allure du portrait de phase nettement différente suivant le type considéré :
* pour un mouvement &lt;u&gt;pendulaire&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;fermé&lt;/u&gt;, décrit dans le « &lt;u&gt;sens horaire&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du sens horaire&quot;&gt; Ou « trigonométrique indirect », en effet « quand &lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \nearrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule » ensuite «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, correspondant à &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\theta} \searrow\;&lt;/math&gt; puis &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; jusqu'à ce qu'elle s’annule de nouveau » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, avec le point «&lt;math&gt;\;\big( \theta = 0\, , \, \dot{\theta} = 0 \big)\;&lt;/math&gt;» comme « &lt;u&gt;centre de symétrie&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;justification du centre de symétrie&quot;&gt; Invariance de l’équation en changeant «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\theta\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des vitesses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en fait antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Invariance de l’équation }}en changeant «&lt;math&gt;\;\dot{\theta}\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;-\dot{\theta}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; « symétrie par rapport à l'axe des abscisses angulaires &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;là encore c'est une antisymétrie car le portrait de phase est une courbe orientée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|3}}l’association des deux symétries axiales &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou plutôt des deux antisymétries axiales&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; donnant un centre de symétrie pour l'intersection des deux axes &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point d'intersection des deux axes étant réellement une symétrie centrale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et non une antisymétrie centrale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; lequel correspond à la position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; du P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; ;
* pour un mouvement &lt;u&gt;révolutif&lt;/u&gt;, le portrait de phase est &lt;u&gt;ouvert&lt;/u&gt;, constitué de la &lt;u&gt;répétition du motif de l'intervalle&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left] -\pi\, , \, \pi \right]&lt;/math&gt;, répété &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \nearrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; « vers les &lt;math&gt;\;\theta \searrow\;&lt;/math&gt; en restant dans le domaine des &lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt; si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;le portrait de phase avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,\dot{\theta}_0 &lt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;» étant l’&lt;u&gt;antisymétrique&lt;/u&gt; de celui avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \theta_0\, , \,-\dot{\theta}_0 &gt; 0 \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;les &lt;u&gt;maxima de valeur absolue de vitesse angulaire&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\vert \dot{\theta} \vert\;&lt;/math&gt;» étant &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre stable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres stables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\theta_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = -p'\; 2\,\pi,\;\; p' \in \mathbb{N}^{*}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. st.}} = p\; 2\,\pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;les &lt;u&gt;minima&lt;/u&gt; {{Al|13}}{{Transparent|de valeur absolue de vitesse angulaire étant }} &lt;u&gt;obtenus pour les positions d’équilibre instable&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;équilibre instable&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;précision sur l'accessibilité des équilibres instables&quot;&gt; Plus précisément si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» alors que &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|Plus précisément }}si &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\left( 2\;p' + 1 \right)\, \pi,\;\; p' \in \mathbb{N}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = \left( 2\;p + 1 \right)\, \pi,\;\; p \in \mathbb{Z}_{-}^{*}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Conclusion&lt;/u&gt; : La « &lt;u&gt;bifurcation&lt;/u&gt; » entre les deux types de mouvement « pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; et révolutif » correspond à un &lt;u&gt;portrait de phase particulier où le point générique s’arrête en la position d’équilibre instable accessible&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = +\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq. inst.}} = -\pi\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;», cet arrêt pouvant n’être que temporaire si une perturbation extérieure intervient &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le point générique repartant dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent augmenté de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;» ou dans le domaine des «&lt;math&gt;\;\dot{\theta} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» jusqu'à l’arrêt suivant correspondant au « précédent diminué de &lt;math&gt;\;2\,\pi\;&lt;/math&gt;», ceci suivant que le signe de la vitesse angulaire infiniment petite fournie par la perturbation &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

== Approche numérique : présentation du tracé des lois horaires du mouvement du pendule pesant (non amorti à un degré de liberté) suivant les conditions de lancement, non isochronisme des oscillations, formule de de Borda ==

{{Al|5}}Le traitement effectué dans ce paragraphe est analogue à celui présenté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b”, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».

=== Approche numérique : présentation du tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse du mouvement du P.P.(N.A.) suivant les conditions de lancement ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot;&gt; La version utilisée étant '''Scilab''' &lt;math&gt;\;5.41&lt;/math&gt;, '''Scilab''' étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.&lt;/ref&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_s'arrête_à_la_position_d'équilibre_instable_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'arrête à la position d'équilibre instable avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé pour tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; ainsi que le tracé du portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; ensuite

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l’équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1b_»_telles_que_le_pendule_acquiert_un_mouvement_révolutif_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1b” telles que le pendule s'acquiert un mouvement révolutif avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big[&lt;/math&gt;on y trouve les lignes du programme « Scilab » &lt;ref name=&quot;Scilab&quot; /&gt; utilisé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \theta_0 = -120\,\text{°}\;,\;\dot{\theta}_0 = 3,5 \, rad \cdot s^{-1} &gt; \sqrt{2\;\dfrac{g}{l}\, \left[ 1 + \cos(\theta_0) \right]} \simeq 3,13\, rad \cdot s^{-1} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; permettant de tracer les diagrammes horaire de position et de vitesse ainsi que le portrait de phase correspondant&lt;math&gt;\Big]\;&lt;/math&gt; et enfin

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Superposition_des_trois_portraits_de_phase_précédemment_tracés|superposition des trois portraits de phase précédemment tracés]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en remplaçant P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; par P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt;, les valeurs initiales d’abscisse angulaire et de vitesse angulaire proposées étant maintenues ainsi que la valeur de l’intensité de la pesanteur, la donnée de la longueur «&lt;math&gt;\;\mathit{l} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;» du P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; devant être remplacée par celle du rapport «&lt;math&gt;\;\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;\mathfrak{a}} = 1,000\; m\;&lt;/math&gt;».

=== Non isochronisme des oscillations ===

{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Étude_du_mouvement_du_P.P.(N.A.)_dans_le_cas_général_des_élongations_angulaires_non_petites_par_diagramme_énergétique|étude du mouvement du P.P.(N.A.) dans le cas général des élongations angulaires non petites par diagramme énergétique]] » plus haut dans le chapitre ou

{{Al|5}}{{Transparent|Voir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on remplace « P.P.S.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.S.(N.A.)&quot; /&gt; » par « P.P.(N.A.) &lt;ref name=&quot;P.P.(N.A.)&quot; /&gt; », «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; par {{Nobr|&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» et on adapte les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; pour généraliser le résultat obtenu, celles-ci étant &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 \neq 0 \right)\;&lt;/math&gt; satisfaisant un mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; d'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg\{&lt;/math&gt;c.-à-d. telles que «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;J_{\Delta_O}\;\dot{\theta}_0^2 + m\;g\; \mathfrak{a}\, \left[ 1 - \cos\! \left( \theta_0 \right) \right]\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathfrak{a}\;&lt;/math&gt;», l'amplitude des oscillations étant déterminée par «&lt;math&gt;\;\theta_m = \arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathfrak{a}} \right] = \arccos\! \left[ \cos(\theta_0) - \dfrac{J_{\Delta_O}}{2\;m\;g\;\mathfrak{a}}\;\dot{\theta}_0^2 \right]\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\bigg\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; devant être substitué par &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; dans le résultat de la période sous forme intégrée » du paragraphe précité &lt;ref&gt; La raison étant qu'avec les C.I. du P.P.S.(N.A.) du paragraphe précité &lt;math&gt;\;\left( \theta_0 \;,\;\dot{\theta}_0 = 0 \right)\;&lt;/math&gt; l'amplitude des oscillations est &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; d'où l'expression de la &lt;u&gt;période d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; sous forme intégrale&lt;/u&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» est la période des petites élongations angulaires &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;période des petites élongations angulaires du P.P.N.A.&quot; /&gt; suivi de sa réécriture &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans nouvelle démonstration&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; prouvant le &lt;u&gt;non isochronisme de ce dernier&lt;/u&gt; : &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} = \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_0^{\theta_m} \dfrac{d \theta}{\sqrt{2\,\left[ \cos(\theta) - \cos(\theta_m) \right]}}\; \overset{\cdots}{\;=\;}\; \mathcal{T}_0\;\dfrac{2}{\pi}\;\displaystyle\int_{u = 0}^{u = \frac{\pi}{2}} \dfrac{du}{\sqrt{1 - \sin^2\!\!\left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)\,\sin^2(u)}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;changement de variable&quot;&gt; Cette dernière expression étant obtenue avec le changement de variable &lt;math&gt;\;u = \arcsin\! \left[ \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)} \right]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sin(u) = \dfrac{\sin\! \left( \dfrac{\theta}{2} \right)}{\sin\! \left( \dfrac{\theta_m}{2} \right)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'sochronisme_des_oscillations|absence d'isochronisme des oscillations]] d'un P.P.S.N.A. » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;justification du non isochronisme&quot;&gt; Cette dernière expression intégrale de &lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; justifiant l'&lt;u&gt;absence d'isochronisme des oscillations du P.P.N.A.&lt;/u&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{T}\;&lt;/math&gt; dépendant effectivement de &lt;math&gt;\theta_m\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fonction à intégrer en dépend avec des bornes en étant indépendantes.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
=== Formule de de Borda ===

&lt;center&gt;La formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot;&gt; En hommage à '''[[w:Jean-Charles_de_Borda|Jean-Charles de Borda]] (1733 – 1799)''' mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de &lt;math&gt;\;\simeq 1760&lt;/math&gt;, a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]]'''  ['''(1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés], d’étudier la longueur du pendule battant la seconde  [pour cette occasion '''[[w:Etienne_Lenoir_(technicien_scientifique)|Etienne Lenoir]] (1744 - 1832)''', ingénieur du roi, a fabriqué  un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de &lt;math&gt;\;36\; mm&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;526\; g&lt;/math&gt;, et accrochée à un fil de fer de &lt;math&gt;\;12\; pieds\;&lt;/math&gt; de long (un pied de l’époque valait &lt;math&gt;\;324,839\, mm\big)&lt;/math&gt;, la période d'oscillations était de &lt;math&gt;\;2\, s\big]\;&lt;/math&gt; puis, entre &lt;math&gt;\;1792\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;1799&lt;/math&gt;, avec deux astronomes français '''[[w:Pierre_Méchain|Pierre Méchain]] (1744 - 1804)''' et '''[[w:Jean-Baptiste_Joseph_Delambre|Jean-Baptiste Delambre]] (1749 - 1822)''' (également membres de l’Académie des Sciences) il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de '''Dunkerque''' à '''Barcelone'''.&lt;/ref&gt; n'étant pas au programme de physique de P.C.S.I. est donnée à titre documentaire.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt;, ce qui donne l’« expression approchée de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; de la période d’oscillations » &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq \mathcal{T}_0 \left( 1 + \dfrac{\theta_m^2}{16} \right)\;&lt;/math&gt; dans laquelle &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; est l'amplitude des oscillations &lt;ref&gt; A priori non petite.&lt;/ref&gt; exprimée en &lt;math&gt;\;rad\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{T}_0 = 2\;\pi\;\sqrt{\dfrac{J_{\Delta_O}}{m\;g\;\mathfrak{a}}}\;&lt;/math&gt;» la période des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt;.&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarques&lt;/u&gt; : L'évaluation de la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donne un résultat en accord avec celui obtenu en évaluant « l'intégrale selon laquelle la période est explicitée » et ceci, pour des valeurs de &lt;math&gt;\;\theta_m\;&lt;/math&gt; non petites &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;celles-ci devant être &lt;math&gt;\;\lesssim\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\dfrac{5\;\pi}{12}\; rad = 75\,\text{°}\;&lt;/math&gt; pour donner un résultat correct à &lt;math&gt;\;1\,\%\;&lt;/math&gt; près&lt;math&gt;\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Remarques : }}Pour l'évaluation de la « période explicitée sous forme intégrale » voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|complément, évaluation numérique de la période et comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en mouvement oscillatoire » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en l’adaptant au cas d’un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; en mouvement pendulaire &lt;ref name=&quot;pendulaire&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de vitesse angulaire du {{Nobr|P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;}} dans l'évaluation de sa période sous forme intégrale étant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 = 0&lt;/math&gt;, l'amplitude des oscillations est égale à &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\big)&lt;/math&gt;, la comparaison avec la « période par formule de de Borda &lt;ref name=&quot;de Borda&quot; /&gt; » donnant : 
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{\pi}{3}\; rad = 60\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;0,43\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{2\;\pi}{3}\; rad = 120\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;7,19\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période ;
* pour &lt;math&gt;\;\theta_m = \dfrac{5\;\pi}{6}\; rad = 150\,\text{°}\;&lt;/math&gt; on trouve un écart relatif de &lt;math&gt;\;18,94\; \%\;&lt;/math&gt; entre la « période sous forme intégrale » et « l'expression approchée de de Borda », cette dernière sous-estimant la période.

== Réalisation expérimentale du portrait de phase d’un pendule pesant (non amorti à un degré de liberté), mise en évidence d’un amortissement (correspondant à une diminution d’« énergie mécanique ») ==

=== Description du dispositif expérimental ===

[[File:Pendule pesant - dispositif pour diagramme horaire de position.png|thumb|500px|Dispositif expérimental de détermination du diagramme horaire de position angulaire d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] dont l'axe de rotation est solidaire d'un potentiomètre 10 tours]]
{{Al|5}}Bien que nous souhaitons étudier un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;, les frottements fluide &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et solide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ne peuvent jamais être totalement éliminés, ils ne peuvent qu'être réduits, la réduction sera considérée comme satisfaisante pour un mouvement pendulaire si les oscillations se maintiennent pendant une « durée suffisamment grande devant la période » &lt;ref name=&quot;durée grande devant période&quot;&gt; Il est souhaitable de pouvoir observer, sans amortissement notable, au moins une cinquantaine d’oscillations.&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}nous pouvons utiliser le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], schématisé ci-contre, composé des pièces suivantes :
* une tige cylindrique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_t&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_t&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_t\;&lt;/math&gt; et de rayon &lt;math&gt;\;R_t&lt;/math&gt;, pouvant être fixée en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; sur un axe horizontal de rotation &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;l’axe du potentiomètre décrit ci-après&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;,
* un cylindre métallique, de C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G_c&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;m_c&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\;\mathit{l}_c&lt;/math&gt;, de rayon extérieur &lt;math&gt;\;R_2\;&lt;/math&gt; et de rayon intérieur &lt;math&gt;\;R_1&lt;/math&gt;, dont l'axe est confondu avec l'axe de la tige et que nous pouvons déplacer sur cette dernière pour modifier la position du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; global et du moment d’inertie du pendule relativement à l’axe de rotation,
* un potentiomètre bobiné &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-dessous à droite&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, d’axe servant d’axe de rotation au pendule ; &lt;br&gt;{{Al|3}}le potentiomètre est alimenté symétriquement à l'aide d'une A.S. &lt;ref name=&quot;A.S.&quot;&gt; Alimentation Stabilisée &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Circuits_électriques_dans_l'ARQS_:_dipôles_linéaires#Notion_d'alimentation_stabilisée_(A.S.)|notion d'alimentation stabilisée (A.S.)]] » du chap.&lt;math&gt;22&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; entre &lt;math&gt;\;+12\; V\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;-12\; V&lt;/math&gt;, la position angulaire du pendule étant alors &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à la tension «&lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt;» entre le curseur du potentiomètre et la masse de l’alimentation ; &lt;br&gt;{{Al|3}}lorsque le pendule est au repos, le curseur est placé approximativement à mi-course et le support du potentiomètre est tourné de manière à obtenir une tension «&lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» à l’équilibre inférieure à &lt;math&gt;\;10\; mV\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot;&gt; De façon à ce que nous puissions assimiler la valeur de &lt;math&gt;\;u_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est alors de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;300\; mV\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes des &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;2,4\; V\;&lt;/math&gt; par tour et &lt;math&gt;\;0,3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt; ;

[[File:Centrale-d'acquisition-sysam-sp5.jpg|thumb|left|330px|Centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par interface python]]
[[File:Potentiomètre 10-tours 10k.png|thumb|450px|Exemple de potentiomètre &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; tours de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]

{{Al|5}}l'acquisition de la tension peut être faite avec la « centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; pilotée par interface « python », voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » suivant.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : on pourrait utiliser une autre interface mais le potentiomètre devrait être adapté, par exemple avec l’interface « Orphy-GTI » avec sa prise &lt;math&gt;\;F&lt;/math&gt;, utiliser un potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en mettant en série avec lui deux autres conducteurs ohmiques additionnels de même résistance de &lt;math&gt;\;10\; k \Omega&lt;/math&gt;, « la tension appliquée au potentiomètre étant alors de &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot;&gt; En effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes de &lt;math&gt;\;3\;&lt;/math&gt; fois &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; en montage potentiométrique donne &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en sortie ouverte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; aux bornes du potentiomètre, soit &lt;math&gt;\;8\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour et &lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, l’échelle de tension est de «&lt;math&gt;\;1\; V\;&lt;/math&gt; pour {{Nobr|&lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;utilisation d'un potentiomètre monotour&quot; /&gt;,}} l’interface « Orphy-GTI » étant reliée à l’ordinateur par la prise « série &lt;math&gt;\;COM2\;&lt;/math&gt;», voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir un exemple de potentiomètre monotour &lt;math&gt;\;10\; k \Omega\;&lt;/math&gt; et l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi” respectivement à droite et à gauche dans le paragraphe en question « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_l’interface_«_ORPHY-GTI_»_associée_au_logiciel_«_Regressi_»|utilisation de l'interface “ORPHY-GTI” associée au logiciel “Regressi”]] » plus loin dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python ===

{{Al|5}}On réalise une acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;10\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;70\; s\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;acquisition d'une grandeur et utilisation par interface python&quot;&gt; L'acquisition de la grandeur par la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 nécessite le chargement dans python du module « pycanum.main » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour l'obtention et l'installation de ce dernier voir « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/caneurosmart/interpy/interpy.html »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant donc à &lt;math&gt;\;7000\;&lt;/math&gt; valeurs captées &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; la durée d’acquisition est suffisamment grande pour observer un retour à l’équilibre du pendule&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par python&quot;&gt; Article original à l'adresse « http://www.f-legrand.fr/scidoc/docmml/sciphys/meca/exppendule/exppendule.html ».&lt;/ref&gt;, le code python permettant de faire l'acquisition est le suivant : 

import pycanum.main as pycan
&lt;br&gt;import matplotlib.pyplot as plt
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;import numpy
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;sys = pycan.Sysam(&quot;SP5&quot;) &lt;ref&gt; Des explications plus approfondies sur l'utilisation de ce module peuvent être trouvées à l'adresse « http://f-legrand.fr/scidoc/docimg/sciphys/caneurosmart/pysignal/pysignal.html ».&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;sys.config_entrees([0],[1])
&lt;br&gt;te=1e-2 # période d'échantillonnage
&lt;br&gt;ne=7000 # nombre d'échantillons
&lt;br&gt;duree=te*ne
&lt;br&gt;sys.config_echantillon(te*10**6,ne) {{Al|10}}# période d'échantillonnage en µs
&lt;br&gt;sys.acquerir()
&lt;br&gt;t=sys.temps()
&lt;br&gt;u=sys.entrees()
&lt;br&gt;echelle = 0.6/(math.pi/2) {{Al|10}}# conversion tension-&gt;angle
&lt;br&gt;angle=u[0]/echelle
&lt;br&gt;temps=t[0]
&lt;br&gt;numpy.savetxt(&quot;pendule-6.txt&quot;,[temps,angle])
&lt;br&gt;sys.fermer()
&lt;br&gt;plt.figure(figsize=(18,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 18,6 inch = 47,2 cm
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;plt.plot(temps,angle)
&lt;br&gt;plt.xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;plt.ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;plt.axis([0,duree,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;plt.show() &lt;ref&gt; Visualise le diagramme horaire de position angulaire du P.P. mais celui-ci n'est pas représenté car ce dernier est observable plus loin avec une grille de fond.&lt;/ref&gt; 

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot;&gt; Pendule Pesant Amorti.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire bruité.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné bruité acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}puis on trace le diagramme horaire de l’élongation angulaire &lt;ref name=&quot;tracé d'une courbe par interface python&quot;&gt; Le tracé d'une courbe nécessite le chargement du module « pyplot » de la bibliothèque « [[w:Matplotlib|mathplotlib]] » dans python, il est aussi nécessaire de faire le chargement des modules « numpy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour faire du calcul scientifique voir « [[w:Numpy|numpy]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, « scipy » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;unifie des bibliothèques de python, utilise entre autres les tableaux et matrices du module [[w:Numpy|numpy]] voir « [[w:Scipy|scipy]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et « math » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;permettant d'utiliser les fonctions élémentaires comme cosinus, sinus, racine carrée et d'autres ainsi que la valeur de &lt;math&gt;\pi\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour obtenir le tracé ci-contre est ci-dessous 

from matplotlib.pyplot import * {{Al|10}}# importe tous les noms du module sauf ceux commençant par &quot;_&quot;
&lt;br&gt;import numpy as np
&lt;br&gt;import math
&lt;br&gt;import scipy.signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;[temps,angle] = np.loadtxt(&quot;pendule-6.txt&quot;)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-2,2])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite l'objectif est d'en déduire le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage » mais le signal obtenu étant « très bruité » &lt;ref name=&quot;rôle d'un filtre dérivateur sur le bruit&quot;&gt; Le filtre dérivateur accentuant le bruit du signal d’entrée.&lt;/ref&gt; il faudrait effectuer une simulation de filtre passe-bas &lt;ref name=&quot;but d'un filtre passe-bas&quot;&gt; Le signal échantillonné pouvant être reconstitué à l'aide des 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; harmoniques et le bruit étant essentiellement de haute fréquence, un filtre passe-bas permet donc de l'éliminer sans pour autant altérer le signal échantillonné.&lt;/ref&gt; avant de dériver, le code python pour dériver puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire sans élimination préalable du bruit est ci-dessous avec le tracé ci-contre

&lt;br&gt;a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,angle) 
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure 

&lt;br&gt;{{Al|5}}on y voit nettement la nécessité de filtrer le signal échantillonné avant de dériver, ce qu'on va exposer ci-dessous :

{{Al|5}}on réalise donc une simulation de filtre passe-bas en utilisant un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot;&gt; Réponse Impulsionnelle Finie.&lt;/ref&gt; » qui est basée sur une réponse C.L. &lt;ref name=&quot;C.L.&quot;&gt; Combinaison Linéaire.&lt;/ref&gt; d’un nombre fini de valeurs du signal d’entrée selon «&lt;math&gt;\;y_n = \!\!\sum\limits_{k\, \in\, \left[\left[ -P \,,\, P \right]\right]} b_k\; x_{n - k}\;&lt;/math&gt;», les &lt;math&gt;\;2\;P + 1\;&lt;/math&gt; cœfficients «&lt;math&gt;\;b_k\;&lt;/math&gt;» étant des constantes réelles « définissant le filtrage » &lt;ref&gt; Par exemple &lt;math&gt;\;b_0 = 1\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;b_k = 0\;\;\forall\, k\,\in\,\left[\left[ -P \,,\, P \right]\right] \backslash \left\lbrace 0 \right\rbrace\;&lt;/math&gt; définit un passe-tout &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|3}}toutefois une étude plus détaillée étant hors programme de physique de P.C.S.I. nous traiterons la suite en « boîte noire » en précisant simplement le rang &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de la troncature de la [[w:Réponse_impulsionnelle|réponse impulsionnelle]] ainsi que la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;f_c\;&lt;/math&gt; du filtre passe-bas simulé relativement à la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Un filtre passe-bas est aisément simulé par un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» dans la mesure où la fréquence du signal &lt;math&gt;\;f&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici de l'ordre de &lt;math&gt;\;1\;Hz\big]\;&lt;/math&gt; est petite devant la fréquence d'échantillonnage &lt;math&gt;\;f_e&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici égale à &lt;math&gt;\;100\;Hz\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}l'inconvénient de l'utilisation d'un « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;filtre à réponse impulsionnelle finie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» est que cette méthode élimine les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, ce qui nécessite que &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; soit petit devant le nombre total &lt;math&gt;\;n_e\;&lt;/math&gt; de points, &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; devant être aussi suffisamment grand pour que le filtre passe-bas simulé soit sélectif &lt;math&gt;\;\big\{n_e\;&lt;/math&gt; étant égal à &lt;math&gt;\;7000&lt;/math&gt;, choisir &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; de l'ordre de &lt;math&gt;\;10\;&lt;/math&gt; ou plus devrait convenir&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le code python pour réaliser ce filtrage passe-bas étant ci-dessous avec le tracé ci-contre du diagramme horaire de position filtrée en rouge superposé à celui du diagramme horaire de position bruitée en bleu sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 50\;s\;;\;60\;s \right]&lt;/math&gt; :
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - bis.png|thumb|450px|Superposition des diagrammes horaires de position angulaire bruitée (en bleu) et filtrée (en rouge) d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, les tracés étant localisés vers la fin des oscillations]]

&lt;br&gt;P=20 {{Al|10}}# un rang de troncature de P = 20 petit devant ne = 7000 mais suffisamment grand pour que le filtre soit sélectif &lt;ref&gt; Pour obtenir la k&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; position filtrée on utilise &lt;math&gt;\;2\;P + 1 = 41\;&lt;/math&gt; valeurs de son voisinage.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;fc=0.05 {{Al|10}}# une fréquence de coupure de 0,05 Hz suffisamment petite pour éliminer le maximum de bruit sans altérer le signal
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;h = scipy.signal.firwin(numtaps=2*P+1,cutoff=[fc],nyq=0.5,window='hamming') {{Al|10}}# utilise le module « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] &lt;ref name=&quot;R.I.F.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;paramètres du module scipy.signal.firwin&quot;&gt; Le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; paramètre du module « scipy.signal.firwin » est le nombre de cœfficients de la C.L. définissant le filtre, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; {{Transparent|paramètre du module « scipy.signal.firwin » est }}la fréquence de coupure &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;encadrée ou non par des crochets&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|3}}le 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;optionnel&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; {{Al|1}}{{Transparent|paramètre du module « scipy » }} la [[w:Fréquence_de_Nyquist|fréquence Nyquist]] &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la fréquence maximale que doit contenir un signal pour permettre sa description non ambigüe par un échantillonnage à intervalles réguliers&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|3}}le 4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; {{Al|4}}{{Transparent|paramètre  du module « scipy.signal.firwin » }}la [[w:Fenêtrage|fenêtre]] utilisée {{Nobr|&lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la fonction par laquelle le signal observé est multiplié pour le limiter sur une durée finie, on utilise ici une fenêtre de Hamming d'équation &lt;math&gt;\;h(t) = \left\lbrace \begin{array}{l} 0,54 - 0,46\;\cos\! \left( 2\;\pi\;\dfrac{t}{T} \right) &amp; \text{ si } t\, \in\, \left[0 \,,\,T \right] \\ 0 &amp; \text{ sinon} \end{array}\right.\bigg]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Harry_Nyquist|Harry Nyquist]] (1889 - 1976)''' physicien d'origine suédoise ayant pris la nationalité américaine (étatsunienne), l'un des principaux contributeurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] et de l'[[w:Automatique|automatique]], on lui doit le [[w:Diagramme_de_Nyquist|diagramme de Nyquist]] ainsi que le [[w:Théorème_d'échantillonnage|théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon]] ;&lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Claude_Shannon|Claude Elwood Shannon]] (1916 - 2001)''' ingénieur en génie électrique et mathématicien américain, considéré comme l'un des fondateurs de la [[w:Théorie_de_l'information|théorie de l'information]] ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Richard_Hamming|Richard Wesley Hamming]] (1915 -  1998)''' mathématicien américain à qui on doit les [[w:Code_de_Hamming|codes de Hamming]] permettant la détection et la correction automatique d'une erreur si elle ne porte que sur une lettre du message ainsi que la [[w:Distance_de_Hamming|distance de Hamming]] qui joue un rôle important en théorie algébrique des codes correcteurs &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sur deux suites de symboles de même longueur, elle associe le nombre de positions où les deux suites diffèrent&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
&lt;br&gt;y = scipy.signal.convolve(angle,h,mode='valid') {{Al|10}}# réalise le filtrage par [[w:Produit_de_convolution|convolution]] &lt;ref name=&quot;produit de convolution&quot;&gt; Le produit de convolution de deux suites réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;u_p,\;\;p\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;v_q,\;\;q\;\in\;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, est une autre suite, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;(u * v)_n,\;\;n\;\in\;\mathbb{Z}\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( u * v \right)_n = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_{n - m} \times v_m = \sum\limits_{m = -\infty}^{+\infty} u_m \times v_{n - m}&lt;/math&gt; ;&lt;/center&gt; {{Al|3}}le produit de convolution de deux fonctions réelles &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexes&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'une variable réelle &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou complexe&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;g&lt;/math&gt;, est une autre fonction, qui se note généralement «&lt;math&gt;\;f * g\;&lt;/math&gt;» et qui est définie par &lt;center&gt;&lt;math&gt;\;\left( f * g \right)(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\! \left( x - t \right) \;g(t) \; dt = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \;g\! \left( x - t \right) \; dt&lt;/math&gt; &lt;br&gt;voir les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrales_généralisées_(ou_impropres)#Intégrale_généralisée_d'une_fonction_continue_par_morceaux_sur_un_intervalle_ouvert_dont_au_moins_une_des_bornes_est_infinie|intégrales généralisées d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie]] » &lt;br&gt;du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; du signal θ par le filtre passe-bas simulé
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;ny = y.size {{Al|10}}# définit le nombre de points de la liste « y » du signal filtré
&lt;br&gt;ty = np.zeros(ny) {{Al|10}}# définit une liste « ty » contenant ny zéros
&lt;br&gt;for k in range(ny): {{Al|19}}# remplace chaque zéro de la liste « ty » par l'instant …
&lt;br&gt;{{Al|5}}ty[k] = P*te+te*k &lt;ref&gt; Le « [[w:Filtre_à_réponse_impulsionnelle_finie|filtre à R.I.F.]] » éliminant les les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; 1&lt;sup&gt;ers&lt;/sup&gt; points ainsi que les &lt;math&gt;\;P\;&lt;/math&gt; derniers, il faut calculer une nouvelle liste de temps avant d'effectuer le tracé, afin d'annuler le décalage entre le signal d'entrée et de sortie du filtre, cette liste débute donc à l'instant &lt;math&gt;\;P\;T_e&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; {{Al|10}}# … correspondant à la valeur de même rang dans la liste « y »
&lt;br&gt;
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(temps,angle,&quot;b&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position bruitée en bleu
&lt;br&gt;plot(ty,y,&quot;r&quot;)  {{Al|10}}# tracé du diagramme horaire de position filtrée en rouge
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;theta (rad)&quot;)
&lt;br&gt;axis([50,60,-0.3,0.3])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de vitesse angulaire sans bruit.png|thumb|450px|Diagramme horaire de vitesse angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par filtre dérivateur du signal échantillonné acquis par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python puis débarrassé du bruit par filtrage passe-bas]]
&lt;br&gt;{{Al|5}}ensuite on obtient le diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; par dérivation du signal échantillonné filtré, ce qui se fait par simulation de filtre dérivateur «&lt;math&gt;\;x \mapsto y\;\text{:}\;y_n = \dfrac{x_n - x_{n - 1}}{T_e}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;T_e\;&lt;/math&gt; la période d’échantillonnage », le code python pour dériver le signal échantillonné débarrassé du bruit puis tracer le diagramme horaire de vitesse angulaire correspondant est ci-dessous avec le tracé ci-contre

a=[te] {{Al|10}}# dénominateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;b=[1,-1] {{Al|10}}# le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; et 2&lt;sup&gt;nd&lt;/sup&gt; cœfficients de la somme du numérateur du quotient définissant le filtre dérivateur
&lt;br&gt;omega = scipy.signal.lfilter(b,a,y)
&lt;br&gt;figure(figsize=(10,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 10,6 inch = 26,9 cm
&lt;br&gt;plot(ty,omega)
&lt;br&gt;xlabel(&quot;t (s)&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega (rad/s)&quot;)
&lt;br&gt;axis([0,70,-10,10])
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure
{{clr}}

[[File:Pendule pesant amorti - portrait de phase avec élimination du bruit.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, obtenu par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l’interface python, avec élimination du bruit sur l'élongation angulaire par filtrage passe-bas et obtention de la vitesse angulaire par filtrage dérivateur]]
{{Al|5}}enfin souhaitant tracer le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à partir de son point de lancement, on élimine les 1&lt;sup&gt;ères&lt;/sup&gt; valeurs des listes de temps «&lt;math&gt;\;ty\;&lt;/math&gt;», de positions angulaires «&lt;math&gt;\;y\;&lt;/math&gt;» et de vitesses angulaires «&lt;math&gt;\;\text{omega}\;&lt;/math&gt;» susceptibles de correspondre à un enregistrement antérieur au lancement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;celle de vitesses angulaires étant divisée par &lt;math&gt;\;2\;\pi\;&lt;/math&gt; de façon à ce que ces dernières soient exprimées en &lt;math&gt;\;\text{tour} \cdot s^{-1}\big)&lt;/math&gt;, le code python pour ces transformations et le tracé du portrait de phase est ci-dessous avec le tracé ci-contre

debut = int(1.0/te) {{Al|10}}# retourne un entier à partir de 1.0/te
&lt;br&gt;y = np.delete(y,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « y » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;ty = np.delete(ty,range(debut)) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « ty » de rang dans l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels
&lt;br&gt;omega = np.delete(omega,range(debut))/(2*math.pi) {{Al|10}}# supprime les éléments de la liste « omega » de rang dans … 
&lt;br&gt;{{Al|94}}# … l'intervalle [ 0, int(1.0/te) [ des entiers naturels puis divise par 2*π
&lt;br&gt;figure(figsize=(6,6)) {{Al|10}}# taille en pouces 6,6 inch = 16,7 cm
&lt;br&gt;plot(y,omega)
&lt;br&gt;axis([-math.pi/2,math.pi/2,-math.pi/2,math.pi/2])
&lt;br&gt;xlabel(&quot;theta&quot;)
&lt;br&gt;ylabel(&quot;omega&quot;)
&lt;br&gt;grid() {{Al|10}}# ajoute une grille de fond sur la figure

&lt;br&gt;{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : On peut aisément imaginer les allures des différents diagrammes et portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; à partir de celles du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; obtenues ci-dessus, l'absence d'amortissement se manifestant par une amplitude de l'élongation angulaire et de la vitesse angulaire constante et par un portrait de phase fermé sur lui-même &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » associée au logiciel « Regressi » ===

{{Al|5}}Le programme de physique de P.C.S.I. impose d’obtenir le diagramme horaire d’élongation angulaire, la variation de la période avec l’amplitude et d’étudier les frottements solide puis fluide d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] « sans aborder le tracé du portrait de phase » en utilisant le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot;&gt; Le logiciel peut être téléchargé gratuitement à l'adresse « http://regressi.fr/WordPress/download/ », son utilisation peut être facilitée grâce aux quelques lignes trouvées à l'adresse suivante « https://physique.ensc-rennes.fr/pdf/1annee/notice_resume_regressi.pdf » &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Toutefois le calcul par « Regressi » de la vitesse angulaire à partir de l’élongation angulaire ne présentant aucune difficulté, le tracé du portrait de phase en découle facilement.&lt;/ref&gt; ; ci-après est proposée

[[File:Potentiomètre-monotour-10k - bis.png|thumb|230px|Exemple de potentiomètre monotour de &lt;math&gt;\;10\;k \Omega&lt;/math&gt;]]
[[File:Interface orphy-gti.jpg|thumb|left|350px|Interface ORPHY-GTI à associer au logiciel Regressi]]
[[File:Pendulor.jpg|thumb|left|350px|Photo du dispositif « Pendulor » pour étudier le mouvement d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation avec utilisation de l’interface « ORPHY-GTI » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir ci-contre à gauche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associée au logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (remarque) » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-contre à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-dessous à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides&lt;math&gt;\big)\big]&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; manipulation }}peut être visualisée à l'adresse « http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/jacques_charrier/tp/pendulor/index.html », nous n'en dirons rien de plus, les lecteurs intéressés pouvant aisément s'y référer &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;il y est possible de visualiser les différentes étapes sans que le lancement d'une acquisition ne soit nécessaire &lt;ref&gt; Qui évidemment s'avérerait impossible sans matériel !&lt;/ref&gt; mais en cliquant simplement sur les différents liens successifs&lt;math&gt;\}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » et « Regressi » ===

{{Al|5}}Dans ce paragraphe est proposée une 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; manipulation utilisant la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on peut utiliser le dispositif du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] » présenté plus haut dans ce chapitre, le potentiomètre utilisé devant être monotour &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;comme celui représenté ci-dessus à droite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et le pendule étant du type « Pendulor » comme sur la photo ci-contre à gauche &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans lequel on remarque un cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; permettant d'y fixer une plaque créant des frottements fluides, les éventuels frottements solides se manifestant au niveau de l'axe de rotation&lt;math&gt;\;\Delta_O\big)\big]&lt;/math&gt;, la centrale Eurosmart SysamSP5 étant maintenant pilotée par « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot;&gt; Le logiciel « Synchronie 2003 », distribué par la société Eurosmart, est un logiciel d'acquisition et de traitement du signal, il a été remplacé en 2005 par le logiciel « Latis-pro » ; pour plus d’informations voir le site internet d’Eurosmart « http://www.eurosmart.fr/ ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;article original pour utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par Synchronie 2003&quot;&gt; On peut trouver l'article original sous forme de fichier « .doc » à l'adresse « http://bluestorm.dylc.free.fr/llg/tps2/tpp5-shu.doc », l'auteur « Claude Lebrun » proposant une étude beaucoup plus détaillée que celle que j'ai sélectionnée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et les calculs ainsi que les tracés effectués par le logiciel « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Paramétrage du logiciel « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et réglage du zéro &lt;ref name =&quot;réglage de Synchronie 2003&quot;&gt; Voir le fichier « http://www.spc.ac-aix-marseille.fr/labospc/sites/www.spc/labospc/IMG/pdf/synchronie-parametrages.pdf » pour régler les paramètres d'acquisition de « Synchronie 2003 ».&lt;/ref&gt; : l'acquisition de la tension &lt;math&gt;\;u(t)\;&lt;/math&gt; sera faite avec une période d’échantillonnage de &lt;math&gt;\;2,5\; ms\;&lt;/math&gt; et pendant une durée de &lt;math&gt;\;2,5\; s&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il}} y aura donc &lt;math&gt;\;1000\;&lt;/math&gt; valeurs captées&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;pour les acquisitions de la tension avec prise en compte des frottements solide ou fluide, la durée d'enregistrement sera augmentée à &lt;math&gt;\;12\; s\;&lt;/math&gt; avec la même période d'échantillonnage, ce qui correspondra à &lt;math&gt;\;4800\;&lt;/math&gt; valeurs captées, ceci dans le but de visualiser l'amortissement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; le réglage du zéro est celui qui a été exposé dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Description_du_dispositif_expérimental|description du dispositif expérimental]] (on tourne le support du potentiomètre de façon à ce que la tension captée quand le pendule est à l'équilibre soit inférieure à 10 mV) &lt;ref name=&quot;réglage du zéro&quot; /&gt; » plus haut dans ce chapitre et on vérifie, en lançant une acquisition de tension lorsque que le pendule est maintenu avec une élongation de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{2}\;rad = 90\,\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on trouve &lt;math&gt;\;V1 \simeq 6,0\;V\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; On adaptera &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; à la valeur effectivement trouvée.&lt;/ref&gt;, l'échelle de correspondance «&lt;math&gt;\;3,00\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;45\; \text{°}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;en effet &lt;math&gt;\;24\; V\;&lt;/math&gt; pour un tour de potentiomètre donne &lt;math&gt;\;3\; V\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{8}\;&lt;/math&gt; de tour correspondant à une élongation angulaire de &lt;math&gt;\;\dfrac{\pi}{4}\;rad = 45\;\text{°}\Big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers : on lance successivement &lt;math&gt;\;2\;&lt;/math&gt; acquisitions après avoir écarté le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'avoir lâché sans vitesse initiale
* la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; correspondant à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements négligeables sur la durée de l'expérience &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; et
* la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; {{Transparent|correspondant}}à une grande amplitude &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voisine de &lt;math&gt;\;60\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt; avec frottements solide et fluide non négligeables sur la durée de l'expérience {{Nobr|&lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;,}} puis
{{Al|12}}{{Transparent|Enregistrements des oscillations et sauvegarde de ces derniers :}}on sauvegarde chaque enregistrement dans un fichier différent au format « .txt » en précisant les variables «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; « Synchronie 2003 » utilisant une majuscule pour la variable « temps » cela peut créer une confusion pour les mouvements périodiques mais il ne semble pas possible de faire le changement en restant dans le logiciel.&lt;/ref&gt; et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la tension associée à l'élongation angulaire&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;Tracé des diagrammes horaires des positions angulaires à l'aide de « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; : on peut alors ouvrir chaque fichier à l'aide de {{Nobr|« Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;,}} on obtient un tableau donnant «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;», on modifie alors «&lt;math&gt;\;T\;&lt;/math&gt;» en «&lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Pour que cesse une confusion possible avec la période des oscillations.&lt;/ref&gt; et on crée la nouvelle variable «&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;» à partir de «&lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{V1}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant l'élongation angulaire du pendule exprimée en &lt;math&gt;\;\text{°}\big)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; En effet la tension &lt;math&gt;\;V1\;&lt;/math&gt; correspond à l'élongation angulaire &lt;math&gt;\;90\;\text{°}\;&lt;/math&gt; d'où la formule &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; puis on enregistre chaque fichier modifié au format « .rw3 ».
[[File:Pendule pesant non amorti - diagramme horaire de position angulaire.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides négligeables, d'une part, on ne fixe aucune plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition reste inférieure à celle de deux oscillations, les frottements solides quant à eux sont négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant non amorti - portrait de phase.png|thumb|450px|Portrait de phase d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de sa position d'équilibre {{Nobr|stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt;}} et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie {{Nobr|2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt;}} et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
[[File:Pendule pesant amorti - diagramme horaire de position angulaire - ter.png|thumb|450px|Diagramme horaire de position angulaire d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot;&gt; Pour rendre les frottements fluides notables, d'une part, on fixe une plaque sur le cylindre de plastique situé au-delà de &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du dispositif « Pendulor » et d'autre part, la durée d'acquisition doit correspondre à au moins une dizaine de pseudo-oscillations, les frottements solides quant à eux étant négligées sur cette durée d'expérience si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe reste libre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en lubrifiant par exemple&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et devenant notables si la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe est plus serrée &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}Dans la suite nous supposerons la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur l'axe suffisamment libre pour négliger les frottements solides.&lt;/ref&gt; écarté de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, l'acquisition, sur une durée permettant d'observer le début des pseudo-oscillations, ayant été faite par centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; et « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;]]
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;2,5\;s\;&lt;/math&gt; après avoir déterminé l'échelle de conversion des tensions en angles en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPNA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,50\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude «&lt;math&gt;\;\theta_m \simeq 69,2\;\text{°}\;&lt;/math&gt;» et bien que le tracé semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, sinusoïdal, on pourrait vérifier qu'il ne l'est pas tout en restant périodique &lt;ref&gt; Le caractère non sinusoïdal s'observant plus aisément sur la dérivée temporelle que sur la fonction, on peut calculer la vitesse angulaire à l'aide de « Regressi » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans le menu « Grandeurs » du fichier, après avoir sélectionné « Tableau », cliquer sur « ajouter (une colonne) » puis sélectionner « dérivée » en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Sinusoïde », vous verrez alors la différence entre le diagramme horaire de la vitesse angulaire du P.P.N.A. &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dont les différents points successifs ne sont pas reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et une sinusoïde &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;correspondant au modèle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; plus nettement que dans le cas de son diagramme horaire de position angulaire &lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot;&gt; Une idée de la différence a été vue dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Résolution_numérique_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_avec_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position,_de_vitesse_et_du_portrait_de_phase_correspondant|résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” avec tracé des diagrammes horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », les résultats étant indépendants du caractère « simple » du [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]], toutefois l'observation expérimentale est moins prononcée que celle résultant de la résolution numérique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPNA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPNA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une amplitude &lt;math&gt;\simeq 230\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.N.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPNA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq +\dfrac{\pi}{3}\;rad \simeq 60\;\text{°}\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on trace le portrait de phase du P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre N.A. le P.P.&quot; /&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée », on obtient alors le portrait de phase ci-contre ; même si le tracé obtenu semble, à 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; vue, une ellipse, on pourrait vérifier qu'il n'en est rien, le portrait de phase restant néanmoins fermé &lt;ref name=&quot;comparaison expérience - résolution numérique&quot; /&gt;, ceci étant caractéristique d'un mouvement périodique &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;
&lt;br&gt;
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de position angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ayant écarté le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad \;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;raison d'une faible élongation angulaire initiale&quot;&gt; On diminue l'élongation angulaire initiale pour que le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par frottements fluides&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; soit assimilable à un oscillateur harmonique amorti et que la pseudo-amplitude d'oscillation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de façon exponentielle.&lt;/ref&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et l'ayant lâché sans vitesse initiale, nous lançons l'acquisition à l'aide de « Synchronie 2003 » &lt;ref name=&quot;Synchronie 2003&quot; /&gt; sur une durée de &lt;math&gt;\;12\;s&lt;/math&gt;, après avoir vérifié que l'échelle de conversion des tensions en angles reste inchangée en mesurant &lt;math&gt;\;V1 = 6,06\;V\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta = EAO \times \dfrac{90}{6,06} \simeq 14,85\;EAO\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\;\big(\theta\;&lt;/math&gt; étant en &lt;math&gt;\;\text{°}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;EAO\;&lt;/math&gt; en &lt;math&gt;\;V\big)&lt;/math&gt;, enregistrons l'acquisition dans un fichier nommé « PPA_t_theta.txt », l'ouvrons dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt;, le transformons comme indiqué ci-dessus et sauvons le résultat dans un fichier nommé « PPA_t_theta.rw3 », le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; obtenu par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; étant présenté ci-contre : &lt;br&gt;{{Al|3}}on y détermine une pseudo-période de «&lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,49\;s\;&lt;/math&gt;» avec une amplitude de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-oscillation «&lt;math&gt;\;\theta_{m,\,1} \simeq 10,1\;\text{°}\;&lt;/math&gt;», la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; de la pseudo-amplitude étant exponentielle &lt;ref&gt; En fait pour vérifier qu'elle est effectivement exponentielle il faudrait &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; le nombre de pseudo-oscillations, n'observant que le début de la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; elle se confond avec une &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; linéaire &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il est aussi possible de vérifier la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude d'oscillation à l'aide de « Regressi », pour cela suivre le mode opératoire suivant : &lt;br&gt;{{Al|3}}le fichier « PPA_t_theta.rw3 » étant ouvert dans « Regressi », allez dans le menu « Graphe » du fichier, sélectionnez le tracé de l'élongation angulaire en fonction du temps, puis cliquez sur « Modèles &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Autres &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Oscillations &lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; Amorties (période) », vous observerez alors le tracé de l'amortissement exponentiel.&lt;/ref&gt; on peut définir le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot;&gt; Voir la question « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Définition_du_décrément_logarithmique_et_établissement_de_son_expression_en_fonction_du_facteur_de_qualité|définition du décrément logarithmique et établissement de son expression en fonction du facteur de qualité]] » de l'exercice « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Exercices/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#Décrément_logarithmique_d'un_P.E.V.A._et_détermination_du_cœfficient_de_frottement_fluide_entre_le_solide_et_le_fluide_dans_lequel_le_premier_se_déplace|décrément logarithmique d'un P.E.V.A. et détermination du cœfficient de frottement fluide entre le solide et le fluide dans lequel le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; se déplace]] » de la série chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; dont la valeur est «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,112\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;13,3\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Diagramme horaire de vitesse angulaire du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : ouvrant le fichier « PPA_t_theta.rw3 » dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°} \simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, nous évaluons la vitesse angulaire par « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; selon le mode opératoire décrit ci-après « dans le menu “Grandeurs” du fichier, sélectionner “Tableau”, cliquer sur “ajouter (une colonne)” puis sélectionner “dérivée” en renseignant tout ce qui est demandé, une fois la colonne de vitesse angulaire établie aller dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner le tracé de la vitesse angulaire en fonction du temps, on visualise alors le diagramme horaire de vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, terminer en faisant la sauvegarde du fichier sous le nom “PPA_t_theta_omega.rw3” » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni, il est légèrement triangularisé avec une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude &lt;math&gt;\simeq 40\,\text{°} \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt;.
* &lt;u&gt;Portrait de phase du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; : à partir du fichier « PPA_t_theta_omega.rw3 » ouvert dans « Regressi » &lt;ref name=&quot;Regressi&quot; /&gt; correspondant à l'acquisition des positions angulaires du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; écarté de &lt;math&gt;\;\theta_0 \simeq 10\;\text{°}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq +\dfrac{\pi}{18}\;rad\;&lt;/math&gt; de sa position d'équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et lâché sans vitesse initiale, à laquelle a été ajoutée l'évaluation de la vitesse angulaire correspondant aux différents instants de l'acquisition, on peut visualiser le portrait de phase du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans que les différents points successifs ne soient reliés&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; selon le mode opératoire suivant « dans le menu “Graphe” du fichier, sélectionner l'élongation angulaire comme abscisse et la vitesse angulaire comme ordonnée » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tracé non fourni à allure de « patatoïde » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;car les points ne sont pas reliés, la théorie conduisant à un portrait de phase spiralant en direction du point asymptote &lt;math&gt;\;\left\lbrace 0\,,\,0 \right\rbrace\big)\big]&lt;/math&gt;.

=== Mise en évidence de l’amortissement du P.P. ===

{{Al|5}}On observe pratiquement un amortissement exponentiel dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_pilotée_par_l’interface_python|utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 pilotée par l'interface python]] » plus haut dans ce chapitre bien que l'amplitude initiale d'oscillations ne soit pas petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;elle vaut en effet &lt;math&gt;\;\simeq 1,5\;rad \simeq 86\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, la pseudo-période valant &lt;math&gt;\;\mathcal{T} \simeq 1,19\;s\;&lt;/math&gt; et, en supposant que la pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentiellement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot;&gt; Ce qui sera établi dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Absence_de_solution_analytique_dans_le_cas_général_d’amplitudes_initiales_non_petites|absence de solution analytique dans le cas général d'amplitudes initiales non petites]] (d'un P.P.A., approximation des petites élongations angulaires) » plus loin dans le chapitre dans les conditions de faibles valeurs absolues d'élongation angulaire mais qui ne l'est plus algébriquement dès que celles-ci peuvent devenir grandes &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;toutefois nous supposerons que cela reste plus ou moins exact numériquement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le décrément logarithmique &lt;ref name=&quot;décrément logarithmique&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + \mathcal{T})} \right] = \dfrac{1}{n}\;\ln\! \left[ \dfrac{\theta(t)}{\theta(t + n\;\mathcal{T})} \right]\;&lt;/math&gt; est estimée à «&lt;math&gt;\;\delta \simeq 0,15\;&lt;/math&gt;» d'où l'évaluation de la constante de temps d'amortissement &lt;math&gt;\;\tau = \dfrac{\mathcal{T}}{\delta} \simeq 7,9\;s&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\bigg[&lt;/math&gt;ceci, dans la mesure où la « pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\exp\! \left( - \dfrac{t}{\tau} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\delta = \dfrac{\mathcal{T}}{\tau}\bigg]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Dans le diagramme horaire de position angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;rendre A. le P.P.&quot; /&gt; du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Autre_utilisation_de_la_centrale_de_conversion_Eurosmart_SysamSP5_associée_aux_logiciels_«_Synchronie_2003_»_et_«_Regressi_»|autre utilisation de la centrale de conversion Eurosmart SysamSP5 associée aux logiciels “Synchronie 2003” et “Regressi”]] » plus haut dans ce chapitre, la &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; exponentielle de la pseudo-amplitude est établie algébriquement &lt;ref name=&quot;décroissance exponentielle approximative dans le cas des pseudo-amplitudes non petites&quot; /&gt; car cette dernière reste petite &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; pseudo-amplitude valant &lt;math&gt;\;10,1\;\text{°}\big)&lt;/math&gt;, revoir l'étude dans le paragraphe précité &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== En complément : équation différentielle du mouvement du pendule pesant amorti (à un degré de liberté) ==

=== C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté ===

{{Al|5}}Le [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;P.P.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; devient « amorti &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;A.&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» s’il est soumis &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en plus de son poids et des actions de la liaison en &lt;math&gt;\;O\big)\;&lt;/math&gt; à des forces de frottements fluides linéaires, les frottements solides étant toujours considérés comme inexistants :

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, celle-ci imposant un seul degré de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement peuvent être quelconques &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;toutefois la liaison n'autorise qu'une vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe de la liaison&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

* si la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; pour laquelle existent trois degrés de liberté de rotation, les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement sont les mêmes que celles d'un P.P.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.N.A.&quot; /&gt; permettant à ce dernier d'avoir un mouvement dans un plan fixe à savoir : &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche avec une vitesse initiale de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; située dans le plan vertical contenant &lt;math&gt;\;O\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : dans le cas où la liaison est une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, les C.I. de lancement sont aussi les «&lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] imposant que le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; ne peut être lancé que dans un plan transversal à la liaison &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Dans le cas d’une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A. ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures.png|thumb|360px|Schéma d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec ajout des actions extérieures, repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}\;&lt;/math&gt; vertical descendant du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du pendule, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}La démonstration est analogue à celle exposée pour établir la nature plane du mouvement du P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]] Amorti.&lt;/ref&gt; lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;1a\;&lt;/math&gt;» ou {{Nobr|«&lt;math&gt;\;1b\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot;&gt; Voir les C.I. de lancement du P.P.S.(N.A.) pour que le mouvement de ce dernier soit à un degré de liberté dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Conditions_initiales_(C.I.)_de_lancement_«_1a_»_ou_«_1b_»_induisant_un_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|conditions initiales (C.I.) de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;}} dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_P.P.S.A._lancé_dans_les_C.I._«_1a_»_ou_«_1b_»|en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. “1a” ou “1b”]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », toutefois, nécessitant de légères modifications, elle est exposée ci-dessous :

{{Al|5}}les actions extérieures exercées sur le pendule sont &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment vectoriel par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment vectoriel du poids&quot;&gt; Revoir l'établissement de cette expression dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt;, 
* les actions de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] en &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; se réduisant à « la réaction &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_{\varphi_G}(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;existence des trois composantes de la réaction - bis&quot;&gt; Les trois composantes existent a priori si le pendule est lancé avec une vitesse initiale non contenue dans le plan vertical de lancement ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si les C.I. de lancement du pendule sont celles décrites au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#C.I._de_lancement_pour_que_le_mouvement_du_P.P.A._soit_à_un_degré_de_liberté|C.I. de lancement pour que le mouvement du P.P.A. soit à un degré de liberté]] (dans le cas d'une [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]]) » plus haut dans ce chapitre, la composante de la réaction sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt; est nulle c.-à-d. &lt;math&gt;\;R_{\varphi_G}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, en effet &lt;br&gt;{{Al|3}}une composante de réaction suivant une direction existe pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;« le système des forces de frottement fluide » étant une réaction &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; dont la composante suivant chaque direction ne peut exister que pour s’opposer &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou limiter&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; une action suivant la direction considérée &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; n'est donc pas à comptabiliser parmi les actions extérieures motrices&lt;math&gt;\big]\big\}\;&lt;/math&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|une composante de réaction suivant une direction existe }}si un mouvement existe suivant la direction considérée à l'instant &lt;math&gt;\;0&lt;/math&gt;, mouvement selon cette direction qui se poursuit en étant modifié par l'action &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ce qui est le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, la seule action extérieure motrice « le poids » étant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et la vitesse initiale de lancement &lt;math&gt;\;\vec{V}_G(0) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Vert \vec{V}_G(0) \Vert \left[ \cos(\theta_0)\;\vec{u}_{\rho_G}(0) - \sin(\theta_0)\;\vec{u}_z \right]\;&lt;/math&gt; ayant deux composantes suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}(0)\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_z&lt;/math&gt;, mais &lt;u&gt;n'est pas le cas de la composante de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;suivant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement par absence simultanée de composante d'action et de vitesse à un instant juste antérieur &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement, il n'y a pas de vitesse initiale mais le mouvement démarrant suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; entraîne un mouvement suivant &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; de façon à ce que la distance &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; reste constante&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}Bien que le raisonnement précédent suffise à affirmer que &lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_{\rho_G}(t)\;\vec{u}_{\rho_G}(t) + R_z(t)\;\vec{u}_z&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; de lancement du pendule, il est intéressant de vérifier que, de cette expression, nous pouvons effectivement déduire, par utilisation d'un théorème de dynamique newtonienne dans le référentiel d'étude galiléen, que le mouvement du C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; se fait bien dans le plan vertical de lancement &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; appliquée en {{Nobr|&lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt;»}} de vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = \vec{0}\;&lt;/math&gt;» et
* les actions des « forces de frottement fluide » supposées « linéaires » &lt;ref&gt; Bien que les conditions de frottement fluide linéaire vues dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#En_complément,_condition_de_vitesse_relativement_aux_dimensions_du_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_translation_dans_un_fluide_immobile_et_relativement_à_la_nature_de_ce_dernier_pour_une_forme_linéaire_ou_quadratique_de_frottement_fluide|en complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » et appliquées aux mouvements d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] nécessiteraient une forme quadratique de résistance à l'avancement du P.P. dans son environnement fluide pour coller de plus près à la réalité, nous faisons l'hypothèse d'une forme linéaire, celle-ci n'induisant qu'une faible erreur de traitement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et conduisant à une solution analytique dans le cas des faibles valeurs absolues d'élongations angulaires&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; : un pseudo point centré en &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de la surface latérale &lt;ref name=&quot;pseudo point d'une expansion surfacique&quot;&gt; Un pseudo point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\;\left( S \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\;d S_M&lt;/math&gt;, en translation dans le référentiel &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; à la vitesse à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; du front du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de maître couple d'aire &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;maître couple&quot;&gt; Le maître couple est fait défini pour un objet &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; en translation, c'est la projection orthogonale de l'objet sur un plan transverse c.-à-d. sur un plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_{(\mathcal {S})}(t)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}quand le mouvement est quelconque on peut définir un maître couple pour chaque pseudo-point &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; de la surface latérale du front de l'objet défini comme la projection orthogonale de ce dernier sur le plan localement transverse c.-à-d. sur le plan &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec {V}_M(t)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt; étant l'aire du maître couple de &lt;math&gt;\;(M,\,dS)\;&lt;/math&gt; du plan localement transverse est aussi la projection orthogonale de &lt;math&gt;\;dS\;&lt;/math&gt; sur ce plan.&lt;/ref&gt; subissant une force de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -h\;\vec{V}_M\;\dfrac{{dS'}_{\!\!M}}{S'}\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;S' =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} {dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est l'aire du maître couple du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;en toute rigueur le front de la surface latérale dépend du sens de déplacement du pendule et par suite &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; en dépendent, nous supposerons néanmoins, pour simplifier l'étude, qu'il n'en est rien &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot;&gt; Par exemple en supposant que le pendule, dans sa position initiale de lancement, est géométriquement symétrique relativement au plan contenant &lt;math&gt;\;OG\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical de lancement.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;h\;&lt;/math&gt;» étant une constante positive &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;exprimée en &lt;math&gt;\;kg \cdot s^{-1}\big)\;&lt;/math&gt; caractérisant le frottement linéaire et dépendant de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;ref name=&quot;viscosité dynamique&quot;&gt; La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} qu'il « collera » au plan&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}si on considère maintenant le fluide visqueux d'épaisseur &lt;math&gt;\;e\;&lt;/math&gt; non petite se déplaçant sur le plan immobile par entrainement de sa couche supérieure &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;cette couche supérieure étant entraînée par ce qu'il y a au-dessus, par exemple le vent sur un cours d'eau ou un plan mobile sur de l'huile&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la vitesse en son sein varie suivant l'altitude &lt;math&gt;\;z\;&lt;/math&gt; car la couche inférieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_i = 0\;&lt;/math&gt; tend à avoir la même vitesse que le plan sur lequel elle repose alors que la couche supérieure à l'altitude &lt;math&gt;\;z_s = e &gt; 0\;&lt;/math&gt; a la même vitesse que l'objet qui l'entraîne : une couche intermédiaire de fluide de faible épaisseur à l'altitude &lt;math&gt;\;z \in \left] 0\,,\, e \right[\;&lt;/math&gt; va donc subir deux forces de contact, celle de la couche immédiatement supérieure d'altitude &lt;math&gt;\;z^{+}\;&lt;/math&gt; qui va plus vite qu'elle et tend à l'entraîner et celle de la couche immédiatement inférieure  d'altitude &lt;math&gt;\;z^{-}\;&lt;/math&gt; qui va moins vite qu'elle et tend à la ralentir, on parlera de forces de cisaillement car les deux forces agissent en sens contraires ; on établit que la [[w:Contrainte_de_cisaillement|contrainte de cisaillement]] {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d.}} la norme commune des forces tangentielles de cisaillement rapportée à l'unité de surface des couches en regard&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; que l'on notera &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{+}}}{d \Sigma} \bigg\Vert = \bigg\Vert \dfrac{d \vec{f}_{z\,\leftarrow\,z^{-}}}{d \Sigma} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; s'exprimant en &lt;math&gt;\;Pa&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;d \Sigma\;&lt;/math&gt; étant l'aire élémentaire commune des couches en regard, est liée à la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide par &lt;math&gt;\;\tau_{\text{cis}} = \eta_{\text{flu}}\; \bigg\Vert \dfrac{d \vec{V}_{\text{couche}_z}}{d z} \bigg\Vert\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\vec{V}_{\text{couche}_z}\;&lt;/math&gt; le vecteur vitesse de translation de la couche d'altitude &lt;math&gt;\;z&lt;/math&gt;, ceci impliquant que la viscosité dynamique &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide s'exprime en &lt;math&gt;\;Pa \cdot s\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;encore appelé « poiseuille » de symbole &lt;math&gt;\;Pl&lt;/math&gt;, ce nom ayant été donné en hommage à '''[[w:Jean-Léonard-Marie_Poiseuille|Jean-Léonard-Marie Poiseuille]] (1797 - 1869)''' physicien et médecin français pour son étude de l'écoulement du sang dans les vaisseaux et la généralisation de celle-ci aux [[w:Écoulement_laminaire|écoulements laminaires]] des fluides visqueux dans les tuyaux cylindriques&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}c'est aussi ce qu'on observe lors de la circulation d'un fluide dans une conduite, les molécules de fluide au contact de la conduite tendant à rester immobiles alors que celles sur l'axe de la conduite {{Nobr|&lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d.}} les molécules les plus éloignées des parois de la conduite&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; ont la vitesse maximale &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|3}}on définit aussi une autre viscosité appelée [[w:Viscosité_cinématique|viscosité cinématique]] notée &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; qui dépend de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] &lt;math&gt;\;\eta_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; du fluide ainsi que de sa masse volumique &lt;math&gt;\;\mu_{\text{flu}}\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\nu_{\text{flu}} = \dfrac{\eta_{\text{flu}}}{\mu_{\text{flu}}}\;&lt;/math&gt; s'exprimant donc en &lt;math&gt;\;m^2 \cdot s^{-1}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;mais cette unité étant relativement grande on en a introduit une mieux adaptée le « stokes » de symbole &lt;math&gt;\;St\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;1\,St = 10^{-4}\,m^2 \cdot s^{-1}\big]&lt;/math&gt; ; '''[[w:George_Gabriel_Stokes|George Gabriel Stokes]] (1819 - 1903)''' est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et aussi l'explication du phénomène de fluorescence.&lt;/ref&gt; et de la densité du fluide &lt;ref name=&quot;influence de la densité du fluide sur les frottements fluides&quot;&gt; Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; que dans l'atmosphère proche du sol.&lt;/ref&gt; ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels », on en déduit la résultante des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{d \mathcal{R}}_{dS,\,\text{flu}}(M) = -\dfrac{h}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt; ou, en définissant &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt;, point solidaire du pendule, selon «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} =
 \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \overrightarrow{OM}\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot;&gt; Supposant, pour simplifier l'étude, que la forme du front de la surface latérale ne dépend pas du sens de déplacement du pendule et donc que &lt;math&gt;\;{dS'}_{\!M}\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;S'\;&lt;/math&gt; n'en dépend pas non plus, l'intégrale de définition de &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; est la même pour les deux sens de déplacement du pendule.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;positionnement relatif de I par rapport à G&quot;&gt; Compte-tenu des définitions de &lt;math&gt;\;I&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui ne dépend que du positionnement des maîtres couples locaux sans influence des masses&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et de &lt;math&gt;\;G&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;qui dépend de la répartition des masses en volume&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt;»}} n’est en général pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; et en dérivant par rapport au temps «&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t) = \dfrac{1}{S'}\! \displaystyle\iint\limits_{S_{\text{lat. front}}} \vec{V}_{\!M}(t)\;{dS'}_{\!\!M}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;intégrale surfacique&quot; /&gt;, la résultante des forces de frottement fluide peut se réécrire {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot;&gt; Même si &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; n’est pas dans le plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sont des points liés au solide tournant autour de son point fixe &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et on en déduit «&lt;math&gt;\;\vec{V}_G(t) = \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OG}(t)\;&lt;/math&gt;» ainsi que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{V}_I(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \vec{\Omega}(t) \wedge \overrightarrow{OI}(t)\;&lt;/math&gt;» où «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur rotation instantanée &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;,}} résultante s’appliquant en «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\notin\;&lt;/math&gt; a priori au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot;&gt; Toutefois la seule action extérieure motrice étant le poids, lequel n'a pas de composante hors du plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; et en absence de vitesse initiale de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; hors de ce plan, la résultante des forces de frottement fluide ne peut avoir de composante hors de ce plan et comme celle-ci est &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\vec{V}_I&lt;/math&gt;, on en déduit que le vecteur vitesse &lt;math&gt;\;\vec{V}_I\;&lt;/math&gt; doit être &lt;math&gt;\;\parallel\;&lt;/math&gt; à ce plan et par suite que l'éventuelle composante de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; hors de ce plan devant être constante pour chaque sens de déplacement du pendule est finalement nulle si on suppose que le pendule est géométriquement symétrique relativement à ce plan, on peut donc aisément supposer que «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant comme &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; solidaires du pendule, l'angle &lt;math&gt;\;\theta_I\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI}\;&lt;/math&gt; avec la verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; est lié de façon unique à l'angle &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; que fait &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt; avec cette même verticale descendante passant par &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, le lien le plus simple est de supposer que &lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt; et c'est l'hypothèse que nous admettrons &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais en fait tout dépend du lien existant entre la répartition des masses dans le pendule et celle des maîtres couples locaux&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, pour simplifier on a donc représenté &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}on en déduit le vecteur moment par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; des forces de frottement fluide «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = \overrightarrow{OI} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\overrightarrow{OI} \wedge \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteurs vitesse des points liés au pendule&quot; /&gt; soit, en utilisant une formule du double produit vectoriel &lt;ref name=&quot;formules du double produit vectoriel&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Formules_du_double_produit_vectoriel|formules du double produit vectoriel]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », la formule utilisée étant «&lt;math&gt;\;\vec{u} \wedge \left( \vec{v} \wedge \vec{w} \right) = \left( \vec{u} \cdot \vec{w} \right) \vec{v} - \left( \vec{u} \cdot \vec{v} \right) \vec{w}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -h \left[ \overrightarrow{OI}^2\;\vec{\Omega} - \left( \overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} \right) \overrightarrow{OI} \right]\;&lt;/math&gt;» ; sachant qu'avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement «&lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\in\;&lt;/math&gt; au plan vertical contenant &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'une part et en faisant l'hypothèse que «&lt;math&gt;\;\theta_I = \theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt; d'autre part, on peut réécrire le vecteur rotation instantanée sous la forme unique «&lt;math&gt;\;\vec{\Omega} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» et, avec «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} = r_I\;\vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt;», expliciter «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{OI} \cdot \vec{\Omega} = \cancel{r_I\;\dot{\theta}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} \right) +}\; r_I\;\dot{\varphi}_G \left( \vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z \right) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;r_I\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la base sphérique &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_G}\,,\,\vec{u}_{\theta_G}\,,\,\vec{u}_{\varphi_G} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant orthonormée directe &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. utilisant, dans un espace orienté à droite &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir l'« introduction du paragraphe [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Produit_vectoriel_de_deux_vecteurs|produit vectoriel de deux vecteurs]] (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, la règle de la main droite, voir la description et d'autres règles identiques dans la note « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#cite_note-règle_de_la_main_droite-12|&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt; on a «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_{\varphi_G} = 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et d'autre part «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} \cdot \vec{u}_z = \cos(\theta_G)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; étant l'angle entre &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;angle &lt;math&gt;\;\geqslant 0&lt;/math&gt;, les angles du plan méridien étant orientés par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; selon la règle du tire-bouchon de Maxwell &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;tire-bouchon pour droitier, plaçant un bouchon en un point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de l'espace et tournant le tire-bouchon de façon à ce qu'il s'enfonce dans le bouchon, l'orientation est donnée par les sens associés de rotation et de translation au point &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, elle est dite « à droite » parce qu'il faut tourner vers la droite pour que le tire-bouchon s'enfonce dans le bouchon&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:James_Clerk_Maxwell|James Clerk Maxwell]] (1831 - 1879)''' physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.&lt;/ref&gt;, on obtient «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}} = -h \left\lbrace r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] - r_I^2\;\dot{\varphi}_G\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} \right\rbrace = -h\;r_I^2 \left\lbrace \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G \left[ \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt; se réécrit en base cylindro-polaire liée à &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{u}_z - \cos(\theta_G)\;\vec{u}_{r_G} = \left[ 1 - \cos^2(\theta_G) \right] \vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G} = \sin^2(\theta_G)\;\vec{u}_z - \sin(\theta_G)\;\cos(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}\;&lt;/math&gt; soit l'expression finale donnée.&lt;/ref&gt; ou encore, en posant «&lt;math&gt;\;H = h\,r_I^2\;&lt;/math&gt;», &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)
 = -H\; \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}(t) - H\; \dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \sin^2\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_z - \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\cos\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\rho_G}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : le théorème du mouvement du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; appliqué au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} + \vec{R}(t) + \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = m\;\vec{a}_G(t)\;\; (\mathfrak{2})\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; dans le plan &lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_{\rho_G}\,,\, \vec {u}_z \right)\;&lt;/math&gt;» d'une part ainsi que «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} = -h\;\vec{V}_I =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h \left[ \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OI} \right] = -h \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} + \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \right] \wedge r_I\;\vec{u}_{r_G} = -h\;r_I \left[ \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} + \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriétés]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; d'où la réécriture du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; selon &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\varphi_G} \wedge \vec{u}_{r_G} = \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G}&lt;/math&gt;, celle du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;après la même mise en facteur par &lt;math&gt;\;-h\;r_I\big)\;&lt;/math&gt; donnant &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{r_G}\;&lt;/math&gt; ou, avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_G} = \cos(\theta_G)\;\vec{u}_z + \sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\rho_G}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_z \wedge \vec{u}_{\rho_G} = \dot{\varphi}_G\;\sin(\theta_G)\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-h\;r_I\; \dot{\theta}_G\;\vec{u}_{\theta_G} - h\;\rho_I\; \dot{\varphi}_G\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_I\;\sin(\theta_G) = \rho_I\;&lt;/math&gt;» d'autre part, d'où, en projetant sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}&lt;/math&gt;, l'équation suivante «&lt;math&gt;\;0 + 0 - h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;a_{\varphi_G,\,G}(t)\;&lt;/math&gt;» ou, à l'aide de la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale en repérage cylindro-polaire «&lt;math&gt;\;a_{\varphi_G,\,G}(t) = \dfrac{1}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;forme semi intégrée de l'accélération orthoradiale&quot; /&gt; dont la validité suppose «&lt;math&gt;\;\rho_G \neq 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}«&lt;math&gt;\;- h\;\rho_I(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = \dfrac{m}{\rho_G(t)}\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;\rho_I(t) = \dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant solidaires du pendule leur disposition à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; reste la même que celle à l'instant initial.&lt;/ref&gt; soit encore, en multipliant les deux membres par &lt;math&gt;\;\rho_G(t) \neq 0,\;\;\forall\;t&lt;/math&gt;, la réécriture de l'équation selon &lt;math&gt;\;-h\;\dfrac{r_I}{\mathfrak{a}}\;\rho_G^2(t)\; \dot{\varphi}_G(t) = m\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement l'équation différentielle suivante &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dfrac{d\! \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right]}{dt}(t) + \dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}} \left[ \rho_G^2\,\dot{\varphi_G} \right](t) = 0\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}^{+} \setminus \left\lbrace t_{\text{éq stable}} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;»,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}qui s'intègre, sur chaque intervalle continu de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt;, en «&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; La constante d'intégration &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; dépendant a priori de l'intervalle continu de temps sur lequel se fait l'intégration ; &lt;br /&gt;{{Al|3}}a priori il y aurait autant de constantes d'intégration qu'il y a d'intervalles continus de temps ne contenant pas de valeurs &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}\;&lt;/math&gt; mais toutes ces constantes vont être égales d'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_longueurs-20|&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]] », « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-continuité_des_vitesses-21|&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#cite_note-constantes_d'intégration_toutes_égales-22|&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}dont on peut prolonger le résultat aux valeurs discrètes &lt;math&gt;\;t_{\text{éq stable}}&lt;/math&gt; compte-tenu de la continuité des grandeurs &lt;math&gt;\;\rho_G(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des longueurs&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;continuité des vitesses&quot; /&gt; pour tout &lt;math&gt;\;t \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, ce qui entraîne la continuité de &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;constantes d'intégration toutes égales&quot; /&gt; soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}on détermine la constante &lt;math&gt;\;A\;&lt;/math&gt; par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = 0\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction de l'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit finalement &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Démonstration de la nature plane du mouvement de&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;dans les&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;de lancement&lt;/u&gt; : aucune modification avant l'intervention des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\rho^2(t)\,\dot{\varphi}(t) = A\;\exp\! \left( -\dfrac{h\;r_I}{m\;\mathfrak{a}}\;t\right)\!,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;» comme précédemment, la constante d'intégration se déterminant par utilisation partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{l} \theta_G(0) = \theta_0\;&amp;\text{et }&amp;\varphi_G(0) = 0\\ \dot{\theta_G}(0) = \dfrac{V_0}{\mathfrak{a}}\;&amp;\text{et }&amp;\dot{\varphi_G}(0) = 0\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;demi-plan méridien de référence&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;traduction d'une vitesse initiale V0&quot; /&gt; soit, avec «&lt;math&gt;\;\rho_G(t) = \mathfrak{a}\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;&lt;/math&gt;», la réécriture partielle des C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a}^2\;\sin^2(\theta_0)\;\dot{\varphi_G}(0) = A\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;0 = A\;&lt;/math&gt;» et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\,\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}en simplifiant par &lt;math&gt;\;\rho_G^2(t)\;&lt;/math&gt; non identiquement nul, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{\varphi_G}(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;/center&gt;
{{Al|5}}{{Transparent|Démonstration de la nature plane du mouvement de &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; dans les &lt;math&gt;\;\color{transparent}{\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)}\;&lt;/math&gt; de lancement : }}après intégration «&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = cste',\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», valeur de &lt;math&gt;\;cste'\;&lt;/math&gt; déterminée par C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\varphi_G(0) = 0&lt;/math&gt;, soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\varphi_G(t) = 0,\;\;\forall\;t \in \mathbb{R}^{+}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;c.-à-d. la nature &lt;u&gt;plane&lt;/u&gt; du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; dans le plan de lancement.&lt;/center&gt;
=== Dans le cas d’une « liaison pivot » ou d’une « liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b) », nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

[[File:Pendule pesant amorti à un degré de liberté - forces extérieures - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de liberté, repérage polaire de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; et représentation des forces extérieures, &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; étant le point où la résultante des forces de frottement fluide peut être appliquée]]
{{Al|5}}Avec les deux types de liaison, « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ayant un mouvement de rotation autour d’un axe horizontal fixe noté &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et orienté par «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;identification de l'axe dans le cas d'une liaison sphérique&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}on repère le C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans le plan vertical du mouvement &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt; unitaire vertical descendant, &lt;math&gt;\;\vec{u}_x\;&lt;/math&gt; unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; vecteur unitaire horizontal &lt;math&gt;\;\vec{u}_y = \vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; tels que la base cartésienne «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_x\,,\, \vec{u}_{\Delta_O} \right)\;&lt;/math&gt; soit directe » &lt;ref name=&quot;base directe d'un espace orienté à droite&quot; /&gt;, l'espace physique étant orienté à droite &lt;ref name=&quot;orienté à droite&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|on repère le C.D.I. &lt;math&gt;\;\color{transparent}{G}\;&lt;/math&gt; du P.P.A. }}par ses coordonnées polaires de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; soit, avec la base polaire liée au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; dans ce plan &lt;math&gt;\;zOx&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;simplification de notation de base polaire&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\left\lbrace r_G = \mathfrak{a}\,,\, \theta_G = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\overrightarrow{OG} \right)} = \widehat{\left( \vec{u}_z\,,\,\vec{u}_r \right)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression du vecteur position de G&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;abscisse angulaire du C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; noté {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt;»}} par la suite en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; est aussi le paramètre de position angulaire utilisé pour repérer le mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ici nous considérons que le front de la surface latérale du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; ne dépend pas du sens de déplacement de ce dernier &lt;ref name=&quot;front de surface latérale indépendante du sens de déplacement&quot; /&gt; et par suite que le point d'application &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; de la résultante des forces de frottement fluide n'en dépend pas non plus &lt;ref name=&quot;unicité de I&quot; /&gt; en étant, d'une part, « dans le plan vertical du mouvement de &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt;» et, d'autre part, « sur le support de &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OG}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;justification de varphiI = varphiG et de l'hypothèse thetaI = thetaG&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; représentées sur le schéma ci-contre sont les seules dans l'hypothèse d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; avec C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)\;&lt;/math&gt;», mais &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les actions extérieures agissant sur le P.P.A. représentées sur le schéma ci-contre sont les seules }}dans celle d'une « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » il faudrait ajouter le couple de réaction du pivot de moment vectoriel &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} \;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle qu'un couple n'est pas représenté par son moment mais par le sens de rotation qu'il engendrerait s'il agissait seul en mettant, à côté de la flèche incurvée précisant le sens, le nom du vecteur moment du couple &lt;ref name=&quot;représentation d'un couple sur un schéma&quot; /&gt;, ici ce n'est pas fait car ce couple n'interviendra pas dans l'application du théorème de la dynamique permettant d'obtenir l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

=== Établissement de l’équation différentielle du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté ===

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant un axe fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, on peut appliquer au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté le théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, les actions extérieures s'exerçant sur le pendule étant :
* son poids «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;&lt;/math&gt;» de moment scalaire par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OG}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids - bis&quot;&gt; Le moment vectoriel du poids par rapport à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.(N.A.)|dans le cas d'une liaison sphérique et avec les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.(N.A.)]] » plus haut dans ce chapitre, soit «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\;\vec{u}_{\varphi_G}(t)\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifiant à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}&lt;/math&gt;. &lt;br&gt;{{Al|3}}On peut aussi déterminer directement le moment scalaire du poids, le schéma du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_«_liaison_pivot_»_ou_d’une_«_liaison_sphérique_avec_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b)_»,_nouveau_repérage_adapté_à_la_nature_rotatoire_du_mouvement_du_P.P.A._à_un_degré_de_liberté|dans le cas d'une liaison pivot ou d'une liaison sphérique avec C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), nouveau repérage adapté à la nature rotatoire du mouvement du P.P.A. à un degré de liberté]] » plus haut dans le chapitre étant fait avec le paramètre de position angulaire &lt;math&gt;\;\theta &gt; 0&lt;/math&gt;, on observe que le poids tend à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;-\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;distance orthogonale séparant l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; du support de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\big)\;&lt;/math&gt; égal à &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où, dans le cas où &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= - \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;le résultat est indépendant du signe de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en effet si le schéma était fait avec &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0&lt;/math&gt;, on observerait que le poids tendrait à faire tourner le pendule dans le sens &lt;math&gt;\;+\;&lt;/math&gt; avec un bras de levier &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = + \Vert m\;\vec{g} \Vert\; d = m\;g\;\left[ -\mathfrak{a}\; \sin(\theta) \right] = -m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;», soit effectivement le même résultat &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;avec toutefois une possibilité d'erreur si on oubliait que &lt;math&gt;\;\theta &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;d = \mathfrak{a}\; \vert \sin(\theta) \vert = -\mathfrak{a}\; \sin(\theta)\big]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;,
* la réaction du point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] sur le pendule lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{a} \right)\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\left( C.I.\; \mathfrak{b} \right)&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Transparent| la réaction }}de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] sur le pendule lancé avec n'importe quelles C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; compatibles avec la liaison, «&lt;math&gt;\;\vec{R}(t) = R_r(t)\;\vec{u}_r(t) + R_\theta(t)\;\vec{u}_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt; de moment scalaire «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire nul&quot; /&gt; auquel s'ajoute le couple de réaction du pivot de moment vectoriel  &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot}} = \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,r}}\;\vec{u}_r + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},\,\theta}}\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;réaction en O&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;moment scalaire d'un couple de moment vectoriel perpendiculaire à l'axe&quot; /&gt; et par suite de moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;»,}}
* la résultante des forces de frottement fluide linéaire «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) = -h\;\vec{V}_I(t)\;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I \left\lbrace \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\theta_G}(t)\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t)\;\sin\! \left[ \theta_G(t) \right]\, \vec{u}_{\varphi_G}(t)} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] (démonstration de la nature plane du mouvement de G dans les C.I. a de lancement) » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; dont le moment vectoriel évalué relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overrightarrow{OI}(t) \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}}_{\!\text{flu}}(t) \;\overset{\cdots}{\,=\,} -h\;r_I^2 \left[ \dot{\theta}_G(t)\;\vec{u}_{\varphi_G}\;\cancel{ +\;\dot{\varphi}_G(t) \left\lbrace \vec{u}_z - \cos\! \left[ \theta_G(t) \right] \vec{u}_{r_G}(t) \right\rbrace} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Dans_le_cas_d’une_liaison_sphérique_et_avec_les_C.I._de_lancement_(C.I._a)_ou_(C.I._b),_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement_du_C.D.I._G_du_P.P.A.|dans le cas d'une liaison sphérique et les C.I. de lancement (C.I. a) ou (C.I. b), établissement de la nature plane du mouvement du C.D.I. G du P.P.A.]] » plus haut dans le chapitre, expression dans laquelle on utilise &lt;math&gt;\;\dot{\varphi}_G = 0\;&lt;/math&gt; établie pour tout [[w:Pendule_pesant|pendule pesant]] amorti à un degré de rotation.&lt;/ref&gt; permet de déduire le moment scalaire relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sachant que &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\varphi_G}\;&lt;/math&gt; s'identifie à &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{flu}}(t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = -h\;r_I^2\;\dot{\theta}_G(t)\;&lt;/math&gt;» soit, en posant &lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2\;&lt;/math&gt; et en remplaçant &lt;math&gt;\;\theta_G\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; en absence d'ambigüité, «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = -H\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{R}(t) \right] + \overline{\Gamma_{\text{pendule}\,\leftarrow\,\text{pivot},}}_{\Delta_O} + \mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,\text{flu}}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie d'un solide par rapport à un axe&quot; /&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 - H\;\dot{\theta}(t) = J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|liaison sphérique]] » ou &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathfrak{a}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 + 0 - H\;\dot{\theta}(t)b= J_{\Delta_O}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; lié à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; par « [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] » ou encore,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot;&gt; Équation différentielle analogue à celle du P.P.S.(A.) « [[w:Pendule_simple[pendule pesant simple]] (amorti) » laquelle a été déterminée par application de la r.f.d.n. projetée sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du P.P.S.A.]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;
&lt;br&gt;{{Al|3}}ce n’est pas une surprise, le P.P.S.(A.) pouvant être considéré comme un cas particulier du P.P.(A.), dans le cas où le P.P.S.(A.) est construit à partir d’une tige rigide sans masse ou à partir d’un fil idéal restant tendu, &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;le moment d’inertie du P.P.S.(A.) relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant celui du point matériel &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; de masse &lt;math&gt;\;m\;&lt;/math&gt; situé à la distance &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O} = m\; \mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;», le C.D.I. &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; étant confondu avec &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \mathit{l}\;&lt;/math&gt;» et le point &lt;math&gt;\;I\;&lt;/math&gt; confondu avec &lt;math&gt;\;G\;&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;H = h\;r_I^2 = h\;\mathit{l}^{\,2}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.A. appliqué au P.P.S.A. s'écrit alors &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h\;\mathit{l}^{\,2}}{m\;\mathit{l}^{\,2}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathit{l}}{m\; \mathit{l}^{\,2}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt; {{Al|3}}ce qui donne bien, après simplification évidente, «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{h}{m}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme linéaire du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire amorti&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste pseudo-oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Absence de solution analytique dans le cas général d’amplitudes initiales non petites ===

{{Al|5}}Comme l’équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est de même nature que celle du « P.P.S.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.A.&quot; /&gt; » &lt;ref name=&quot;même équation que celle d'un P.P.S.A.&quot; /&gt;, on peut faire les mêmes commentaires &lt;ref name=&quot;absence de solution analytique pour le P.P.S.A.&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_mise_en_équation_du_«_P.P.S.A._»|en complément, mise en équation du “P.P.S.A.”]] (absence de solution analytique) » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, rappelés ci-après :

{{Al|5}}l’équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 f}{dx^2}(x) + k\;\sin\! \left[ f(x) \right] = 0\;&lt;/math&gt; n'ayant pas de solution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt;, l'ajout d’un terme supplémentaire d’amortissement du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre dans une telle équation différentielle ne peut pas rendre cette dernière soluble analytiquement, on conclut donc à &lt;center&gt;l’&lt;u&gt;absence de résolution analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; exacte de l’équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt;,&lt;/center&gt; 
{{Al|5}}la seule possibilité est une résolution approchée 
* analytique &lt;ref name=&quot;analytique&quot; /&gt; dans le cas d’« élongations angulaires petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir ci-dessous à la fin de ce paragraphe&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ou
* numérique dans le cas général d’« élongations angulaires non petites &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;résolution analogue à celle présentée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, résolution numérique de l'équation différentielle d'un P.P.S. dans les C.I. 1a puis 1b, tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » nécessitant néanmoins d'ajouter le terme d'amortissement&lt;math&gt;\;\ldots\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; &lt;u&gt;dans le cas des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; : Le plus simple pour être dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; est de lancer le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; avec les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; de lancement particulières &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;que la liaison avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; soit [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] &lt;ref name=&quot;liaison sphérique&quot; /&gt; ou [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; suivantes :

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}« on écarte le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; de sa position d’équilibre stable &lt;ref name=&quot;équilibre stable&quot; /&gt; et on le lâche sans vitesse initiale &lt;ref name=&quot;(C.I.a)&quot; /&gt; » en supposant l’abscisse angulaire initiale &lt;math&gt;\;\theta_0\;&lt;/math&gt; de valeur absolue petite c.-à-d. &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert \ll 1\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt;, l'absence de vitesse angulaire initiale &lt;ref name=&quot;signification d'absence de vitesse initiale&quot; /&gt; assurant que « la valeur absolue de l'élongation angulaire ne dépassera pas &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;nature pseudo-oscillatoire de petite amplitude initiale&quot;&gt; La démonstration de la nature pseudo-oscillatoire de pseudo-amplitude &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; à partir de &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; que le P.P. soit en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_rotule,_sphérique_ou_sphère/sphère|sphérique]] avec &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; ou en liaison [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] avec &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; lancé sans vitesse initiale &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec &lt;math&gt;\;\vert \theta_0 \vert\;&lt;/math&gt; non nécessairement petit&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; est analogue à celle exposée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_«_P.P.S._lancé_dans_les_C.I._(1b_U_1a)_»|exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté “P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a)”]] (remarque) » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; et restera petite soit «&lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll 1\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; » ;

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}dans le cadre des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; on a &lt;math&gt;\;\vert \theta(t) \vert \ll\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; permettant d'effectuer un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de  0 &lt;ref name=&quot;D.L. à l'ordre un&quot; /&gt; selon &lt;math&gt;\;\sin(\theta) \simeq \theta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;en radians&quot; /&gt; à l'ordre un en &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; et par suite l'équation différentielle suivie par le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; devient linéaire selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{H}{J_{\Delta_O}}\;\dot{\theta}(t) + \dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}\;\theta(t) \simeq 0\;&lt;/math&gt;»&lt;/center&gt;
{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; avec terme d'amortissement et homogène.

{{Al|18}}{{Transparent|Résolution analytique approchée de l'équation différentielle du P.P.A. dans le cas des petites élongations angulaires :}}Le P.P.A. &lt;ref name=&quot;P.P.A.&quot; /&gt; est donc &lt;u&gt;linéarisable&lt;/u&gt; dans l'hypothèse des « petites élongations angulaires » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et dans cette hypothèse il devient un « &lt;u&gt;oscillateur harmonique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;amorti&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; » de pulsation propre «&lt;math&gt;\;\omega_0 = \sqrt{\dfrac{m\;g\;\mathfrak{a}}{J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» appelée « &lt;u&gt;pulsation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;propre&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;des petites élongations angulaires&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;élongations angulaires petites (ou non)&quot; /&gt; et de facteur d’amortissement «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt;» tel que «&lt;math&gt;\;\dfrac{H}{J_{\Delta_O}} = 2\;\sigma\;\omega_0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\sigma = \dfrac{H}{2\;J_{\Delta_O}\;\omega_0} = \dfrac{H}{2\;\sqrt{m\;g\;\mathfrak{a}\;J_{\Delta_O}}}\;&lt;/math&gt;» d’où
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est pseudo-périodique de pseudo-pulsation des petites oscillations «&lt;math&gt;\;\omega = \omega_0\;\sqrt{1 - \sigma^2}\;&lt;/math&gt;», l’amortissement étant exponentiel en «&lt;math&gt;\;\exp\! \left( -\sigma\;\omega_0\;t \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&lt;_1_(faible_amortissement)_et_réponse_pseudo-périodique|σ &lt; 1 (faible amortissement) et réponse pseudo-périodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;=\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique critique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_=_1_(amortissement_critique)_et_réponse_apériodique_critique|σ = 1 (amortissement critique) et réponse apériodique critique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et
* si «&lt;math&gt;\;\sigma\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;1\;&lt;/math&gt;» le régime est apériodique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;de même forme que celle établie au paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateurs_amortis_:_circuit_R_L_C_série_et_oscillateur_mécanique_amorti_par_frottement_visqueux#σ_&gt;_1_(fort_amortissement)_et_réponse_apériodique|σ &gt; 1 (fort amortissement) et réponse apériodique]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant une tige rigide sans masse, équilibres du pendule et notion de stabilité, généralisation aux équilibres d'un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité ==

=== Rappel du cas particulier : P.P.S.(N.A. à un degré de liberté) construit à partir d’une tige rigide sans masse et un point matériel M ===

{{Al|5}}Revoir le chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple|Loi de la quantité de mouvement : Pendule pesant simple]] » de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Pendule_pesant,_description_et_cas_limite_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.),_conditions_initiales_induisant_un_mouvement_à_un_degré_de_liberté_avec_établissement_de_la_nature_plane_du_mouvement|la description et le cas limite du pendule pesant simple (P.P.S.), les conditions initiales induisant un mouvement à un degré de liberté avec établissement de la nature plane du mouvement]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Choix,_pour_un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_du_repérage_polaire_de_pôle_«_le_centre_du_mouvement_circulaire_du_P.P.S._»|le choix, pour un P.P.S. à un degré de liberté, du repérage polaire de pôle “le centre du mouvement circulaire du P.P.S.”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Mise_en_équation_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_par_application_de_la_r.f.d.n.,_équation_différentielle_non_linéaire_du_2ème_ordre,_absence_de_solution_analytique_(d'où_nécessité_de_résolution_numérique_dans_le_cas_général)|la mise en équation d'un P.P.S. à un degré de liberté par application de la r.f.d.n. donnant une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre avec absence de solution analytique (et la nécessité d'une résolution numérique dans le cas général)]] » &lt;span style=&quot;color:#ff0000;&quot;&gt;&lt;math&gt;\color{red}{\big(}&lt;/math&gt;seul ce paragraphe sera repris en utilisant le théorème du moment cinétique scalaire, tout ce qui précède et tout ce qui suit, restant inchangés&lt;math&gt;\color{red}{\big)}&lt;/math&gt;&lt;/span&gt;,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Approximation_linéaire,_dans_le_cadre_des_«_petites_élongations_angulaires_»,_du_mouvement_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté,_analogie_avec_l'oscillateur_harmonique,_période_des_«_petites_élongations_angulaires_»|l'approximation linéaire, dans le cadre des “petites élongations angulaires”, du mouvement d'un P.P.S. à un degré de liberté, son analogie avec l'oscillateur harmonique et la période des “petites élongations angulaires”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Détermination_de_l'équation_du_portrait_de_phase_(«_intégrale_1ère_du_mouvement_»)_dans_le_cas_général_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|la détermination de l'équation du portrait de phase (“intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; du mouvement”) dans le cas général du P.P.S. à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#Portraits_de_phase_dans_le_cas_général_d'«_oscillations_ou_de_mouvement_révolutif_»_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_dans_le_cas_particulier_des_petites_élongations_angulaires|les portraits de phase dans le cas général “d'oscillations ou de mouvement révolutif” d'un P.P.S. à un degré de liberté et dans le cas particuliers des petites élongations angulaires]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_absence_d'isochronisme_du_P.P.S.(N.A.)_à_un_degré_de_liberté,_expression_empirique_de_«_de_Borda_»_de_la_période_dans_le_cas_général_d’oscillations|en complément, l'absence d'isochronisme du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et l'expression empirique de “de Borda” de la période dans le cas général d'oscillations]] » et
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Pendule_pesant_simple#En_complément,_«_résolution_numérique_»_de_l'équation_différentielle_d'un_P.P.S._dans_les_C.I._«_1a_»_puis_«_1b_»,_tracé_des_diagrammes_horaires_de_position_et_de_vitesse_ainsi_que_celui_des_portraits_de_phase_correspondant|en complément, la “résolution numérique” d'un P.P.S. dans les C.I. “1a” puis “1b” avec le tracé des diagrammes horaires de position et de vitesse ainsi que celui des portraits de phase correspondant]] ».

{{Al|5}}Revoir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_énergétique_d'un_point_matériel_en_mouvement_conservatif_à_une_dimension_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté,_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique,_présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_(positions_de_vitesse_nulle)_et_trajectoire_(cinétiquement)_bornée,_mouvement_périodique_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale,_absence_d'isochronisme_des_oscillations|Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » dans lequel on trouve, dans les sous paragraphes successifs suivants :
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Écriture_de_l'intégrale_1ère_énergétique_du_pendule_pesant_simple_(P.P.S.)_à_un_degré_de_liberté|l'écriture de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_les_conditions_initiales_(C.I.)_«_1a_»|le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) “1a”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Présence_de_deux_murs_d'énergie_potentielle_:_trajectoire_du_point_matériel_cinétiquement_bornée_2|la présence de deux murs d'énergie potentielle ayant pour conséquence le caractère “cinétiquement borné” de la trajectoire du point matériel]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_oscillatoire_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_«_par_diagramme_énergétique_»|la détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté “par diagramme énergétique”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Détermination_de_la_nature_périodique_du_mouvement_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_et_expression_de_la_période_sous_forme_intégrale|la détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et l'expression de la période sous forme intégrale]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Absence_d'isochronisme_des_oscillations|l'absence d'isochronisme des oscillations]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#En_complément_:_évaluation_numérique_de_la_période_et_comparaison_avec_l'«_expression_approchée_de_de_Borda_»|en complément, l'évaluation numérique de la période et la comparaison avec l'“expression approchée de de Borda”]] »,
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Retour_sur_les_petites_élongations_angulaires_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|le retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en terme de diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » et 
* « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Étude_d'un_P.P.S._à_un_degré_de_liberté_lancé_dans_des_C.I._«_1b_»_par_diagramme_d'énergies_potentielle_et_mécanique|l'étude énergétique d'un P.P.S. à un degré de liberté dans des C.I. “1b” par diagramme d'énergies potentielle et mécanique]] » permettant de distinguer &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] », &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_révolutif|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif]] » et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;« [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._s'arrête_en_une_position_d'équilibre_instable|les conditions pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable]] ».

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : tout ayant été traité, nous ne reprendrons que la mise en équation que l’on fait ici par application du théorème du moment cinétique scalaire à &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.

=== Détermination de l’équation différentielle en θ(t) par application du théorème du moment cinétique scalaire au point matériel M dans le cas d’un P.P.S.N.A. ===

[[File:Pendule pesant simple non amorti - repérage et forces appliquées.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté avec repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Repérage_cylindro-polaire_(ou_cylindrique)_d'un_point_dans_l'espace|repérage cylindro-polaire (ou cylindrique) d'un point dans l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot;&gt; L'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; étant orienté par le vecteur unitaire &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}\;&lt;/math&gt; sortant du plan de la figure.&lt;/ref&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt;]]
{{Al|5}}Le mouvement étant plan, dans le plan vertical contenant initialement la tige, plus exactement, en notant &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; l'axe passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au plan vertical initial, le mouvement de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}il devient alors intéressant d'utiliser le repérage cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;repérage cylindro-polaire&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;orientation de l'axe DeltaO&quot; /&gt; pour repérer le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; ou, le repérage se faisant dans un plan, d'utiliser le repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; et d'axe polaire &lt;math&gt;\;\overrightarrow{Oz}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;le plan étant orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\Delta_O}\big)&lt;/math&gt;, les coordonnées polaires de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\left( \mathit{l}\,,\, \theta \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition de l&quot;&gt; &lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; étant la longueur de la tige.&lt;/ref&gt; et la base polaire du plan liée au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta \right)\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; définissant l'angle polaire de &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;, angle orienté par &lt;math&gt;\;\vec{u}_{\!\Delta_O}&lt;/math&gt;, voir ci-contre.

{{Al|5}}Le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant entièrement décrit par la connaissance de la loi horaire «&lt;math&gt;\;\theta = \theta(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, l'abscisse angulaire du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est le paramètre de position de ce dernier » et le mouvement du point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant circulaire autour d'un axe fixe dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la détermination de l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; devrait être plus aisée en appliquant le théorème du moment cinétique scalaire au point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; est soumis à deux forces : 
* une force à distance « le poids de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;» «&lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; s'écrit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge m\;\vec{g} \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire du poids&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Il convient bien sûr de remplacer &lt;math&gt;\;\mathfrak{a} = \Big\Vert \overrightarrow{OG}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; par &lt;math&gt;\;\mathit{l} = \Big\Vert \overrightarrow{OM}(t) \Big\Vert\;&lt;/math&gt; dès qu'on applique les résultats d'un P.P.N.A. à un P.P.S.N.A..&lt;/ref&gt; et
* une force de contact « la tension de la tige » «&lt;math&gt;\;\vec{T}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;a priori centripète mais pouvant être centrifuge pour des élongations angulaires obtus&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;» dont le moment scalaire par rapport à l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; vaut «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \left[ \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) \right] \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire de T&quot;&gt; Le moment vectoriel de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant nul car &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; central &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. &lt;math&gt;\;\propto\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t)\big)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{T}(t) = \vec{0}\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{\!O}\! \left[ \vec{T} \right](t) \cdot \vec{u}_{\Delta_O} = 0&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}on peut aussi déterminer directement le moment scalaire de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; en effet, dans la mesure où la direction de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; coupe l’axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, le bras de levier de &lt;math&gt;\;T(t)\;&lt;/math&gt; est nul et par suite la valeur absolue du moment scalaire s'obtenant en multipliant &lt;math&gt;\;\Vert \vec{T}(t) \Vert\;&lt;/math&gt; finie par le bras de levier de la force, on en déduit &lt;math&gt;\;\Big\vert \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) \Big\vert = 0\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T} \right](t) = 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ;
{{Al|5}}l'application du théorème du moment cinétique scalaire au P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O&lt;/math&gt;, fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, avec la vitesse angulaire &lt;math&gt;\;\dot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, s'écrit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) + \mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ \vec{T}(t) \right] = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible », &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M)\;&lt;/math&gt; étant le moment d'inertie du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt;» défini par &lt;math&gt;\;J_{\Delta_O}(M) = m\;\mathit{l}^{,2}\;&lt;/math&gt; où &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt; est la distance orthogonale de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. la longueur de la tige&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt; l'accélération angulaire du point matériel &lt;math&gt;\;M\,\left( m \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» soit&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en remplaçant les moments scalaires par leur expression précédemment déterminée, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;-m\;g\;\mathit{l}\; \sin\! \left[ \theta(t) \right] + 0 = m\;\mathit{l}^{\,2}\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» dans le cas d'un P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; à un degré de liberté, lié à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; par « tige rigide inextensible » ou,&lt;/center&gt;
{{Al|5}}en normalisant l'équation différentielle en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; du mouvement du P.P.S.N.A. &lt;ref name=&quot;P.P.S.N.A.&quot; /&gt; &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t) + \dfrac{g}{\mathit{l}}\;\sin\! \left[ \theta(t) \right] = 0\;&lt;/math&gt;» soit &lt;br&gt;une équation différentielle non linéaire du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; ordre en &lt;math&gt;\;\theta(t)\;&lt;/math&gt; sans terme du 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; ordre, &lt;br&gt;caractérisant un &lt;u&gt;oscillateur non linéaire&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;définition non énergétique d'un oscillateur non linéaire&quot; /&gt; dans la mesure où le mouvement reste oscillatoire.&lt;/center&gt;
=== Rappel : équilibres du pendule pesant simple et notion de stabilité ===

{{Al|5}}Revoir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_positions_d'équilibre_sur_l'exemple_du_pendule_pesant_simple_à_un_degré_de_liberté_(P.P.S.),_distinction_entre_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_causes_de_modification_du_mouvement_»_et_«_forces_(ou_composantes_de_forces)_sans_influence_sur_une_modification_éventuelle_du_mouvement_»|définition de positions d'équilibre sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté (P.P.S.), distinction entre “forces (ou composantes de forces) causes de modification du mouvement” et “forces (ou composantes de forces) sans influence sur une modification éventuelle du mouvement”]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » pour la notion d'équilibre d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot;&gt; [[w:Pendule_simple|Pendule Pesant Simple]].&lt;/ref&gt; et

{{Al|5}}{{Transparent|Revoir }}le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel_à_un_degré_de_liberté_en_terme_de_force,_exemple_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en terme de force, exemple du P.P.S. à un degré de liberté]] » du même chapitre de la même leçon pour la notion de stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou d'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; d'un P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons défini les abscisses angulaires d’équilibre par les zéros de la « force motrice » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;plus exactement les zéros de la « composante de &lt;math&gt;\;m\;\vec{g}\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_\theta\;&lt;/math&gt;» à savoir «&lt;math&gt;\;F(\theta) = -m\;g\; \sin(\theta)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l’équation différentielle ayant été obtenue en écrivant «&lt;math&gt;\;F\! \left[ \theta(t) \right] = m\; a_\theta(t)\;&lt;/math&gt;» et l’équilibre nécessitant «&lt;math&gt;\;a_\theta(t) = 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination des positions d'équilibre d'un P.P.S. : }}comme nous pouvons déterminer l’équation différentielle par «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t) = J_{\Delta_O}(M)\;\ddot{\theta}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire moteur&quot;&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right](t)\;&lt;/math&gt;» définit donc le « moment scalaire moteur ».&lt;/ref&gt; et que l’équilibre nécessite «&lt;math&gt;\;\ddot{\theta}(t)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= 0\;\; \forall\; t\;&lt;/math&gt;», les abscisses angulaires d’équilibre sont également les zéros du « moment scalaire moteur » à savoir &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;-m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\pi\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En se limitant aux déterminations principales c.-à-d. &lt;math&gt;\;\in \left] -\pi\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;u&gt;Retour sur la détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres d'un P.P.S.&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; : nous avons vu que la force motrice au voisinage d’un équilibre stable devait être « de rappel » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;F(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \sin(\varepsilon) \simeq&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m\;g\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» force répulsive caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;ref&gt; Il s'agit de la détermination algébrique de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on rappelle qu'on peut aussi faire une détermination graphique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, nous en déduisons la « même propriété pour le moment scalaire moteur » &lt;ref name=&quot;justification de la stabilité en terme de moment scalaire moteur&quot;&gt; Sur cet exemple le moment scalaire moteur «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}\!\left[ m\;\vec{g} \right] = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» est égal à la composante motrice «&lt;math&gt;\;F(\theta) =-m\;g\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt;» multipliée par «&lt;math&gt;\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» constante positive d’où l’affirmation.&lt;/ref&gt; : 

{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}si, au voisinage d’un équilibre, le « moment scalaire moteur » est « de rappel », l’équilibre est stable, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : si, au voisinage d'un équilibre le « moment scalaire moteur » }}s’il est « répulsif », l’équilibre est instable &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;ainsi au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = 0\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq -m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire de rappel caractérisant un équilibre stable alors qu'au voisinage de «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}} = \pi\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O,\,m\,\vec{g}}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) = -m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\pi + \varepsilon) = m\;g\; \mathit{l}\;\sin(\varepsilon) \simeq m\;g\; \mathit{l}\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» moment scalaire répulsif caractérisant un équilibre instable&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Retour sur la détermination de la stabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{\;(}&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\color{transparent}{)\;}&lt;/math&gt;des équilibres d'un P.P.S. : }}on pourrait aussi développer une méthode graphique de vérification de la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou de l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des équilibres du P.P.S. &lt;ref name=&quot;P.P.S.&quot; /&gt; identique à celle développée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Méthode_graphique_de_vérification_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_des_équilibres_du_P.P.S._à_un_degré_de_liberté|méthode graphique de vérification de la stabilité ou de l'instabilité des équilibres du P.P.S. à un degré de liberté]] » du chap.&lt;math&gt;18&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » en étudiant graphiquement le « moment scalaire moteur » à la place de la « composante de force motrice ».

=== En complément : généralisation à la détermination des positions d’équilibre d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ainsi que de leur stabilité ou instabilité en terme de moment scalaire moteur ===

&lt;u&gt;Détermination des positions d'équilibre d'un solide en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}Il y a deux types de moments scalaires agissant sur un solide en rotation :
* ceux des forces « motrices » &lt;ref name=&quot;moteur&quot;&gt; On rappelle que « moteur » signifie ici « cause de modification de mouvement », la force pouvant en fait accélérer ou freiner le solide.&lt;/ref&gt; qui sont les causes de modification du moment cinétique scalaire &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant à des actions ou des réactions tangentielles au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, ces moments scalaires étant qualifiés de « moteurs » et
* ceux des forces « non motrices » qui sont &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;correspondant aussi bien à des actions qu'à des réactions pourvues qu'elles soient &lt;math&gt;\;\perp\;&lt;/math&gt; au mouvement&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les moments scalaires de ces forces étant en fait nuls ;
{{Al|5}}soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» le « moment scalaire moteur agissant sur le solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta_O\;&lt;/math&gt; et ne s’annulant pas avec le mouvement » &lt;ref&gt; On élimine ainsi le moment scalaire des forces de frottement fluide.&lt;/ref&gt;, les abscisses angulaires «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» des positions d’équilibre du solide sont les zéros de «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» à savoir les valeurs «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telles que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;».

&lt;u&gt;Détermination de la stabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{\;(}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;ou de l'instabilité&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\underline{)\;}&lt;/math&gt;&lt;u&gt;des équilibres du solide précédent en rotation autour d’un axe fixe&lt;/u&gt; :

{{Al|5}}pour étudier la stabilité &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou l'instabilité&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’équilibre repéré par «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;», faire un D.L. &lt;ref name=&quot;D.L.&quot; /&gt; à l’ordre le plus bas non nul du « moment scalaire moteur &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;» au voisinage de la position d’équilibre «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt;» et conclure selon les résultats suivants :
* &lt;u&gt;cas usuel&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre un «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,1} \equiv 0\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,1}) = -m\;g\;\mathit{l}\; &lt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas usuel : }}si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Cas du P.P.S. à un degré de liberté pour l'équilibre repéré par &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq},\,2} \equiv \pi\!\!\pmod{2\;\pi}&lt;/math&gt;, la dérivée de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta) = -m\;g\;\mathit{l}\;\sin(\theta)\;&lt;/math&gt; par rapport à la variable de position conduisant à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;-m\;g\;\mathit{l}\;\cos(\theta)\;&lt;/math&gt; et par suite à &lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq},\,2}) = m\;g\;\mathit{l}\; &gt;\; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas peu fréquent&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux ou plus : &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre deux selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^2}{2}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|38}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre trois «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\simeq \dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^3}{6}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;de rappel&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|142}}{{Transparent|cas peu fréquent : }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; est « un moment scalaire &lt;u&gt;répulsif&lt;/u&gt; » et l'équilibre est « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; »,
* &lt;u&gt;cas inexistant en pratique&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; Mais qui, en théorie, pourrait exister.&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta}(\theta_{\text{éq}}) = 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\dfrac{d^2 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^2}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;\dfrac{d^3 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^3}(\theta_{\text{éq}}) = 0\;&lt;/math&gt;» : le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre ou plus : &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0\;&lt;/math&gt;» le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre quatre selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^4}{24}\;&lt;/math&gt;» et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt;}} est toujours du signe de &lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\varepsilon\;&lt;/math&gt;» correspondant à un équilibre stable d'un côté et instable de l'autre donc « &lt;u&gt;globalement instable&lt;/u&gt; », &lt;br&gt;{{Al|121}}{{Transparent|cas inexistant en pratique : }}&lt;math&gt;\succ\;&lt;/math&gt; si «&lt;math&gt;\;\dfrac{d^4 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^4}(\theta_{\text{éq}})\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;= 0\;&lt;/math&gt; mais &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}}) \neq 0\;&lt;/math&gt;», le développement de &lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta)\;&lt;/math&gt; au voisinage de &lt;math&gt;\;\theta_{\text{éq}}\;&lt;/math&gt; est limité à l'ordre cinq selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\!\Delta_O}(\theta_{\text{éq}} + \varepsilon) \simeq \dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\;\dfrac{\varepsilon^5}{120}\;&lt;/math&gt;», correspondant à un équilibre « &lt;u&gt;stable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &lt;\; 0\;&lt;/math&gt;» et « &lt;u&gt;instable&lt;/u&gt; pour &lt;math&gt;\;\dfrac{d^5 \mathcal{M}_{\!\Delta_O}}{d \theta^5}(\theta_{\text{éq}})\; &gt;\; 0\;&lt;/math&gt;».

== Rappel du cas particulier : pendule pesant simple (non amorti à un degré de liberté) utilisant un fil idéal, détermination de la tension du fil et conditions de lancement pour que le fil reste tendu ==

[[File:Pendule pesant simple - repérage et forces appliquées - bis.png|thumb|300px|Schéma d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté lancé dans les C.I. &lt;ref name=&quot;C.I.&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;1\mathfrak{a} \cup 1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;C.I. 1a ou 1b&quot; /&gt;, le point &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot;&gt; C.-à-d. inextensible et sans masse.&lt;/ref&gt; supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; passant par &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; avec repérage polaire de pôle &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;et d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\big)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; et représentation des deux forces s'appliquant sur lui]]
{{Al|5}}Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#2ème_additif_:_«_dans_le_cas_où_le_P.P.S._est_constitué_d'un_fil_idéal_se_substituant_à_la_tige_rigide,_valider_la_condition_de_tension_du_fil_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; additif : “dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil”]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] », ci-dessous nous rappelons les principaux résultats :

{{Al|5}}Après utilisation successive de la projection sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r\;&lt;/math&gt; de la r.f.d.n. &lt;ref name=&quot;r.f.d.n.&quot;&gt; Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.&lt;/ref&gt; appliquée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\, \left\lbrace \mathit{l}\;\dot{\theta}^2\!(t) + g\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» et de l'intégrale 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; énergétique de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;m\;\mathit{l}^{\,2}\;\dot{\theta}^2\!(t) + m\;g\; \mathit{l}\, \left\lbrace 1 - \cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace = E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt;», on trouve, pour composante du vecteur tension du fil &lt;math&gt;\;\vec{T}(t)\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\vec{u}_r&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{T}(t) = \vec{T}(t) \cdot \vec{u}_r = -m\;g\, \left\lbrace \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos\! \left[ \theta(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|5}}le fil restant tendu dans tout le mouvement si &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt; Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;mais non toléré en mathématiques&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, &lt;math&gt;\;\overline{T}(t)\;&lt;/math&gt; étant la valeur de la fonction &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; composante radiale du vecteur tension du fil de la variable &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; composée avec la fonction &lt;math&gt;\;g\;&lt;/math&gt; loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; est identifié, en physique, à &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; mais cette même valeur serait notée en mathématiques &lt;math&gt;\;f\! \left[ g(t) \right]\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;f(\theta)\;&lt;/math&gt; faisant la distinction entre la fonction &lt;math&gt;\;f \circ g\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;f\;&lt;/math&gt; de la variable &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.&lt;/ref&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;\;\forall\; \theta&lt;/math&gt;, ce qui est réalisé « si le maximum de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt; 0\;&lt;/math&gt;» il convient, pour poursuivre, d'introduire le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta&lt;/math&gt;, ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. suivant son énergie mécanique initiale :
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type &lt;math&gt;\;1\mathfrak{b}\;&lt;/math&gt; c.-à-d. que &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;\neq 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ \theta_0\,,\,+\infty \right[\;&lt;/math&gt;}} pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\left] -\infty\,,\,\theta_0 \right]\;&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0\;&lt;/math&gt;» mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\;&lt;/math&gt; quel que soit le signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, par exemple, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &gt; 0&lt;/math&gt;, la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique révolutif se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0\,,\,\theta_0 + \pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}\;&lt;/math&gt; et, en supposant &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0 &lt; 0&lt;/math&gt;, elle se réécrit &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ \theta_0 - \pi\,,\, \theta_0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ -\pi\,,\,0 \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\left[ -\pi\,,\,0 \right]\;&lt;/math&gt; ou encore &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\,+\pi \right]\Big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; c.-à-d. une même condition indépendante du signe de &lt;math&gt;\;\dot{\theta}_0&lt;/math&gt;, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\, +\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, +\pi \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,+\pi \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(+\pi) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement révolutif&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &gt; \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0}\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2\;m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;», le mouvement du P.P.S.N.A., dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire, le domaine de variation de &lt;math&gt;\;\theta\;&lt;/math&gt; est {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\left[ -\theta_m\,,\,+\theta_m \right[\;&lt;/math&gt;}} dans lequel l'amplitude &lt;math&gt;\;\theta_m =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\arccos\! \left[ 1 - \dfrac{E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;amplitude d'oscillations&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Mouvement_conservatif#Condition(s)_pour_que_le_mouvement_du_P.P.S.N.A._soit_oscillatoire|condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; mais la fonction &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;\mathit{l}} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant &lt;math&gt;\;2\;\pi&lt;/math&gt;-périodique et paire, « la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]\;&lt;/math&gt;», la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrivant &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace &lt; 0\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt; {{Al|5}}&lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta) = -m\;g\, \left[ \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l} - 2 + 3\;\cos(\theta) \right]\;&lt;/math&gt; étant une fonction &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\;\left[ 0\,,\, \theta_m \right]&lt;/math&gt;, la condition se réécrit «&lt;math&gt;\;\max\limits_{\left[ 0\,,\,\theta_m \right]} \left\lbrace \overline{T}(\theta) \right\rbrace = \overline{T}(\theta_m) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;center&gt;« la &lt;u&gt;condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. à fil idéal &lt;ref name=&quot;fil idéal&quot; /&gt; soit effectivement oscillatoire&lt;/u&gt; sans que le fil ne se détende est &lt;math&gt;\;E_{m,\,0} &lt; m\;g\;\mathit{l}\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
* finalement si «&lt;math&gt;\;E_{m,\,0} \in \left[ m\;g\;\mathit{l}\,,\, \dfrac{5}{2}\;m\;g\;\mathit{l} \right[\;&lt;/math&gt;», &lt;u&gt;le fil se détend&lt;/u&gt; pour «&lt;math&gt;\;\theta_{\text{détente}}\;&lt;/math&gt; telle que &lt;math&gt;\;\overline{T}(\theta_{\text{détente}}) = 0\;&lt;/math&gt;» et on obtient «&lt;math&gt;\;\vert \theta_{\text{détente}} \vert = \arccos\! \left[ \dfrac{2}{3} - \dfrac{2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\; \mathit{l}} \right]\, \in \left[ \dfrac{\pi}{2}\,,\, \pi \right]\;&lt;/math&gt;».

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Loi du moment cinétique : Pendule de torsion|Loi du moment cinétique : Pendule de torsion]]
  | suivant   = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Énergie cinétique du solide en rotation]]
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    <title>Discussion Recherche:Ce que le mouvement Wikimédia nous apprend sur l'Homme et la Société globalisée/Vietnam</title>
    <ns>105</ns>
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    <redirect title="Discussion Recherche:Wikimedia/Vietnam" />
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      <timestamp>2026-09-14T04:01:41Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>JackBot</username>
        <id>8020</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Robot : Correction des redirections erronées depuis Discussion Recherche:Le mouvement Wikimedia/Vietnam vers la page déplacée cible [[Discussion Recherche:Wikimedia/Vietnam]]</comment>
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      <text bytes="55" sha1="hwnqekkqgzdhrki5o6quoy521zpankk" xml:space="preserve">#REDIRECTION [[Discussion Recherche:Wikimedia/Vietnam]]</text>
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    <title>Wikiversité:La salle café/août 2026</title>
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      <contributor>
        <username>Lionel Scheepmans</username>
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      <comment>/* Améliorer Wikiversité pour ses vingt ans d'existence */ Réponse</comment>
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      <text bytes="72591" sha1="3x107202qyfvb5jk8hcs5irkyt5f07i" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
&lt;noinclude&gt;{{SC|2026|08}}{{Clr}}&lt;/noinclude&gt;

== Actualités techniques n° 2026-32 ==

&lt;section begin=&quot;technews-2026-W32&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/32|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Actualités pour la contribution'''
* L’[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience|équipe Expérience de lecture]] a développé une [https://82db7c8d4b.catalyst.wmcloud.org/w/index.php?title=Regent%27s_Park&amp;uselang=de démonstration d’un correctif] qui entoure la barre d’outils sur deux lignes quand il n’y a pas assez d’espace horizontalement pour tous les boutons. Le but est de réduire l’encombrement de la barre d’outil de Vector 2022 qui se constate parfois sur Wikipédia dans certaines langues avec certaines tailles d’écran. [https://phabricator.wikimedia.org/T429518]
* L’équipe Expérience de lecture prévoit de lancer les [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|Listes de lecture]], un [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey 2021/Mobile and apps/Have Apps reading lists available on Destop/Mobile|souhait de la communauté]] que vous pouvez déjà essayer en bêta, à partir de septembre. Mais avant cela, l’aide des traducteurs et traductrices est nécessaire pour [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ATranslate&amp;group=ext-readinglists&amp;filter=&amp;action=translate plusieurs messages] à traduire dans un maximum de langues. Cette fonctionnalité appuie les objectifs de lecture et d’apprentissage sur Wikipédia.
* La semaine prochaine, le sommaire sur les pages des fichiers de Wikimedia Commons sera amélioré en fusionnant le sommaire spécifique aux pages de fichier avec le sommaire classique des pages. Cela rendra plus facile la compréhension de la structure des pages de fichier, la navigation vers une section spécifique et le partage de liens vers une section en particulier. [https://phabricator.wikimedia.org/T332644]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:24|la tâche soumise|les {{formatnum:24}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:24||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, certaines images [[w:fr:Tagged Image File Format|TIFF]] ne s’affichaient pas après avoir cliqué sur leur vignette : une image cassé s’affichait au lieu de l’image en taille réelle. Ce problème est désormais corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T429326]

'''Actualités pour la contribution technique'''
* Le sélecteur de variables et de fonctions dans les Filtres anti-abus a été mis à jour pour prendre en charge la recherche et l’autocomplétion. Il permettra désormais aux mainteneurs de filtres de retrouver la variable ou fonction désirée plus rapidement. [https://phabricator.wikimedia.org/T323698]
* Les formats MJPEG et VP8 sont retirés du lecteur vidéo. Le format MP4 (MPEG-4 Partie 2) est ajouté à la place : il fournit une meilleure qualité pour les vieux modèles d’iPhone. Plusieurs semaines seront peut-être nécessaires pour mettre à jour toutes les vidéos déjà en ligne. Le format par défaut pour les appareils modernes ne change pas (VP9/WebM). [https://phabricator.wikimedia.org/T358266]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.15|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/32|Traduire]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W32&quot;/&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 3 août 2026 à 19:46 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30872536 --&gt;

== Les RAW en mode fiesta sur la Wikimania ==

&lt;div style=&quot;background-color:#177860; border-radius:.2em;  color:#FFF;padding: 1em;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;font-family: Century Gothic; font-size:3em; line-height:120%;text-align:center;color: #fff;&quot;&gt;RAW&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;margin-bottom:1.5em; margin-top:1em; text-align:center; color: #fff;&quot;&gt;Le numéro d'août 2026 (n°295) est sorti.&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;center&quot;&gt;[[:w:Wikipédia:RAW/2026-08-05|&lt;span class=&quot;cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled&quot; style=&quot;white-space:break-spaces; text-align:center; gap:0;&quot;role=&quot;button&quot; aria-disabled=&quot;false&quot;&gt;Lire l'infolettre&lt;/span&gt;]]&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

'''Un numéro exceptionnel'''

La conférence Wikimania s'est achevée le 25 juillet. Que vous ressentiez de la frustration (si vous n’avez pas pu y assister) ou du [[:w:Wikipédia:Wikispleen|wikispleen]] (si vous y étiez et que vous avez du mal à digérer que ce soit déjà fini), l’équipe des RAW n’a pas ménagé ses efforts pour vous proposer un numéro XXL qui revient en long, en large et en travers sur cet événement qui le mérite bien. Comptes-rendus, témoignages, entretiens, il y en aura pour tous les goûts ! Le numéro est aussi exceptionnel par le nombre de rédactrices et de rédacteurs qui y ont participé — merci ! 

Au-delà de Wikimania, l’actualité wikimédienne est loin d’être paisible cet été. Nous vous proposons donc aussi de revenir en détail sur la crise qui secoue la fondation Wikimédia autour de la reconnaissance du syndicat Wiki Workers United (WWU). Nous aurons probablement l’occasion de couvrir la suite de cette histoire dans le prochain numéro. D’ici là, bonne lecture !

----

Au menu de ce numéro :

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white&quot;&gt;En bref&lt;/span&gt;''' — Des actualités francophones et du mouvement Wikimédia et des nouveaux outils

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white&quot;&gt;Dossier spécial Wikimania&lt;/span&gt;'''

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black&quot;&gt;Les POV&lt;/span&gt;'''&lt;br&gt;— Ma Wikimania : la joie, l'inquiétude et la raison d'être&lt;br&gt;— Témoignages : regards sur la Wikimania

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black&quot;&gt;L'Analyse&lt;/span&gt;''' — La crise s'intensifie après le refus de la WMF de reconnaître le syndicat WWU

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black&quot;&gt;Les Comptes-rendus&lt;/span&gt;'''&lt;br&gt;— Une Wikimania sous le signe de la jeunesse&lt;br&gt;— Sur les conséquences de la définition de « wikimédien·ne »&lt;br&gt;— Petit tour d’horizon de la créativité wikimédienne&lt;br&gt;— CultureStrong : respecter les savoirs des Premières Nations sur les plateformes Wikimédia&lt;br&gt;— Des événements techniques à Wikimania

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black&quot;&gt;Les Interviews&lt;/span&gt;'''&lt;br&gt;— Ses goûts, sa Wikimania, sa prochaine tournée... : Baby Globe nous dévoile tout !&lt;br&gt;— Jules*, notre Wikimédien de l'année : comment rendre compte du changement climatique tout en protégeant l'encyclopédie

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white&quot;&gt;Le wik'hit parade&lt;/span&gt;''' — Une analyse des articles les plus vus le mois dernier

[[Fichier:Toicon-icon-sharp-corners-draw.svg|20px|classe=skin-invert-image]] Les RAW, c'est aussi vous : si un sujet vous tient à cœur, n'hésitez pas à proposer une idée d'article ou à participer à la rédaction du [[:w:Wikipédia:RAW/Rédaction|prochain numéro]]. Toutes les contributions sont les bienvenues, quel que soit votre wiki d'origine ! &lt;span class=&quot;smiley&quot;&gt;[[Image:Face-smile.svg|20px|Sourire|alt=Émoticône sourire]]&lt;/span&gt;

[[Utilisateur:Antimuonium|Antimuonium]] ([[Discussion utilisateur:Antimuonium|discuter]]) 4 août 2026 à 22:26 (UTC)

:Bravo pour cette Wikimania ! Est-ce que Wikiversité a été représentée ou évoquée ? [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:32 (UTC)

== Actualités techniques n° 2026-33 ==

&lt;section begin=&quot;technews-2026-W33&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/33|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Actualités pour la contribution'''
* [[File:Maki-gift-15.svg|12px|link=|class=skin-invert|Concerne un souhait]] Un nouvel assistant à diagrammes (''ChartWizard'') est [[c:Special:ChartWizard/Data:Example.Pie.chart|désormais disponible sur Wikimedia Commons]] pour les utilisateurs et utilisatrices qui souhaitent créer des graphiques à partir de leurs propres données. Cet assistant rend l’[[mw:Special:MyLanguage/Extension:Chart|extension Chart]] plus accessible aux débutants en permettant la création de diagrammes (par exemple des histogrammes ou des graphiques en secteurs) sans devoir utiliser du JSON. Les utilisateurs peuvent encore repasser à l’éditeur JSON s’ils le préfèrent. Vos retours sur ce nouvel outil sont les bienvenus sur la [[m:Talk:Community Wishlist/W414|page de discussion du souhait]].
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:19|la tâche soumise|les {{formatnum:19}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:19||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, le gadget Photo du jour de l’appli Wikipédia pour iOS affichait par erreur la même image chaque jour au lieu d’en afficher une nouvelle quotidiennement. Cela a désormais été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T430692]

'''Actualités pour la contribution technique'''
* Les images SVG de [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Math|formules mathématiques]] seront bientôt générées par le navigateur plutôt que côté serveur. MathML continue d’être généré côté serveur et est rendu dans le navigateur sans JavaScript. Ce changement aura lieu sur Wikibooks le 12 aout, sur Wikisource le 19 aout et sur Wikipédia du 20 au 27 aout. Vous pouvez l’essayer en choisissant « {{int:Mw-math-mathjax}} » dans vos préférences. Cela fait partie de la [[mw:Special:MyLanguage/RESTBase/deprecation|dépréciation de RESTBase]] et [[phab:T431372|de celle de Mathoid]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T271001]
* &lt;span class=&quot;mw-translate-fuzzy&quot;&gt;Les pages de catégorie permettront bientôt de trier les pages de la catégorie par ordre chronologique d’ajout dans la catégorie. Cela permettra de retrouver facilement les pages récemment ajoutées ou celles depuis longtemps dans la catégorie. Cela améliorera aussi le traitement des catégories de maintenance, par exemple les demandes de suppression ou d’autres tâches nécessitant un traitement chronologique. Utilisez l’argument &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;cldsort=timestamp&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; dans l’URL de la vue d’une catégorie pour trier la liste de pages.&lt;/span&gt; [https://phabricator.wikimedia.org/T433768]
* Les [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Gadgets|gadgets]] et scripts utilisateur sur les wikis Wikimedia peuvent désormais utiliser les [[phab:T395347|fonctionnalités de ES 2018]] et [[phab:T419142|celles de ES 2019]] dans le code JavaScript. Auparavant, la plateforme n’acceptait qu’ES 2017. MediaWiki valide le code source pour protéger les fonctionnalités d’erreurs de syntaxes et pour vérifier que les scripts sont fonctionnels dans tous [[mw:Special:MyLanguage/Compatibility#Browser_support_matrix|les navigateurs pris en charges]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T419142]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.16|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/33|Traduire]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W33&quot;/&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 10 août 2026 à 20:45 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30901051 --&gt;

== Améliorer Wikiversité pour ses vingt ans d'existence ==

Bonjour.

Au sein du mouvement Wikimédia, Wikiversité apparait comme un projet central dans le cadre d'une mission de création de la connaissance libre et de son partage par l'enseignement.

C'est triste à dire, mais l'arrivée de l'intelligence artificielle est une concurrence très rude pour les projets de partage de la connaissance libre, alors que cette concurrence semble moins problématique pour Wikiversité.

En effet, faute d'avoir une sensibilité humaine, l'IA ne sera jamais bonne enseignante, et faute d'avoir un esprit critique, l'IA ne sera jamais bonne dans la production de nouveaux savoirs et de travaux de recherche.

Dans ce contexte, il serait important que Wikiversité corresponde à l'esthétique et aux usages actuels, ainsi qu'au fonctionnement et à l'accueil que l'on peut exiger d'une plateforme d'enseignement et de recherche.

L'idée est donc de travailler sur ces aspects avant de faire une promotion du projet pour ses 20 ans d'existence en date du [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Accueil&amp;oldid=1 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; décembre 2026].

* Au niveau graphique et donc du code CSS, Wikiversité n'est pas du tout au point. Il suffit pour s'en apercevoir de choisir le mode sombre actuellement proposé par MediaWiki. Le rendu sur Kiwix est aussi catastrophique.
* Au niveau fonctionnement, et donc JavaScript, modèles et modules, beaucoup de choses sont manquantes ou non mises à jour.
* Au niveau contenu, de nombreuses discussions ont déjà eu lieu sans qu'aucune initiative n'en soit ressortie. Ces discussions concernent en général les nombreuses ébauches à l'abandon, ou autrement dit coquilles vides, mais on peut aussi se poser des questions au sujet de certains départements, ou facultés, tout aussi vides.
* Au niveau de la politique éditoriale, les choses ne sont pas toujours claires. La confusion entre [[m:Neutral_point_of_view/fr|neutralité de point de vue]] et [[v:mul:Wikiversity:Research_guidelines#Verifiability|vérifiabilité]] est un bel exemple. Il faudrait ensuite se mettre d'accord sur des règles strictes concernant l'interdiction de toute forme de propagande. Si la publicité est plutôt bien contrôlée, les choses deviennent plus compliquées quand il s'agit de prosélytisme, faute d'une réglementation claire à ce sujet.

Avec ses travaux de recherche, son usage des sources primaires et la non-obligation de neutralité de point de vue, Wikiversité représente aussi un espace propice à une [[w:Liberté_académique|liberté académique]] en pleine [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Libert%C3%A9_acad%C3%A9mique&amp;oldid=238414902 régression depuis une vingtaine d'années]. C'est là une autre raison de se mobiliser en faveur d'un développement et de la promotion du projet.

J'aimerais avoir vos commentaires sur cette idée de projet et voir si certains d'entre vous seraient partants pour y consacrer du temps et de l'énergie ?

Bien à tous, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 août 2026 à 15:50 (UTC)

:Bonjour,
:Je trouve ton initiative très courageuse. Cela m'amuserait de t'aider. As-tu le pouvoir d'effacer un cours un département, une faculté.
:Mon idée, par exemple:
:* Études artistiques
:** On remplace les quatres département en un seul.
:** On supprime tous les cours à l'abandon depuis plus de neuf mois, en avertissant l'auteur que son cours risque d'être effacé dans le mois après ce message. Si l'auteur souhaite revenir plus tard on met les liens de ce cours dans sa page personnelle et on sort ces lien de l'espace wiki.
:* Pour la qualité d'un travail, la neutralité, la vérifiabilité,  je pense que l'on pourra le gérer une fois la première partie terminée. 
:Merci et bon courage. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 août 2026 à 08:20 (UTC)
::Heureux de recevoir ce premier commentaire et merci pour les encouragement @[[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ! J'espère bien sûr ne pas faire ça seul.
::Oui, j'ai accès aux outils nécessaires pour la réalisation de tes idées. Es-tu prêt à t'investir dans une page [[Wikiversité:20 ans]] ? Cette nouvelle page permettrait de coordonner le chantier tout en invitant la communauté à prendre des décisions lors que cela s'impose.
::Concernant la suppression de pages à l'abandon, la période d'un an sans modification était d'application, mais le délais a changé faute de temps disponible chez les administrateurs.
::Dans tous les cas, on peut déjà plancher sur la création d'un bandeau d'avertissement dans lequel les conditions et la procédure de suppression ébauches abandonnées serait indiqué.
::Faute d'avoir un robot qui le place automatiquement, ce qui serait une autre tâche possible à réaliser, ce bandeau pourrait alors être posé par toute personne après évaluation, toi par exemple pour les sujets qui s'intéressent. Grâce à une catégorie placée dans le modèle, ces pages serait alors listées, ce qui facilitera leurs suppressions par les administrateurs.
::Partant pour me suivre dans le lancement de la page wikiversité:20 ans ? D'autres personnes intéressées ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 16 août 2026 à 10:54 (UTC)
::Tout à fait d'accord pour déposer les bandeaux d'avertissement. Je pourrais commencer par la faculté &quot;Études artistiques&quot; dès que ces bandeaux seront disponibles. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 août 2026 à 14:10 (UTC)
:::Bonjour à tous ! Merci {{Mention|Lionel Scheepmans}} de remettre le sujet de l'anniversaire - et des défis actuels - sur la table.
:::* Ce qui reste à faire en priorité :
:::** réparer les &quot;MOOCs&quot; ;
:::** [[Wikiversité:La salle café/juin 2026#Gestion des ébauches|supprimer l'échelon &quot;niveau d'avancement&quot; pour les ébauches]] ;
:::** développer les [[Wikiversité:Scolarités|portails de scolarité]].
:::* [[Utilisateur:Fourmidable/Projets|Ce qui peut attendre mais qui pourrait redynamiser le site]] :
:::** Wikiconcours sur les réformes scolaires (pour l'enseignement secondaire en France, [[Wikiversité:Wikiconcours du nouveau bac|une page est déjà créée]]) ;
:::** tutoriels vidéo (je compte m'y atteler prochainement)
:::Je suis d'accord pour utiliser [[Wikiversité:20 ans]] comme page de travail.
:::Bien à vous, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:22 (UTC)
::::Je suis d'accord pour utiliser Wikiversité:20 ans comme page de travail. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 8 septembre 2026 à 10:11 (UTC)
::{{Mention|Xhungab}} : 9 mois, c'est court, et le délai de trois ans permet déjà de supprimer de nombreuses pages. L'idée de notifier les créateurs de leçons abandonnées avant de supprimer unilatéralement leurs travaux me semble très bonne. Pourquoi pas fusionner des départements car dans certaines facultés, ils ne correspondent pas à des disciplines académiques, ce sont souvent simplement des sujets ultra-spécifiques. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:27 (UTC)
:::Chouette @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] east de la partie ! En vrai, c'est lui qui a avancé l'idée des 20 en premier. Nous sommes donc trois. Le minimum requis pour lancer une nouvelle version li'guistique dans Incubator =). Nous pouvons donc créer la page des 20 ans et poursuivre les discussions dans cette espace plus approprié. Ce qui ne nous empèche pas à nous comme à d'autres de poursuivre ici, notamment pour exprimer des souhaits, des craintes concernant le projet. Les encouragements et les adhésions étant aussi les bienvenus évidement. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 16 août 2026 à 14:05 (UTC)
:::Je suis peut‑être un cas particulier, mais il m’est souvent arrivé — surtout à mes débuts sur Wikipédia et d’autres wikis — de déposer des ébauches dont je n’étais pas satisfait, en me disant que j’y reviendrais plus tard, peut‑être une fois à la retraite (ou lors de prochaines vacances) quand j'aurais plus de temps. J’espérais aussi que d’autres contributeurs les amélioreraient entre‑temps, ce qui s’est produit dans l’immense majorité des cas sur Wikipédia.
:::Je sais que c’est beaucoup moins fréquent sur Wikilivres ou Wikiversité, et je le regrette tout en le comprenant : la communauté y est plus petite, et les ébauches y restent souvent longtemps en l’état. Pourtant, ce sont bien les ébauches — même très rudimentaires, comme le célèbre « la pomme est le fruit du pommier » — qui ont permis à Wikipédia de devenir ce qu’elle est. Beaucoup d’articles ont mis des mois ou des années à se développer, et il en restera toujours à compléter : c’est le principe même d’un wiki.
:::Je comprends aussi que, pour un lecteur, tomber sur un grand nombre d'ébauches peut décourager l'exploration et l'intérêt pour wikiversité. Donc, si une ébauche contient des erreurs ou des incohérences difficiles à corriger, il est logique de la supprimer après un certain temps, idéalement avec une alerte avant pour le contributeur. Mais lorsqu’il s’agit d’un plan utile, d’une structure quasi-prête à être enrichie par un futur contributeur qui n’aurait le temps ou les compétences que pour compléter une partie, il me semble judicieux de la conserver dans un espace secondaire, par exemple sous forme de brouillon communautaire. J’imagine que cette idée a déjà été discutée ; peut‑être est‑elle complexe à mettre en œuvre, mais elle pourrait aider à préserver des amorces de contenus prometteurs sans nuire à l’expérience des lecteurs. [[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 16:24 (UTC)
::::Traditionnellement, les espaces brouillons dans l'espace de nom utilisateurs. Une idée serait donc de déplacer les ébauches en sous-page des espaces utilisateurs de leurs auteurs, au lieu de les supprimer et de ne garder dans l'espace principal que les travaux suffisamment avancés pour être dignes d'intérêt. Qu'en pensez-vous ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 22 août 2026 à 23:37 (UTC)
::Le délai de trois ans me semble parfait. Je suis aussi pour fusionner les départements qui n'ont pas un minimum de cours terminer. Par exemple:
::La faculté &quot;Études artistiques&quot; possède quatre départements qui sont pratiquement vides. Mon idée est de réunir ces quatre départements dans une seule feuille &quot;Études artistiques&quot;, dans laquelle on listera uniquement les cours finis. On mettra dans cette page un lien qui dirigera sur les cours en construction.
::Merci. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 août 2026 à 14:06 (UTC)

: Oui, l’IA contribue aujourd’hui — de manière indirecte et involontaire — à détourner des centaines de millions de lecteurs de Wikipédia, tout en s’appuyant massivement sur le travail colossal des bénévoles wikimédiens. C’est paradoxal, parfois triste, mais c’est aussi la conséquence logique d’une licence ouverte qui a fait la force de nos projets (et qui n'est pas à regretter).--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC) 
:Il est vrai que les IA actuelles n’ont ni sensibilité humaine ni véritable esprit critique. Mais il serait imprudent de considérer que cela restera figé : leurs capacités progressent rapidement, et dans un nombre croissant de domaines, il devient difficile de distinguer l’imitation (IA) du modèle (Homo sapiens). D’autant que les humains eux‑mêmes ne sont pas toujours exemplaires en matière de sensibilité ou de discernement. L’avenir est encore plus incertain si l’on pense à l’IA quantique ou aux architectures hybrides utilisant des réseaux de neurones biologiques : mieux vaut rester modestes et prudents. &lt;br&gt;Je ne serais pas surpris que certaines IA deviennent bientôt aussi efficaces que de très bons enseignants (pour les sciences, le code, ses progrès sont déjà spectaculaires semble-t-il), tant en pédagogie qu’en créativité. Cela n’enlève rien au potentiel immense de Wikiversité (potentiel en dormance ? que lui manque-t-il pour s'exprimer ?.. Jimmy Wales rappelait déjà que Wikiversité pourrait représenter une étape majeure : dépasser la simple consultation encyclopédique pour bâtir une communauté mondiale d’apprentissage et de production de savoirs libres. Il a souvent souligné que la transformation de l’éducation en ligne est un enjeu encore plus vaste que la création d’une encyclopédie--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC).
::Je ne connaissais pas ces propos de Jimy @[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]]. Tu te souviens où les avoir vus ? Au sujet de l'IA, on verra comment les choses évoluent. Elles évoluent vite, donc on en a pas pour des années, semble-t-il. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 22 août 2026 à 23:41 (UTC)

:Comme toi, et depuis nos premiers échanges, j’ai toujours pensé que Wikiversité — adossée à Wikipédia, Wikilivres, Wikidata, etc. — avait un potentiel considérable. Mais le projet a souffert de plusieurs facteurs :
: * Le succès écrasant de Wikipédia, plus attractif, plus gratifiant, plus rapide, et porté par une communauté large et pluridisciplinaire. Wikiversité est bien plus exigeante qu’on ne l’imagine : faire de la pédagogie sans connaître son public est un art difficile.
: * La frilosité du monde universitaire, qui a longtemps méprisé ou ignoré les wikis. Beaucoup ont manqué de vision prospective : des thèses collaboratives multilingues auraient pu voir le jour, des laboratoires ouverts auraient pu émerger, mais l’occasion a été manquée.
: * Le référencement catastrophique de Wikiversité par Google, qui a probablement été le facteur le plus pénalisant, sans explication claire.
: =&gt; Plutôt que de supprimer (sauf cas flagrant de cours vraiment sans intérêts) les travaux en cours/cours apparemment abandonnés (ce qui peut-être définitivement démotivant pour ceux qui les ont commencé), on pourrait apposer une bannière remerciant les auteurs mais signalant un besoin urgent d'amélioration... une priorité ne devrait elle pas plutôt être de mobiliser - et donc motiver - de bons wikimédiens pour revitaliser et compléter Wikiversité (mais comment faire, face à la concurrence de tant d'autres choses à faire ?).  Remarque : j'ai co-animé une wikipermanence durant plusieurs années, et j'ai un peu participé aux wiki-formations de thésards avec wikimedia France, dès les premiers essais à Lille, à l'époque des tous premiers Moocs en France. Je vois bien qu'il sera difficile de recruter dans ce milieu où la plupart des étudiant ont un certain sens du bien commun, mais aussi un besoin de répondre à leurs propres besoins (avant d'être happés par la vie professionnel, leurs amours, la maternité/paternité, les difficultés du métier, d'éventuelles difficultés financières, etc.) ... plus qu'aux besoins d'une communauté comme wikiversité... 
: Question : Je n’ai pas pris le temps de chercher ce préalable, mais y a t il eu dans une revue scientifique, une université ou un livre ...ou - chez nous (y compris wikimédia France ou Wikimedia fondation) -  une étude sur les causes du non-décollage de wikiversité (en France ou ailleurs) ? Y a t il des chapitres (pays/langues) où wikiversité a décollé plus vite ou mieux que chez nous et si oui, pourquoi ? quelles leçons pouvons nous en tirer''' =&gt;  Suggestion''' : La wiki-communauté comprend, si je ne me trompe pas, désormais, de nombreux jeunes retraités (la fin des babyboomers), dont d’anciens enseignants, universitaires, documentalistes (un vivier idéal pour relancer un projet pédagogique ? non ? en théorie au moins, resterait à les mobiliser).--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC) 
::Les trois facteurs énoncés sont effectivement pertinents. Quant aux étudiants à l'université, ma propre expérience démontre aussi que si cela ne leur apporte rien en matière d'évaluation, ils ont d'autres préférences que de contribuer aux projets Wikimédia. Ce qui fonctionne bien en revanche, comme je l'ai fait [[Anthropologie numérique/Session UCLouvain 2024|dans le cadre d'un séminaire]], c'est d'intégrer celui-ci dans Wikiversité. La contribution au projet devient alors un travail reconnu dans les crédits d'enseignement. Je ne connais pas d'étude comparative entre les versions linguistiques. Je sais juste qu'un [[:en:WikiJournal_User_Group|Wikijournal]] a vu le jour dans la version anglophone et qu'il y a eu des cours universitaires très fréquentés du côté lusophone. Et en effet, ce serait bien que des profs à la retraite développent des cours sur Wikiversité. Mais, quand tu as fait ça toute ta vie, sans doute que tu n'as plus envie de le faire, non ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 22 août 2026 à 23:55 (UTC)

:Je voudrais aussi évoquer un souvenir personnel : j’ai été vraiment très bien accueilli sur Wikipédia et wikiversité (merci à mes parrains et marraines), mais beaucoup moins sur Wikilivres ou Wikinews, ce qui m’a freiné dans mon investissement sur Wikiversité malgré le soutien de Salix et de quelques anciens que je salue au passage. En tant qu’enseignant, j’ai toujours encouragé mes étudiants à tester les wikis (et wikipédia et wikiversité en premier lieu), à contribuer, à vérifier, à collaborer — pendant que d’autres &quot;professeurs&quot; les menaçaient de sanctions s’ils partageaient leurs connaissances dans des environnements libres, tout en leur expliquant qu’il fallait apprendre à travailler en équipe (&quot;travaux de groupe&quot; disait on autrefois)
: Reste le contexte complexe de l’IA émergente évoqué plus haut par Lionel... Je ne sais pas encore qu'en penser vraiment mais on ne peut plus l'ignorer. L'IA générative et peut-être bientôt une &quot;superintelligence&quot; va-t-elle manger &quot;nos&quot; wikis ? (certaines IA citent souvent wikipédia comme source je crois, Wikiversité je ne crois pas car wikiversité n'a pas atteint une taille ni une qualité ni une notoriété ou reconnaissance académique qui la rendrait crédible et utile pour une IA (je me trompe ?) --[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC)
::Aucune idée concernant l'IA. Au niveau académique en revanche, mon expérience a été très décevante. Au départ de ma page utilisateur, on peut voir que j'ai utilisé Wikiversité en tant qu'étudiant, doctorant et finalement professeur. Mon expérience me semblait inspirante, mais personne ne s'y est jamais intéressé, ni du côté de l'université, ni du côté du mouvement Wikimédia. Ce fut à l'origine d'une forte démotivation de ma part dans les deux sphères d'activité.  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 23 août 2026 à 00:00 (UTC)

P.S. Abonnez-vous à cette discussion si vous voulez poursuivre son évolution en cliquant sur l'option à droite du titre ci-dessus.
: Fait {{Sourire}} --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:24 (UTC)

:Beaucoup de remarques iet de témoignages ntéressants @[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]]. Je vais prendre le temps d'y réfléchire. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 16 août 2026 à 23:48 (UTC)
::Voici plus d'une semaine que la discussion a été lancée. Je doute qu'il y aura d'autres personnes intéressées. Ça vous dit de se faire une rencontre vidéo, question de gagner du temps au niveau des échanges, tout en se motivant mutuellement ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 23 août 2026 à 00:02 (UTC)
:::Je viens de lire ce fil ?
:::Le serpent de mer sort la tête de l'eau pour survivre ?
:::Ou, dois-je dire : &quot;Hourrah ! bonne nouvelle ?
:::Je suis intéressée au projet. Mais je n'aime pas enfiler les perles brisees.
:::Donc, il faudra un plan de travail et des résultats. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 31 août 2026 à 17:07 (UTC)
::::Bonsoir à tous,
::::Je précise ma participation au projet.
::::Je suis favorable au chantier des vingt ans, à condition qu’il soit organisé autour d’un plan de travail, de responsables identifiés, d’échéances et de résultats vérifiables.
::::Avant toute suppression massive, je propose d’établir un inventaire qualitatif des contenus et de distinguer les pages vides, obsolètes, erronées, inachevées mais réutilisables, temporairement interrompues ou relevant de l’[[Recherche:Accueil|espace Recherche]]. Le délai d’inactivité ne devrait être qu’un signal d’examen, non un motif automatique de suppression.
::::Le chantier devrait comprendre six axes : 
::::1. Inventaire 
::::2. Architecture du site,
::::3. Cycle de vie des contenus, 4. Règles éditoriales,
::::5. Accueil des publics
::::6. Modernisation technique.
::::Il faudrait également ouvrir deux dossiers aujourd’hui indispensables : 
::::1. Les conditions d’accueil des recherches et des thèses ; 
::::2. La traçabilité des usages de l’[[Intelligence artificielle|intelligence artificielle]].
::::Le [[Wikiversité:20 ans|chantier des vingt ans]] ne part pas de zéro. Plusieurs groupes locaux disposent déjà d’expériences intéressantes en matière de formation, d’accompagnement des publics et d’organisation d’ateliers. Un recensement comparatif de ces expériences permettrait d’identifier les pratiques transférables et d’éviter de recommencer ce qui a déjà été expérimenté.
::::Le Groupe local Bourges–Vierzon pourrait contribuer à ce travail en proposant un terrain d’expérimentation pour l’année 2026-2027 : 
::::* Ateliers présentiels
::::* Supports publiés sur Wikiversitè 
::::* Productions accompagnées
::::* Comptes rendus avec évaluation des difficultés rencontrées par les participants.
::::Je propose enfin que chaque action inscrite sur [[Wikiversité:20 ans]] indique :
::::1. le problème traité
::::2. le public concerné
::::3. le responsable
::::4. l’échéance, le statut et le résultat attendu. 
::::Le 1{{er}} décembre constituerait alors un premier jalon public, et non la promesse irréaliste d’une rénovation complète. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 1 septembre 2026 à 21:23 (UTC)
:::::Je suis prête à contribuer aux trois volets suivants :
:::::1. Recherche et thèse, en prenant appui 
:::::* sur les travaux que j’ai déjà réalisé sur Wikiversité en français et 5 autres projets Wikimedia
:::::2. Les travaux bibliographiques développés dans l’écosystème Wikimedia, saisie des données bibliographiques sur Wikidata et transfert dans Wikiversitè 
:::::3. Les usages pédagogiques territoriaux, à partir des expériences déjà conduites par plusieurs  groupes locaux et l’expérimentation en cours menées avec les groupes de Bourges et de Vierzon.
:::::4. Mes usages de l'Intelligence artificielle pour la recherche et l'enseignement en Sciences Humaines et Sociales &amp; la traçabilité des productions.
:::::A quoi s'ajoutera l’expérience des résidences Wikimédia pour l’enseignement supérieur et la recherche, notamment celles conduites au sein des [[w:Unité régionale de formation à l'information scientifique et technique|URFIST]] ;
:::::Cette contribution suppose que le chantier débouche effectivement sur des décisions, des actions identifiées et des livrables consultables.
:::::(Je ne suis pas très douée pour les contributions sur les projets Wikimedia à partir d'un téléphone portable)
:::::Bel Bonjour à tous. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 1 septembre 2026 à 21:55 (UTC)
:::La visio est une bonne idée, mais il faudra trouver un créneau commun ^^&quot; Personnellement, je suis encore disponible tous les jours en matinée cette semaine et probablement la suivante. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 1 septembre 2026 à 09:25 (UTC)
::::Pardon pour mon silence estival... Faire le ménage de temps en temps est assurément nécessaire et le faire avec un plan de rangement est appréciable. L'idée de mettre en sous page du créateur les leçons et autres structures de leçons non terminées me semble être une réponse adéquate. La promotion de WV via des youtubeurs ayant &quot;pignon sur rue&quot; serait peut-être nécessaire. Travailler les liens interwikis aussi... Les structures des facultés vides doivent contenir le message standard pour le lecteur-chercheur d'info: &quot;leçon inexistante- avons besoin de votre concours avisé&quot;Par rapport aux risques liés à l'IA, je n'ai pas les idées très claires... L'usage de nos travaux par les IA's est lié au copyleft encadré. Le versement d'un cours établi en grande partie par l'IA est tout autant possible que le versement d'un plagiat d'un manuel ou d'une synthèse encyclopédique. Il faut peut-être insister sur la nécessité de sourcer ce qui peut l'être... Décembre va arriver vite. Nous organiser est donc urgent...[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 1 septembre 2026 à 17:33 (UTC)
:::::Sur l'usage de Wikimedia par les IA, je pense qu'il faut travailler sérieusement la question en mettant en avant des critères scientifiques. Wikiversitè est le bon endroit pour le faire. Encore faut-il créer de véritables laboratoires numériques de recherche. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 1 septembre 2026 à 22:07 (UTC)
::::::@[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] @[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] @[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] @[[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]], heureux de voir que l'équipe se renforce. Effectivement, la période de vacances n'est pas celle où les gens sont les plus disponibles. Pour ma part, cela dépend beaucoup de la météo. Quand il fait beau, je passe moins de temps sur le net. Sauf en soirée et en début de nuit.
::::::* Pour les '''réunions en audio ou vidéo'''. Il existe Jisti qui nous permet de lancer un salon de conversation sur lequel on peut se connecter avec un simple navigateur en acceptant le partage de votre micro et caméra. Voici le lien : https://meet.jit.si/Wikiversit%C3%A9%2020%20ans que je propose. Il nous reste à définir le jour et l'heure. On peut toutefois s'y rendre dès que l'on va travailler sur le projet et que l'on se sent prêt à communiquer verbalement. Il faut se connecter pour lancer un salon, mais pas pour le rejoindre. La connexion peut se faire avec un compte Google. J'imagine donc que la plupart d'entre nous seront capables de lancer le salon.
::::::* Pour '''organiser le chantier'''. Le plus simple, à mes yeux, c'est de tout centraliser sur la [[Wikiversité:20 ans|page des 20 ans]] (discussion, plan de travail, équipe, responsabilité, vote d'acceptation, etc.) en utilisant [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]] uniquement pour discuter de l'organisation et de la structuration de la page en question, mais pas de son contenu. On peut aussi utiliser la page de discussion pour convenir de rendez-vous en visioconférence.
::::::On fait ça ? Chacun complète la page des 20 ans selon sa vision des choses (pensez à modifier par section pour éviter les conflits d'édition) et on se retrouve sur sa page de discussion pour les questions de structuration de la page et pour les prises de rendez-vous en visioconférence ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:20 (UTC)
::::Je suis d'accord pour une visio au cours de la première semaine de novembre. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 8 septembre 2026 à 11:20 (UTC)

Si besoin je peux aider pour les pages où les droits d'admins ne suffisent pas. Vu que le projet concerne tout le monde, j'en profite aussi pour notifier les personnes ayant le plus contribué à la Wikiversité en 2026 : {{ping|Projet PEP|Psychoslave|Mekkiwik|Guillaume FOUCART|Fourmidable|PandaMystique|Crochet.david|Octogénaire|Lionel Scheepmans|Marvoir}} {{ping|Solstag|Jules*|Phl7605|Cdang|JackPotte}}. Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 12 septembre 2026 à 17:07 (UTC)

:Salut @[[Utilisateur:VIGNERON|VIGNERON]]. C'est cool que l'on puisse aussi compter sur toi et bonne idée de notifier les personnes les plus actives. Qu'entends-tu par une aide là où « les droits d'admin ne suffisent pas » ? As-tu un exemple ? Ferais-tu partie des personnes qui ont un droit d'accès en modification du code PhP sur les serveurs Wikimédia ? Si c'est le cas, nous avons déjà une [[Wikiversité:La salle café/mars 2026#Outil de traduction|demande d'installation de l'outil de traduction.]] Bien à toi, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 13 septembre 2026 à 12:50 (UTC)

==Wikilivres:Prise de décision/Créer un espace lecteurs et un espace auteurs sur la page d'accueil==
J'ai posé une demande de prise de décision concernant le sujet suivant : [https://fr.wikibooks.org/wiki/Wikilivres:Prise_de_d%C3%A9cision/Cr%C3%A9er_un_espace_lecteurs_et_un_espace_auteurs_sur_la_page_d%27accueil Créer un espace lecteurs et un espace  Les coulisses de Wikibook].
La page ci-dessus présente une explication détaillée du problème et de sa solution possible. Me sentent un peu seul dans ce combat. Je me permets de solliciter votre aide.
Je pense que ce travail pourrait être mis en place sur Wikiversité.
Merci [https://fr.wikibooks.org/wiki/Utilisateur:Xhungab Xhungab] [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 6 septembre 2026 à 05:19 (UTC)
:Bonjour @[[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]]. Content de te revoir dans les murs de Wikiversité après nos échanges sur Wikilivres. Je comprends ton sentiment de solitude, je le ressens aussi souvent. Il faut l'accepter et ne pas se décourager pour autant. Nous avons la chance de fonctionner dans une organisation bénévole, dans laquelle personne n'est tenu de répondre à des demandes. De ce fait, les choses évoluent lentement et en fonction des disponibilités. Dis-toi aussi que la période estivale est toujours un moment d'acalmie dans la participation. Moi par exemple, quand il fait bon, je préfère passer du temps sur des occupations extérieures que devant un écran.
:Cela dit, tu dois garder 3 règles implicites qui sont fréquemment appliquées dans les projets Wikimédia.
:1. ''Qui ne dit mot consent''. Si les personnes ne réagissent pas, cela ne veut pas dire qu'elles ne lisent pas. Par économie de temps et pour les personnes trop occupées ou pas assez motivées pour s'investir, ne pas réagir est un signe de consentement implicite.
:2. ''Les absents ont toujours tort.'' Lorsque l'on fait les choses dans les règles de l'art, par exemple comme tu le fais en lançant une prise de décision pour opérer un changement significatif dans Wikilivres, aucune personne absente durant un processus de décision clôturé viendra remettre en cause les choses par la suite.
:3. La doocratie. Les wikis sont des espaces de libertés au niveau de l'amélioration des contenus, mais également de l'organisation et des formes de contenus. En dehors du vandalisme qui est bien contrôlé par des personnes telles que @[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]], toute initiative est souvent perçue comme bienvenue. @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]], par exemple, depuis qu'il est administrateur, a fait de nombreuses améliorations dans Wikiversité sans demander l'avis de la communauté. Personne ne lui a reproché son investissement. Si quelque chose qu'il a entrepris ne plaît pas à quelqu'un, une discussion commence entre lui et cette personne pour chercher une entente.
:Voilà tout.
:Je te rejoins aussi sur le fait que ce qui est décidé et mis en place sur Wikilivres peut tout à fait servir d'exemple pour Wikiversité et vice versa. Je ne suis pas le seul à être administrateur dans les deux projets et cela aide beaucoup à la création d'une synergie entre les deux projets qui sont finalement très complémentaires. Cela n'est pas étonnant d'ailleurs lorsque l'on sait que Wikiversité est né de Wikilivres.
:Une belle fin de journée à toi et à tous ceux qui liront ce message.  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 6 septembre 2026 à 11:19 (UTC)
::@[[Utilisateur:DavidL|DavidL]], @[[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]], @[[Utilisateur:Grondin|Grondin]], quelqu'un pourrait nous dire le délai nécessaire avant la clôture d'une prise de décision dans Wikilivres ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 6 septembre 2026 à 11:33 (UTC)
:::Bonjour, à ma connaissance il n'y a pas de délai minimum ni maximum. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 9 septembre 2026 à 06:45 (UTC)

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-34&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W34&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/34|Translations]] are available.

'''Weekly highlight'''
* The [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CampaignEvents/Registration/Worklist|Worklist feature]] for the Event Registration tool is now live on all Wikimedia wikis. With Worklist, event organizers can add the articles their event will focus on directly to the event page. The Worklist also powers [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CampaignEvents/Registration/Worklist#How Event Pathways uses the worklist|Event Pathways]] which notifies other editors of the upcoming or ongoing event when they edit an article featured in the event's Worklist. This is the minimum viable version (MVP), and feedback is welcome. Organizers are encouraged to try the feature. A hands-on [[m:Special:MyLanguage/Event:Worklist Setup Workshop: Get Your Event Ready|Worklist Setup Workshop]] will take place on 18 August at 16:00 UTC and 19 August at 11:00 UTC.

'''Updates for editors'''
* [[Special:ShortPages]] displays short pages by their size, but in many cases it gets filled with disambiguations and soft redirects, making it harder to find the short articles themselves. Starting this weekend, you will be able to choose not to include an article in the special page by adding the magic word &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;__EXPECTSHORTPAGE__&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. [https://phabricator.wikimedia.org/T433203]
* One new wiki has been created: a {{int:project-localized-name-group-wikipedia/en}} in [[d:Q3436680|Bole]] ([[w:bol:|&lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;w:bol:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;]]) [https://phabricator.wikimedia.org/T429921]
* Starting the week of August 17, the page toolbar will wrap onto two lines when there is not enough horizontal space for all the buttons. This is a [[phab:T429518|fully merged patch from the Reader Experience team]] which aims to reduce crowding in the Vector 2022 toolbar, that may occur on some language Wikipedias at certain screen widths.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:16}} community-submitted {{PLURAL:16|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, uploading large files to Wikimedia Commons has become more stable and less prone to failure following some fixes related to the “Could not acquire lock” upload error. [https://phabricator.wikimedia.org/T386640]

'''Updates for technical contributors'''
* Debian Bullseye will reach the end of its Long Term Support on 31 August 2026. [[phab:T434103|Some Cloud VPS projects]] still have instances running Debian Bullseye. Maintainers of those projects are encouraged to migrate to Debian Bookworm or Debian Trixie. A [[wikitech:Help:Cloud VPS instance operating system migration|migration guide]] is available to help with the process, and users may also want to consider whether their workload is better suited to Toolforge. If you need help or cannot complete the migration by 31 August, please contact the Cloud VPS admins as soon as possible. [[listarchive:list/cloud-announce@lists.wikimedia.org/thread/RVIPQSYLKMSL5M46JP6NEJVGVE6I2RXQ/|Read more]].
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.16|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/34|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W34&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 17 août 2026 à 21:03 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30922806 --&gt;

== Growth/Newsletters/36 ==

&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
[[File:Growth team logo - Icon only.svg|right|180px|frameless|class=skin-invert]]

''Mises à jour de l'équipe [[mw:Special:MyLanguage/Growth|Growth]] sur notre travail pour améliorer l'expérience utilisateur du nouvel éditeur.''

&lt;span id=&quot;Recent_releases&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Modifications récentes ===

&lt;span id=&quot;Account_creation_experiments&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==== Expériences de création de compte ====

Plusieurs [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments|expériences visant à améliorer le taux de réussite de la création de comptes]] ont donné des résultats significatifs.

* Un message mis à jour, affiché aux utilisateurs mobiles non connectés qui tentent de modifier une page, a entraîné une augmentation relative de 27 % du nombre de créations de comptes et est en cours de déploiement sur tous les wikis. ([[phab:T424595|T424595]])
* Un nouveau bouton de menu de compte est présent dans l'entête du site pour mobile, [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments#Experiment Results: Mobile Web Account Menu|testé en A/B sur cinq Wikipédias auprès de près de 8 millions de participants]], a incité les utilisateurs mobiles non connectés à créer un compte avec une probabilité supérieure de 25 %, sans différence significative dans leur comportement en matière de modifications constructives. ([[phab:T428220|T428220]]) 
*Une boîte de dialogue de post-édition plus simple destinée aux titulaires de comptes temporaires a permis d'augmenter de 87 % (en valeur relative) le nombre de créations de comptes permanents, ce qui a permis de convertir davantage de contributeurs temporaires en contributeurs enregistrés. ([[phab:T416418|T416418]])[[File:Create account - July 2026 updates.png|thumb|Le nouveau formulaire de création de compte a permis d'augmenter le nombre d'inscriptions de 24,4 % en valeur relative.]]
*Nous avons aussi repensé le formulaire de création de compte lui-même ([[phab:T409236|T409236]]) : nous y avons ajouté une validation en temps réel du nom d'utilisateur, un résumé concis de la politique relative aux noms d'utilisateur, une option &quot;afficher le mot de passe&quot; et une mise en page simplifiée conforme aux directives du [[wmdoc:codex/latest|Codex]]. Lors d'un test A/B mené sur la version mobile de Wikipédia en anglais, les utilisateurs ayant vu le formulaire remanié ont créé des comptes permanents à un taux de 20,4 %, contre 16,4 % pour le groupe témoin (soit une augmentation relative de 24,4 %).

&lt;span id=&quot;Revise_Tone_structured_task&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==== Tâche structurée de révision du ton ====
[[mw:Special:MyLanguage/Growth/Revise Tone|Reviser le ton]] aide les nouveaux contributeurs à repérer les passages susceptibles de contenir un langage non encyclopédique et les guide dans la révision du ton.
Lors de tests A/B menés sur les Wikipédias en arabe, en anglais, en français et en portugais, les taux d'achèvement des tâches par les nouveaux contributeurs étaient [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Revise Tone#Experiment Results|supérieurs de 38,7 %]] à ceux de la tâche de relecture par défaut, sans que la qualité des modifications n'en soit affectée.
Le test s'est achevé le 9 juillet, et cette fonctionnalité est désormais accessible à tous sur ces wikis ; elle peut être configurée via la configuration de la communauté.
[[phab:T426364|Nous prévoyons]] de déployer la fonctionnalité &quot;Revise Tone&quot; sur d'autres wikis.

&lt;span id=&quot;Automated_mentor_list_cleanup&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==== Nettoyage automatisé de la liste des mentors ====
Les communautés peuvent désormais [[mw:Special:MyLanguage/Help:Growth/Mentorship#Automated mentor list cleanup|marquer automatiquement les mentors inactifs comme ''absents'' ou les retirer complètement du programme de mentorat]] (ce qui entraîne la réaffectation automatique de leurs mentorés).
L'inactivité est évaluée en fonction des modifications, et les réponses sur les pages de discussion sont prises en compte ; ainsi, les mentors qui répondent aux questions de leurs mentorés restent actifs.
Nous vous recommandons d'activer ces deux options simultanément ; les administrateurs peuvent les activer via [[Special:CommunityConfiguration]] et consulter la liste des mentors via [[Special:ManageMentors]].

&lt;span id=&quot;Growth_features_for_Wikidata&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==== Fonctionnalités de Croissance pour Wikidata ====

Les fonctionnalités liées à la croissance sont [[phab:T400937|désormais disponibles sur Wikidata]], notamment une page d'accueil simplifiée pour les nouveaux arrivants, le programme de mentorat, le module &quot;Impact&quot;, les actualités de la communauté et le panneau d'aide.

&lt;span id=&quot;Work_in_progress&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Travail en cours ===
[[File:Home designs labeled.png|thumb|Premiers concepts pour faire évoluer la page d'accueil des nouveaux arrivants vers une page 'Accueil' personnalisée qui évolue au fur et à mesure que les contributeurs s'impliquent.]]

&lt;span id=&quot;Home&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==== Accueil ====
Les équipes Growth et [[mw:Special:MyLanguage/Moderator Tools|Modération]] sont en train de développer le projet [[mw:Special:MyLanguage/Home|''Home'']] ([[phabricator:T419358|T419358]]) : une page d'accueil unifiée, personnalisée et destinée à remplacer la page d'accueil des nouveaux arrivants.
Plutôt que de rester une fonctionnalité réservée aux nouveaux utilisateurs, Accueil évoluera au fur et à mesure que les utilisateurs gagneront en expérience, en leur proposant des suggestions de modifications, des modifications à valider et des processus de modération au moment opportun.

&lt;span id=&quot;Research&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Recherche ===

L'[https://research.wikimedia.org/ équipe de recherche de Wikimedia], en partenariat avec l'équipe croissance, a publié les conclusions de deux projets portant sur la manière dont les nouveaux contributeurs apprennent et s'intègrent à la communauté :

* [[m:Research:Understanding_newcomer_mentorship_on_Wikipedia|Comprendre le mentorat des nouveaux contributeurs sur Wikipédia]]
* [[m:Research:Successful_Newcomers_Survey_2025#Results|Enquête sur la réussite des nouveaux arrivants]] 

''&lt;small&gt;'''[[mw:Special:MyLanguage/Growth/Newsletters|La lettre d'information de l'équipe Croissance]]''' préparée par [[mw:Special:MyLanguage/Growth|l'équipe Croissance]] et publiée par [[m:User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[mw:Talk:Growth|Donner son avis]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/Growth team updates|S'abonner ou se désabonner]].&lt;/small&gt;''
&lt;/div&gt; 18 août 2026 à 13:17 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Growth_team_updates&amp;oldid=30870183 --&gt;

== Actualités techniques n° 2026-35 ==

&lt;section begin=&quot;technews-2026-W35&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/35|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Actualités pour la contribution'''
* La page [[Special:CreateAccount|Spécial:Créer_un_compte]] a été simplifiée dans le cadre des travaux en cours visant à moderniser le processus de création de compte. Le panneau affichant les statistiques du projet n'apparaît plus à côté du formulaire, que ce soit sur ordinateur ou sur mobile. Plusieurs tests portant sur la création de comptes ont montré qu'un formulaire plus simple aidait les nouveaux utilisateurs à mener à bien leur inscription. [https://phabricator.wikimedia.org/T433783]
* Afin d'améliorer les performances de la page, les images ne se chargent désormais que lorsqu'elles sont visualisées. Cela signifie que les images situées plus bas dans un article ne se chargeront pas si le lecteur ne fait jamais défiler la page jusqu'à cette partie, ce qui peut avoir une incidence sur certains indicateurs liés aux images. [https://phabricator.wikimedia.org/T148047]

* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:42|la tâche soumise|les {{formatnum:42}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:42||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème empêchant l'affichage des vignettes d'images sur Abstract Wikipedia après le déplacement du fichier correspondant sur Wikimedia Commons a désormais été résolu. Les vignettes s'actualisent désormais correctement lorsque les fichiers sont déplacés. [https://phabricator.wikimedia.org/T433448]

'''Actualités pour la contribution technique'''
* La fiche d'informations sur l'utilisateur est une fonctionnalité qui permet aux modérateurs de consulter des informations sur les comptes d'utilisateurs. Jusqu'à présent, elle n'était disponible que dans des sections telles que l'historique des pages, les journaux et les modifications récentes. Désormais, il est également possible de [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CheckUser#User_Info_card_in_page_content|l'insérer dans le contenu d'une page]] à l'aide de la fonction d'analyse &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{#uic:}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. Cela peut s'avérer particulièrement utile dans des modèles tels que [[:en:Template:Userlinks|&lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{Userlinks}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;]] (ou leurs variantes spécialisées), car cela facilitera la compréhension du contexte relatif à un ou une utilisatrice sur les divers forums communautaires. La fiche ne s'affichera que pour les utilisateurs qui l'ont activée dans leurs [[Special:Preferences#mw-input-wpcheckuser-userinfocard-enable|préférences]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T424466]
* En raison des risques liés à la sécurité et à la confidentialité des utilisateurs, nous avons désactivé l'accès aux URL utilisant &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;Special:MyPage&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; (Spécial:Ma_page) avec l’argument &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;action=raw&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. Si vous êtes concerné par cette mesure, demandez-vous s'il est possible d'adopter une autre approche. Les URL utilisant &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;Special:MyPage&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; restent accessibles et utilisables sans &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;action=raw&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. Les URL de pages utilisateur spécifiées (par exemple, &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;User:Myusername&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;) peuvent toujours être utilisées avec &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;action=raw&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. [https://phabricator.wikimedia.org/T120386]
* Suite à une mise à jour, le logiciel de création de vignettes a été amélioré. En effet, &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;librsvg&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; a été mis à jour vers la version 2.60 et &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;ImageMagick&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; vers la version 7. Cela a permis la résolution d’un certain nombre de bugs de longue date liés à la création de vignettes, tels que des erreurs de rendu. [https://phabricator.wikimedia.org/T419815#12222841]

* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.17|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/35|Traduire]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W35&quot;/&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 24 août 2026 à 20:45 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30961208 --&gt;

== Actualités techniques n° 2026-36 ==

&lt;section begin=&quot;technews-2026-W36&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/36|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''En lumière cette semaine'''
* Un nouveau format pour la liste de souhaits de la communauté est ouvert aux commentaires. Vous pouvez [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Community Wishlist 2027|lire les idées proposées sur Meta]]. Ce nouveau processus prévoit d'améliorer la manière dont les souhaits sont triés, votés et priorisés d'une manière transparente et équilibrée entre les familles de projets et les éditions linguistiques. Cette consultation est ouverte pendant deux semaines.

'''Actualités pour la contribution'''
* La dernière version de l'application Wikipédia pour Android comprend des mises à jour de la fonctionnalité «Enregistrés», qui rapprochent l'expérience d'enregistrement de l'application de celle proposée sur iOS et sur le Web. Cette mise à jour repense l'onglet «Enregistrés» en proposant une vue «Tous les articles», supprime la liste de lecture par défaut «Enregistrés», renomme les listes de lecture «Collections» et modernise l'expérience de sauvegarde des articles. [https://phabricator.wikimedia.org/T420788]
* La fonctionnalité [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|Listes de lecture]] a été activée pour tous les utilisateurs connectés sur les versions de Wikipédia en bengali, chinois, tchèque et vietnamien le 25 août, après plusieurs mois en tant que fonctionnalité bêta. Les listes de lecture seront disponibles pour tous les utilisateurs connectés sur les versions de Wikipédia en arabe, français et indonésien le 1er septembre, suivies par la Wikipédia en anglais le 14 septembre, et toutes les autres versions de Wikipédia le 28 septembre.
* À la fin du mois, certains lecteurs non connectés sur les versions en bengali, tchèque, persan, anglais et polonais de Wikipédia utilisant l'habillage Minerva sur mobile verront une [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader_Growth/Minimal_Minerva|barre de navigation mise à jour]] dans le cadre d'un [[w:A/B test|test A/B]]. Le test comparera la barre de navigation actuelle avec une nouvelle version conçue pour faciliter la recherche d'informations plus rapidement. L'objectif est de déterminer si ces changements encouragent les lecteurs à revenir plus souvent. Cette expérience n'aura aucune incidence sur l'expérience des lecteurs et/ou des rédacteurs connectés.
* Les contributeurs qui gèrent les redirections, les modèles et les catégories utilisés sur les pages de redirection disposent désormais de meilleurs moyens pour trouver et organiser les redirections. Auparavant, il n'était pas possible de rechercher les pages de redirection. Deux nouveaux mots-clés de recherche, &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;onlyredirects:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; et &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;withredirects:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;, permettent désormais de rechercher directement les redirections et peuvent être combinés avec des mots-clés existants tels que &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;incategory:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;, &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;intitle:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; et &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;insource:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. [https://phabricator.wikimedia.org/T204089]
* Les outils de recherche ISBN pour générer des citations ne fonctionnaient pas récemment en raison de problèmes de service externe. Les développeurs travaillent sur des solutions. [https://phabricator.wikimedia.org/T435179]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:30|la tâche soumise|les {{formatnum:30}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:30||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où la recherche de pages par catégorie à l'aide de &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;deepcat&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; pouvait ne renvoyer aucun résultat ou des résultats sans rapport a été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T414859]

'''Actualités pour la contribution technique'''
* Le domaine des URL pour les miniatures passe de upload.wikimedia.org à thumb.wikimedia.org. Les anciennes URL continueront de fonctionner pour le moment, mais MediaWiki utilisera le nouveau domaine à la place. Les URL vers d'autres types de médias tels que les fichiers originaux, les vidéos et les transcodages seront toujours servies depuis upload.wikimedia.org. [https://phabricator.wikimedia.org/T427465]
* L'API Math de Wikimédia [https://www.mediawiki.org/w/index.php?api=wmf-math%2Fv1&amp;title=Special%3ARestSandbox] est désormais obsolète. Ces points de terminaison seront complètement arrêtés d’ici la fin de septembre 2026. Les développeurs qui appellent ces points de terminaison devraient passer à des solutions alternatives de rendu mathématique, telles que le [https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/MathML MathML] natif ou [https://www.mathjax.org/ MathJax]. Les installations tierces de MediaWiki utilisant l'extension Math pour le rendu des formules doivent effectuer une mise à jour vers la version 1.43+ afin d'éviter toute interruption de service.

* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.18|MediaWiki]]

'''En détails'''
* Lisez-en plus sur [[mw:Special:MyLanguage/Edit_check/TextMatch|TextMatch]] dans un article de Diff intitulé [[diffblog:2026/08/28/custom-edit-suggestions-for-every-wiki-how-communities-are-shaping-suggestion-mode-with-textmatch/|Suggestions de modifications personnalisées pour chaque wiki : comment les communautés façonnent le mode Suggestion avec TextMatch]].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/36|Traduire]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W36&quot;/&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 31 août 2026 à 20:53 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30990659 --&gt;</text>
      <sha1>3x107202qyfvb5jk8hcs5irkyt5f07i</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>986527</id>
      <parentid>986526</parentid>
      <timestamp>2026-09-13T13:26:02Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>VIGNERON</username>
        <id>95</id>
      </contributor>
      <comment>/* Améliorer Wikiversité pour ses vingt ans d'existence */ +</comment>
      <origin>986527</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="73273" sha1="s42cz740n556qznss1g90er43i3uneq" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
&lt;noinclude&gt;{{SC|2026|08}}{{Clr}}&lt;/noinclude&gt;

== Actualités techniques n° 2026-32 ==

&lt;section begin=&quot;technews-2026-W32&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/32|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Actualités pour la contribution'''
* L’[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience|équipe Expérience de lecture]] a développé une [https://82db7c8d4b.catalyst.wmcloud.org/w/index.php?title=Regent%27s_Park&amp;uselang=de démonstration d’un correctif] qui entoure la barre d’outils sur deux lignes quand il n’y a pas assez d’espace horizontalement pour tous les boutons. Le but est de réduire l’encombrement de la barre d’outil de Vector 2022 qui se constate parfois sur Wikipédia dans certaines langues avec certaines tailles d’écran. [https://phabricator.wikimedia.org/T429518]
* L’équipe Expérience de lecture prévoit de lancer les [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|Listes de lecture]], un [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey 2021/Mobile and apps/Have Apps reading lists available on Destop/Mobile|souhait de la communauté]] que vous pouvez déjà essayer en bêta, à partir de septembre. Mais avant cela, l’aide des traducteurs et traductrices est nécessaire pour [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ATranslate&amp;group=ext-readinglists&amp;filter=&amp;action=translate plusieurs messages] à traduire dans un maximum de langues. Cette fonctionnalité appuie les objectifs de lecture et d’apprentissage sur Wikipédia.
* La semaine prochaine, le sommaire sur les pages des fichiers de Wikimedia Commons sera amélioré en fusionnant le sommaire spécifique aux pages de fichier avec le sommaire classique des pages. Cela rendra plus facile la compréhension de la structure des pages de fichier, la navigation vers une section spécifique et le partage de liens vers une section en particulier. [https://phabricator.wikimedia.org/T332644]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:24|la tâche soumise|les {{formatnum:24}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:24||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, certaines images [[w:fr:Tagged Image File Format|TIFF]] ne s’affichaient pas après avoir cliqué sur leur vignette : une image cassé s’affichait au lieu de l’image en taille réelle. Ce problème est désormais corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T429326]

'''Actualités pour la contribution technique'''
* Le sélecteur de variables et de fonctions dans les Filtres anti-abus a été mis à jour pour prendre en charge la recherche et l’autocomplétion. Il permettra désormais aux mainteneurs de filtres de retrouver la variable ou fonction désirée plus rapidement. [https://phabricator.wikimedia.org/T323698]
* Les formats MJPEG et VP8 sont retirés du lecteur vidéo. Le format MP4 (MPEG-4 Partie 2) est ajouté à la place : il fournit une meilleure qualité pour les vieux modèles d’iPhone. Plusieurs semaines seront peut-être nécessaires pour mettre à jour toutes les vidéos déjà en ligne. Le format par défaut pour les appareils modernes ne change pas (VP9/WebM). [https://phabricator.wikimedia.org/T358266]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.15|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/32|Traduire]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W32&quot;/&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 3 août 2026 à 19:46 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30872536 --&gt;

== Les RAW en mode fiesta sur la Wikimania ==

&lt;div style=&quot;background-color:#177860; border-radius:.2em;  color:#FFF;padding: 1em;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;font-family: Century Gothic; font-size:3em; line-height:120%;text-align:center;color: #fff;&quot;&gt;RAW&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;margin-bottom:1.5em; margin-top:1em; text-align:center; color: #fff;&quot;&gt;Le numéro d'août 2026 (n°295) est sorti.&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;center&quot;&gt;[[:w:Wikipédia:RAW/2026-08-05|&lt;span class=&quot;cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled&quot; style=&quot;white-space:break-spaces; text-align:center; gap:0;&quot;role=&quot;button&quot; aria-disabled=&quot;false&quot;&gt;Lire l'infolettre&lt;/span&gt;]]&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

'''Un numéro exceptionnel'''

La conférence Wikimania s'est achevée le 25 juillet. Que vous ressentiez de la frustration (si vous n’avez pas pu y assister) ou du [[:w:Wikipédia:Wikispleen|wikispleen]] (si vous y étiez et que vous avez du mal à digérer que ce soit déjà fini), l’équipe des RAW n’a pas ménagé ses efforts pour vous proposer un numéro XXL qui revient en long, en large et en travers sur cet événement qui le mérite bien. Comptes-rendus, témoignages, entretiens, il y en aura pour tous les goûts ! Le numéro est aussi exceptionnel par le nombre de rédactrices et de rédacteurs qui y ont participé — merci ! 

Au-delà de Wikimania, l’actualité wikimédienne est loin d’être paisible cet été. Nous vous proposons donc aussi de revenir en détail sur la crise qui secoue la fondation Wikimédia autour de la reconnaissance du syndicat Wiki Workers United (WWU). Nous aurons probablement l’occasion de couvrir la suite de cette histoire dans le prochain numéro. D’ici là, bonne lecture !

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Au menu de ce numéro :

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white&quot;&gt;En bref&lt;/span&gt;''' — Des actualités francophones et du mouvement Wikimédia et des nouveaux outils

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white&quot;&gt;Dossier spécial Wikimania&lt;/span&gt;'''

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black&quot;&gt;Les POV&lt;/span&gt;'''&lt;br&gt;— Ma Wikimania : la joie, l'inquiétude et la raison d'être&lt;br&gt;— Témoignages : regards sur la Wikimania

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'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black&quot;&gt;Les Interviews&lt;/span&gt;'''&lt;br&gt;— Ses goûts, sa Wikimania, sa prochaine tournée... : Baby Globe nous dévoile tout !&lt;br&gt;— Jules*, notre Wikimédien de l'année : comment rendre compte du changement climatique tout en protégeant l'encyclopédie

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white&quot;&gt;Le wik'hit parade&lt;/span&gt;''' — Une analyse des articles les plus vus le mois dernier

[[Fichier:Toicon-icon-sharp-corners-draw.svg|20px|classe=skin-invert-image]] Les RAW, c'est aussi vous : si un sujet vous tient à cœur, n'hésitez pas à proposer une idée d'article ou à participer à la rédaction du [[:w:Wikipédia:RAW/Rédaction|prochain numéro]]. Toutes les contributions sont les bienvenues, quel que soit votre wiki d'origine ! &lt;span class=&quot;smiley&quot;&gt;[[Image:Face-smile.svg|20px|Sourire|alt=Émoticône sourire]]&lt;/span&gt;

[[Utilisateur:Antimuonium|Antimuonium]] ([[Discussion utilisateur:Antimuonium|discuter]]) 4 août 2026 à 22:26 (UTC)

:Bravo pour cette Wikimania ! Est-ce que Wikiversité a été représentée ou évoquée ? [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:32 (UTC)

== Actualités techniques n° 2026-33 ==

&lt;section begin=&quot;technews-2026-W33&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/33|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Actualités pour la contribution'''
* [[File:Maki-gift-15.svg|12px|link=|class=skin-invert|Concerne un souhait]] Un nouvel assistant à diagrammes (''ChartWizard'') est [[c:Special:ChartWizard/Data:Example.Pie.chart|désormais disponible sur Wikimedia Commons]] pour les utilisateurs et utilisatrices qui souhaitent créer des graphiques à partir de leurs propres données. Cet assistant rend l’[[mw:Special:MyLanguage/Extension:Chart|extension Chart]] plus accessible aux débutants en permettant la création de diagrammes (par exemple des histogrammes ou des graphiques en secteurs) sans devoir utiliser du JSON. Les utilisateurs peuvent encore repasser à l’éditeur JSON s’ils le préfèrent. Vos retours sur ce nouvel outil sont les bienvenus sur la [[m:Talk:Community Wishlist/W414|page de discussion du souhait]].
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:19|la tâche soumise|les {{formatnum:19}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:19||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, le gadget Photo du jour de l’appli Wikipédia pour iOS affichait par erreur la même image chaque jour au lieu d’en afficher une nouvelle quotidiennement. Cela a désormais été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T430692]

'''Actualités pour la contribution technique'''
* Les images SVG de [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Math|formules mathématiques]] seront bientôt générées par le navigateur plutôt que côté serveur. MathML continue d’être généré côté serveur et est rendu dans le navigateur sans JavaScript. Ce changement aura lieu sur Wikibooks le 12 aout, sur Wikisource le 19 aout et sur Wikipédia du 20 au 27 aout. Vous pouvez l’essayer en choisissant « {{int:Mw-math-mathjax}} » dans vos préférences. Cela fait partie de la [[mw:Special:MyLanguage/RESTBase/deprecation|dépréciation de RESTBase]] et [[phab:T431372|de celle de Mathoid]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T271001]
* &lt;span class=&quot;mw-translate-fuzzy&quot;&gt;Les pages de catégorie permettront bientôt de trier les pages de la catégorie par ordre chronologique d’ajout dans la catégorie. Cela permettra de retrouver facilement les pages récemment ajoutées ou celles depuis longtemps dans la catégorie. Cela améliorera aussi le traitement des catégories de maintenance, par exemple les demandes de suppression ou d’autres tâches nécessitant un traitement chronologique. Utilisez l’argument &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;cldsort=timestamp&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; dans l’URL de la vue d’une catégorie pour trier la liste de pages.&lt;/span&gt; [https://phabricator.wikimedia.org/T433768]
* Les [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Gadgets|gadgets]] et scripts utilisateur sur les wikis Wikimedia peuvent désormais utiliser les [[phab:T395347|fonctionnalités de ES 2018]] et [[phab:T419142|celles de ES 2019]] dans le code JavaScript. Auparavant, la plateforme n’acceptait qu’ES 2017. MediaWiki valide le code source pour protéger les fonctionnalités d’erreurs de syntaxes et pour vérifier que les scripts sont fonctionnels dans tous [[mw:Special:MyLanguage/Compatibility#Browser_support_matrix|les navigateurs pris en charges]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T419142]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.16|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/33|Traduire]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W33&quot;/&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 10 août 2026 à 20:45 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30901051 --&gt;

== Améliorer Wikiversité pour ses vingt ans d'existence ==

Bonjour.

Au sein du mouvement Wikimédia, Wikiversité apparait comme un projet central dans le cadre d'une mission de création de la connaissance libre et de son partage par l'enseignement.

C'est triste à dire, mais l'arrivée de l'intelligence artificielle est une concurrence très rude pour les projets de partage de la connaissance libre, alors que cette concurrence semble moins problématique pour Wikiversité.

En effet, faute d'avoir une sensibilité humaine, l'IA ne sera jamais bonne enseignante, et faute d'avoir un esprit critique, l'IA ne sera jamais bonne dans la production de nouveaux savoirs et de travaux de recherche.

Dans ce contexte, il serait important que Wikiversité corresponde à l'esthétique et aux usages actuels, ainsi qu'au fonctionnement et à l'accueil que l'on peut exiger d'une plateforme d'enseignement et de recherche.

L'idée est donc de travailler sur ces aspects avant de faire une promotion du projet pour ses 20 ans d'existence en date du [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Accueil&amp;oldid=1 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; décembre 2026].

* Au niveau graphique et donc du code CSS, Wikiversité n'est pas du tout au point. Il suffit pour s'en apercevoir de choisir le mode sombre actuellement proposé par MediaWiki. Le rendu sur Kiwix est aussi catastrophique.
* Au niveau fonctionnement, et donc JavaScript, modèles et modules, beaucoup de choses sont manquantes ou non mises à jour.
* Au niveau contenu, de nombreuses discussions ont déjà eu lieu sans qu'aucune initiative n'en soit ressortie. Ces discussions concernent en général les nombreuses ébauches à l'abandon, ou autrement dit coquilles vides, mais on peut aussi se poser des questions au sujet de certains départements, ou facultés, tout aussi vides.
* Au niveau de la politique éditoriale, les choses ne sont pas toujours claires. La confusion entre [[m:Neutral_point_of_view/fr|neutralité de point de vue]] et [[v:mul:Wikiversity:Research_guidelines#Verifiability|vérifiabilité]] est un bel exemple. Il faudrait ensuite se mettre d'accord sur des règles strictes concernant l'interdiction de toute forme de propagande. Si la publicité est plutôt bien contrôlée, les choses deviennent plus compliquées quand il s'agit de prosélytisme, faute d'une réglementation claire à ce sujet.

Avec ses travaux de recherche, son usage des sources primaires et la non-obligation de neutralité de point de vue, Wikiversité représente aussi un espace propice à une [[w:Liberté_académique|liberté académique]] en pleine [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Libert%C3%A9_acad%C3%A9mique&amp;oldid=238414902 régression depuis une vingtaine d'années]. C'est là une autre raison de se mobiliser en faveur d'un développement et de la promotion du projet.

J'aimerais avoir vos commentaires sur cette idée de projet et voir si certains d'entre vous seraient partants pour y consacrer du temps et de l'énergie ?

Bien à tous, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 août 2026 à 15:50 (UTC)

:Bonjour,
:Je trouve ton initiative très courageuse. Cela m'amuserait de t'aider. As-tu le pouvoir d'effacer un cours un département, une faculté.
:Mon idée, par exemple:
:* Études artistiques
:** On remplace les quatres département en un seul.
:** On supprime tous les cours à l'abandon depuis plus de neuf mois, en avertissant l'auteur que son cours risque d'être effacé dans le mois après ce message. Si l'auteur souhaite revenir plus tard on met les liens de ce cours dans sa page personnelle et on sort ces lien de l'espace wiki.
:* Pour la qualité d'un travail, la neutralité, la vérifiabilité,  je pense que l'on pourra le gérer une fois la première partie terminée. 
:Merci et bon courage. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 août 2026 à 08:20 (UTC)
::Heureux de recevoir ce premier commentaire et merci pour les encouragement @[[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ! J'espère bien sûr ne pas faire ça seul.
::Oui, j'ai accès aux outils nécessaires pour la réalisation de tes idées. Es-tu prêt à t'investir dans une page [[Wikiversité:20 ans]] ? Cette nouvelle page permettrait de coordonner le chantier tout en invitant la communauté à prendre des décisions lors que cela s'impose.
::Concernant la suppression de pages à l'abandon, la période d'un an sans modification était d'application, mais le délais a changé faute de temps disponible chez les administrateurs.
::Dans tous les cas, on peut déjà plancher sur la création d'un bandeau d'avertissement dans lequel les conditions et la procédure de suppression ébauches abandonnées serait indiqué.
::Faute d'avoir un robot qui le place automatiquement, ce qui serait une autre tâche possible à réaliser, ce bandeau pourrait alors être posé par toute personne après évaluation, toi par exemple pour les sujets qui s'intéressent. Grâce à une catégorie placée dans le modèle, ces pages serait alors listées, ce qui facilitera leurs suppressions par les administrateurs.
::Partant pour me suivre dans le lancement de la page wikiversité:20 ans ? D'autres personnes intéressées ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 16 août 2026 à 10:54 (UTC)
::Tout à fait d'accord pour déposer les bandeaux d'avertissement. Je pourrais commencer par la faculté &quot;Études artistiques&quot; dès que ces bandeaux seront disponibles. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 août 2026 à 14:10 (UTC)
:::Bonjour à tous ! Merci {{Mention|Lionel Scheepmans}} de remettre le sujet de l'anniversaire - et des défis actuels - sur la table.
:::* Ce qui reste à faire en priorité :
:::** réparer les &quot;MOOCs&quot; ;
:::** [[Wikiversité:La salle café/juin 2026#Gestion des ébauches|supprimer l'échelon &quot;niveau d'avancement&quot; pour les ébauches]] ;
:::** développer les [[Wikiversité:Scolarités|portails de scolarité]].
:::* [[Utilisateur:Fourmidable/Projets|Ce qui peut attendre mais qui pourrait redynamiser le site]] :
:::** Wikiconcours sur les réformes scolaires (pour l'enseignement secondaire en France, [[Wikiversité:Wikiconcours du nouveau bac|une page est déjà créée]]) ;
:::** tutoriels vidéo (je compte m'y atteler prochainement)
:::Je suis d'accord pour utiliser [[Wikiversité:20 ans]] comme page de travail.
:::Bien à vous, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:22 (UTC)
::::Je suis d'accord pour utiliser Wikiversité:20 ans comme page de travail. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 8 septembre 2026 à 10:11 (UTC)
::{{Mention|Xhungab}} : 9 mois, c'est court, et le délai de trois ans permet déjà de supprimer de nombreuses pages. L'idée de notifier les créateurs de leçons abandonnées avant de supprimer unilatéralement leurs travaux me semble très bonne. Pourquoi pas fusionner des départements car dans certaines facultés, ils ne correspondent pas à des disciplines académiques, ce sont souvent simplement des sujets ultra-spécifiques. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:27 (UTC)
:::Chouette @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] east de la partie ! En vrai, c'est lui qui a avancé l'idée des 20 en premier. Nous sommes donc trois. Le minimum requis pour lancer une nouvelle version li'guistique dans Incubator =). Nous pouvons donc créer la page des 20 ans et poursuivre les discussions dans cette espace plus approprié. Ce qui ne nous empèche pas à nous comme à d'autres de poursuivre ici, notamment pour exprimer des souhaits, des craintes concernant le projet. Les encouragements et les adhésions étant aussi les bienvenus évidement. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 16 août 2026 à 14:05 (UTC)
:::Je suis peut‑être un cas particulier, mais il m’est souvent arrivé — surtout à mes débuts sur Wikipédia et d’autres wikis — de déposer des ébauches dont je n’étais pas satisfait, en me disant que j’y reviendrais plus tard, peut‑être une fois à la retraite (ou lors de prochaines vacances) quand j'aurais plus de temps. J’espérais aussi que d’autres contributeurs les amélioreraient entre‑temps, ce qui s’est produit dans l’immense majorité des cas sur Wikipédia.
:::Je sais que c’est beaucoup moins fréquent sur Wikilivres ou Wikiversité, et je le regrette tout en le comprenant : la communauté y est plus petite, et les ébauches y restent souvent longtemps en l’état. Pourtant, ce sont bien les ébauches — même très rudimentaires, comme le célèbre « la pomme est le fruit du pommier » — qui ont permis à Wikipédia de devenir ce qu’elle est. Beaucoup d’articles ont mis des mois ou des années à se développer, et il en restera toujours à compléter : c’est le principe même d’un wiki.
:::Je comprends aussi que, pour un lecteur, tomber sur un grand nombre d'ébauches peut décourager l'exploration et l'intérêt pour wikiversité. Donc, si une ébauche contient des erreurs ou des incohérences difficiles à corriger, il est logique de la supprimer après un certain temps, idéalement avec une alerte avant pour le contributeur. Mais lorsqu’il s’agit d’un plan utile, d’une structure quasi-prête à être enrichie par un futur contributeur qui n’aurait le temps ou les compétences que pour compléter une partie, il me semble judicieux de la conserver dans un espace secondaire, par exemple sous forme de brouillon communautaire. J’imagine que cette idée a déjà été discutée ; peut‑être est‑elle complexe à mettre en œuvre, mais elle pourrait aider à préserver des amorces de contenus prometteurs sans nuire à l’expérience des lecteurs. [[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 16:24 (UTC)
::::Traditionnellement, les espaces brouillons dans l'espace de nom utilisateurs. Une idée serait donc de déplacer les ébauches en sous-page des espaces utilisateurs de leurs auteurs, au lieu de les supprimer et de ne garder dans l'espace principal que les travaux suffisamment avancés pour être dignes d'intérêt. Qu'en pensez-vous ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 22 août 2026 à 23:37 (UTC)
::Le délai de trois ans me semble parfait. Je suis aussi pour fusionner les départements qui n'ont pas un minimum de cours terminer. Par exemple:
::La faculté &quot;Études artistiques&quot; possède quatre départements qui sont pratiquement vides. Mon idée est de réunir ces quatre départements dans une seule feuille &quot;Études artistiques&quot;, dans laquelle on listera uniquement les cours finis. On mettra dans cette page un lien qui dirigera sur les cours en construction.
::Merci. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 août 2026 à 14:06 (UTC)

: Oui, l’IA contribue aujourd’hui — de manière indirecte et involontaire — à détourner des centaines de millions de lecteurs de Wikipédia, tout en s’appuyant massivement sur le travail colossal des bénévoles wikimédiens. C’est paradoxal, parfois triste, mais c’est aussi la conséquence logique d’une licence ouverte qui a fait la force de nos projets (et qui n'est pas à regretter).--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC) 
:Il est vrai que les IA actuelles n’ont ni sensibilité humaine ni véritable esprit critique. Mais il serait imprudent de considérer que cela restera figé : leurs capacités progressent rapidement, et dans un nombre croissant de domaines, il devient difficile de distinguer l’imitation (IA) du modèle (Homo sapiens). D’autant que les humains eux‑mêmes ne sont pas toujours exemplaires en matière de sensibilité ou de discernement. L’avenir est encore plus incertain si l’on pense à l’IA quantique ou aux architectures hybrides utilisant des réseaux de neurones biologiques : mieux vaut rester modestes et prudents. &lt;br&gt;Je ne serais pas surpris que certaines IA deviennent bientôt aussi efficaces que de très bons enseignants (pour les sciences, le code, ses progrès sont déjà spectaculaires semble-t-il), tant en pédagogie qu’en créativité. Cela n’enlève rien au potentiel immense de Wikiversité (potentiel en dormance ? que lui manque-t-il pour s'exprimer ?.. Jimmy Wales rappelait déjà que Wikiversité pourrait représenter une étape majeure : dépasser la simple consultation encyclopédique pour bâtir une communauté mondiale d’apprentissage et de production de savoirs libres. Il a souvent souligné que la transformation de l’éducation en ligne est un enjeu encore plus vaste que la création d’une encyclopédie--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC).
::Je ne connaissais pas ces propos de Jimy @[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]]. Tu te souviens où les avoir vus ? Au sujet de l'IA, on verra comment les choses évoluent. Elles évoluent vite, donc on en a pas pour des années, semble-t-il. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 22 août 2026 à 23:41 (UTC)

:Comme toi, et depuis nos premiers échanges, j’ai toujours pensé que Wikiversité — adossée à Wikipédia, Wikilivres, Wikidata, etc. — avait un potentiel considérable. Mais le projet a souffert de plusieurs facteurs :
: * Le succès écrasant de Wikipédia, plus attractif, plus gratifiant, plus rapide, et porté par une communauté large et pluridisciplinaire. Wikiversité est bien plus exigeante qu’on ne l’imagine : faire de la pédagogie sans connaître son public est un art difficile.
: * La frilosité du monde universitaire, qui a longtemps méprisé ou ignoré les wikis. Beaucoup ont manqué de vision prospective : des thèses collaboratives multilingues auraient pu voir le jour, des laboratoires ouverts auraient pu émerger, mais l’occasion a été manquée.
: * Le référencement catastrophique de Wikiversité par Google, qui a probablement été le facteur le plus pénalisant, sans explication claire.
: =&gt; Plutôt que de supprimer (sauf cas flagrant de cours vraiment sans intérêts) les travaux en cours/cours apparemment abandonnés (ce qui peut-être définitivement démotivant pour ceux qui les ont commencé), on pourrait apposer une bannière remerciant les auteurs mais signalant un besoin urgent d'amélioration... une priorité ne devrait elle pas plutôt être de mobiliser - et donc motiver - de bons wikimédiens pour revitaliser et compléter Wikiversité (mais comment faire, face à la concurrence de tant d'autres choses à faire ?).  Remarque : j'ai co-animé une wikipermanence durant plusieurs années, et j'ai un peu participé aux wiki-formations de thésards avec wikimedia France, dès les premiers essais à Lille, à l'époque des tous premiers Moocs en France. Je vois bien qu'il sera difficile de recruter dans ce milieu où la plupart des étudiant ont un certain sens du bien commun, mais aussi un besoin de répondre à leurs propres besoins (avant d'être happés par la vie professionnel, leurs amours, la maternité/paternité, les difficultés du métier, d'éventuelles difficultés financières, etc.) ... plus qu'aux besoins d'une communauté comme wikiversité... 
: Question : Je n’ai pas pris le temps de chercher ce préalable, mais y a t il eu dans une revue scientifique, une université ou un livre ...ou - chez nous (y compris wikimédia France ou Wikimedia fondation) -  une étude sur les causes du non-décollage de wikiversité (en France ou ailleurs) ? Y a t il des chapitres (pays/langues) où wikiversité a décollé plus vite ou mieux que chez nous et si oui, pourquoi ? quelles leçons pouvons nous en tirer''' =&gt;  Suggestion''' : La wiki-communauté comprend, si je ne me trompe pas, désormais, de nombreux jeunes retraités (la fin des babyboomers), dont d’anciens enseignants, universitaires, documentalistes (un vivier idéal pour relancer un projet pédagogique ? non ? en théorie au moins, resterait à les mobiliser).--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC) 
::Les trois facteurs énoncés sont effectivement pertinents. Quant aux étudiants à l'université, ma propre expérience démontre aussi que si cela ne leur apporte rien en matière d'évaluation, ils ont d'autres préférences que de contribuer aux projets Wikimédia. Ce qui fonctionne bien en revanche, comme je l'ai fait [[Anthropologie numérique/Session UCLouvain 2024|dans le cadre d'un séminaire]], c'est d'intégrer celui-ci dans Wikiversité. La contribution au projet devient alors un travail reconnu dans les crédits d'enseignement. Je ne connais pas d'étude comparative entre les versions linguistiques. Je sais juste qu'un [[:en:WikiJournal_User_Group|Wikijournal]] a vu le jour dans la version anglophone et qu'il y a eu des cours universitaires très fréquentés du côté lusophone. Et en effet, ce serait bien que des profs à la retraite développent des cours sur Wikiversité. Mais, quand tu as fait ça toute ta vie, sans doute que tu n'as plus envie de le faire, non ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 22 août 2026 à 23:55 (UTC)

:Je voudrais aussi évoquer un souvenir personnel : j’ai été vraiment très bien accueilli sur Wikipédia et wikiversité (merci à mes parrains et marraines), mais beaucoup moins sur Wikilivres ou Wikinews, ce qui m’a freiné dans mon investissement sur Wikiversité malgré le soutien de Salix et de quelques anciens que je salue au passage. En tant qu’enseignant, j’ai toujours encouragé mes étudiants à tester les wikis (et wikipédia et wikiversité en premier lieu), à contribuer, à vérifier, à collaborer — pendant que d’autres &quot;professeurs&quot; les menaçaient de sanctions s’ils partageaient leurs connaissances dans des environnements libres, tout en leur expliquant qu’il fallait apprendre à travailler en équipe (&quot;travaux de groupe&quot; disait on autrefois)
: Reste le contexte complexe de l’IA émergente évoqué plus haut par Lionel... Je ne sais pas encore qu'en penser vraiment mais on ne peut plus l'ignorer. L'IA générative et peut-être bientôt une &quot;superintelligence&quot; va-t-elle manger &quot;nos&quot; wikis ? (certaines IA citent souvent wikipédia comme source je crois, Wikiversité je ne crois pas car wikiversité n'a pas atteint une taille ni une qualité ni une notoriété ou reconnaissance académique qui la rendrait crédible et utile pour une IA (je me trompe ?) --[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC)
::Aucune idée concernant l'IA. Au niveau académique en revanche, mon expérience a été très décevante. Au départ de ma page utilisateur, on peut voir que j'ai utilisé Wikiversité en tant qu'étudiant, doctorant et finalement professeur. Mon expérience me semblait inspirante, mais personne ne s'y est jamais intéressé, ni du côté de l'université, ni du côté du mouvement Wikimédia. Ce fut à l'origine d'une forte démotivation de ma part dans les deux sphères d'activité.  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 23 août 2026 à 00:00 (UTC)

P.S. Abonnez-vous à cette discussion si vous voulez poursuivre son évolution en cliquant sur l'option à droite du titre ci-dessus.
: Fait {{Sourire}} --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:24 (UTC)

:Beaucoup de remarques iet de témoignages ntéressants @[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]]. Je vais prendre le temps d'y réfléchire. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 16 août 2026 à 23:48 (UTC)
::Voici plus d'une semaine que la discussion a été lancée. Je doute qu'il y aura d'autres personnes intéressées. Ça vous dit de se faire une rencontre vidéo, question de gagner du temps au niveau des échanges, tout en se motivant mutuellement ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 23 août 2026 à 00:02 (UTC)
:::Je viens de lire ce fil ?
:::Le serpent de mer sort la tête de l'eau pour survivre ?
:::Ou, dois-je dire : &quot;Hourrah ! bonne nouvelle ?
:::Je suis intéressée au projet. Mais je n'aime pas enfiler les perles brisees.
:::Donc, il faudra un plan de travail et des résultats. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 31 août 2026 à 17:07 (UTC)
::::Bonsoir à tous,
::::Je précise ma participation au projet.
::::Je suis favorable au chantier des vingt ans, à condition qu’il soit organisé autour d’un plan de travail, de responsables identifiés, d’échéances et de résultats vérifiables.
::::Avant toute suppression massive, je propose d’établir un inventaire qualitatif des contenus et de distinguer les pages vides, obsolètes, erronées, inachevées mais réutilisables, temporairement interrompues ou relevant de l’[[Recherche:Accueil|espace Recherche]]. Le délai d’inactivité ne devrait être qu’un signal d’examen, non un motif automatique de suppression.
::::Le chantier devrait comprendre six axes : 
::::1. Inventaire 
::::2. Architecture du site,
::::3. Cycle de vie des contenus, 4. Règles éditoriales,
::::5. Accueil des publics
::::6. Modernisation technique.
::::Il faudrait également ouvrir deux dossiers aujourd’hui indispensables : 
::::1. Les conditions d’accueil des recherches et des thèses ; 
::::2. La traçabilité des usages de l’[[Intelligence artificielle|intelligence artificielle]].
::::Le [[Wikiversité:20 ans|chantier des vingt ans]] ne part pas de zéro. Plusieurs groupes locaux disposent déjà d’expériences intéressantes en matière de formation, d’accompagnement des publics et d’organisation d’ateliers. Un recensement comparatif de ces expériences permettrait d’identifier les pratiques transférables et d’éviter de recommencer ce qui a déjà été expérimenté.
::::Le Groupe local Bourges–Vierzon pourrait contribuer à ce travail en proposant un terrain d’expérimentation pour l’année 2026-2027 : 
::::* Ateliers présentiels
::::* Supports publiés sur Wikiversitè 
::::* Productions accompagnées
::::* Comptes rendus avec évaluation des difficultés rencontrées par les participants.
::::Je propose enfin que chaque action inscrite sur [[Wikiversité:20 ans]] indique :
::::1. le problème traité
::::2. le public concerné
::::3. le responsable
::::4. l’échéance, le statut et le résultat attendu. 
::::Le 1{{er}} décembre constituerait alors un premier jalon public, et non la promesse irréaliste d’une rénovation complète. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 1 septembre 2026 à 21:23 (UTC)
:::::Je suis prête à contribuer aux trois volets suivants :
:::::1. Recherche et thèse, en prenant appui 
:::::* sur les travaux que j’ai déjà réalisé sur Wikiversité en français et 5 autres projets Wikimedia
:::::2. Les travaux bibliographiques développés dans l’écosystème Wikimedia, saisie des données bibliographiques sur Wikidata et transfert dans Wikiversitè 
:::::3. Les usages pédagogiques territoriaux, à partir des expériences déjà conduites par plusieurs  groupes locaux et l’expérimentation en cours menées avec les groupes de Bourges et de Vierzon.
:::::4. Mes usages de l'Intelligence artificielle pour la recherche et l'enseignement en Sciences Humaines et Sociales &amp; la traçabilité des productions.
:::::A quoi s'ajoutera l’expérience des résidences Wikimédia pour l’enseignement supérieur et la recherche, notamment celles conduites au sein des [[w:Unité régionale de formation à l'information scientifique et technique|URFIST]] ;
:::::Cette contribution suppose que le chantier débouche effectivement sur des décisions, des actions identifiées et des livrables consultables.
:::::(Je ne suis pas très douée pour les contributions sur les projets Wikimedia à partir d'un téléphone portable)
:::::Bel Bonjour à tous. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 1 septembre 2026 à 21:55 (UTC)
:::La visio est une bonne idée, mais il faudra trouver un créneau commun ^^&quot; Personnellement, je suis encore disponible tous les jours en matinée cette semaine et probablement la suivante. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 1 septembre 2026 à 09:25 (UTC)
::::Pardon pour mon silence estival... Faire le ménage de temps en temps est assurément nécessaire et le faire avec un plan de rangement est appréciable. L'idée de mettre en sous page du créateur les leçons et autres structures de leçons non terminées me semble être une réponse adéquate. La promotion de WV via des youtubeurs ayant &quot;pignon sur rue&quot; serait peut-être nécessaire. Travailler les liens interwikis aussi... Les structures des facultés vides doivent contenir le message standard pour le lecteur-chercheur d'info: &quot;leçon inexistante- avons besoin de votre concours avisé&quot;Par rapport aux risques liés à l'IA, je n'ai pas les idées très claires... L'usage de nos travaux par les IA's est lié au copyleft encadré. Le versement d'un cours établi en grande partie par l'IA est tout autant possible que le versement d'un plagiat d'un manuel ou d'une synthèse encyclopédique. Il faut peut-être insister sur la nécessité de sourcer ce qui peut l'être... Décembre va arriver vite. Nous organiser est donc urgent...[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 1 septembre 2026 à 17:33 (UTC)
:::::Sur l'usage de Wikimedia par les IA, je pense qu'il faut travailler sérieusement la question en mettant en avant des critères scientifiques. Wikiversitè est le bon endroit pour le faire. Encore faut-il créer de véritables laboratoires numériques de recherche. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 1 septembre 2026 à 22:07 (UTC)
::::::@[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] @[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] @[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] @[[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]], heureux de voir que l'équipe se renforce. Effectivement, la période de vacances n'est pas celle où les gens sont les plus disponibles. Pour ma part, cela dépend beaucoup de la météo. Quand il fait beau, je passe moins de temps sur le net. Sauf en soirée et en début de nuit.
::::::* Pour les '''réunions en audio ou vidéo'''. Il existe Jisti qui nous permet de lancer un salon de conversation sur lequel on peut se connecter avec un simple navigateur en acceptant le partage de votre micro et caméra. Voici le lien : https://meet.jit.si/Wikiversit%C3%A9%2020%20ans que je propose. Il nous reste à définir le jour et l'heure. On peut toutefois s'y rendre dès que l'on va travailler sur le projet et que l'on se sent prêt à communiquer verbalement. Il faut se connecter pour lancer un salon, mais pas pour le rejoindre. La connexion peut se faire avec un compte Google. J'imagine donc que la plupart d'entre nous seront capables de lancer le salon.
::::::* Pour '''organiser le chantier'''. Le plus simple, à mes yeux, c'est de tout centraliser sur la [[Wikiversité:20 ans|page des 20 ans]] (discussion, plan de travail, équipe, responsabilité, vote d'acceptation, etc.) en utilisant [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]] uniquement pour discuter de l'organisation et de la structuration de la page en question, mais pas de son contenu. On peut aussi utiliser la page de discussion pour convenir de rendez-vous en visioconférence.
::::::On fait ça ? Chacun complète la page des 20 ans selon sa vision des choses (pensez à modifier par section pour éviter les conflits d'édition) et on se retrouve sur sa page de discussion pour les questions de structuration de la page et pour les prises de rendez-vous en visioconférence ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:20 (UTC)
::::Je suis d'accord pour une visio au cours de la première semaine de novembre. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 8 septembre 2026 à 11:20 (UTC)

Si besoin je peux aider pour les pages où les droits d'admins ne suffisent pas. Vu que le projet concerne tout le monde, j'en profite aussi pour notifier les personnes ayant le plus contribué à la Wikiversité en 2026 : {{ping|Projet PEP|Psychoslave|Mekkiwik|Guillaume FOUCART|Fourmidable|PandaMystique|Crochet.david|Octogénaire|Lionel Scheepmans|Marvoir}} {{ping|Solstag|Jules*|Phl7605|Cdang|JackPotte}}. Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 12 septembre 2026 à 17:07 (UTC)

:Salut @[[Utilisateur:VIGNERON|VIGNERON]]. C'est cool que l'on puisse aussi compter sur toi et bonne idée de notifier les personnes les plus actives. Qu'entends-tu par une aide là où « les droits d'admin ne suffisent pas » ? As-tu un exemple ? Ferais-tu partie des personnes qui ont un droit d'accès en modification du code PhP sur les serveurs Wikimédia ? Si c'est le cas, nous avons déjà une [[Wikiversité:La salle café/mars 2026#Outil de traduction|demande d'installation de l'outil de traduction.]] Bien à toi, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 13 septembre 2026 à 12:50 (UTC)
::{{ping|Lionel Scheepmans}} je suis steward, un droit global qui équivaut à tout les groupes locaux (voir [[Spécial:Liste_des_droits_de_groupe]]) et qui peuvent compenser l’absence de personnes ayant localement les droits nécessaires. Par contre, cela ne comprend pas ni le logiciel, ni les serveurs (c'est quelque chose de complètement différent), la procédure est celle indiqué par JackPotte. Et au-delà des droits, j'ai un peu d'expérience sur le fonctionnement de l'écosystème technique Mediawiki. Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 13 septembre 2026 à 13:26 (UTC)

==Wikilivres:Prise de décision/Créer un espace lecteurs et un espace auteurs sur la page d'accueil==
J'ai posé une demande de prise de décision concernant le sujet suivant : [https://fr.wikibooks.org/wiki/Wikilivres:Prise_de_d%C3%A9cision/Cr%C3%A9er_un_espace_lecteurs_et_un_espace_auteurs_sur_la_page_d%27accueil Créer un espace lecteurs et un espace  Les coulisses de Wikibook].
La page ci-dessus présente une explication détaillée du problème et de sa solution possible. Me sentent un peu seul dans ce combat. Je me permets de solliciter votre aide.
Je pense que ce travail pourrait être mis en place sur Wikiversité.
Merci [https://fr.wikibooks.org/wiki/Utilisateur:Xhungab Xhungab] [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 6 septembre 2026 à 05:19 (UTC)
:Bonjour @[[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]]. Content de te revoir dans les murs de Wikiversité après nos échanges sur Wikilivres. Je comprends ton sentiment de solitude, je le ressens aussi souvent. Il faut l'accepter et ne pas se décourager pour autant. Nous avons la chance de fonctionner dans une organisation bénévole, dans laquelle personne n'est tenu de répondre à des demandes. De ce fait, les choses évoluent lentement et en fonction des disponibilités. Dis-toi aussi que la période estivale est toujours un moment d'acalmie dans la participation. Moi par exemple, quand il fait bon, je préfère passer du temps sur des occupations extérieures que devant un écran.
:Cela dit, tu dois garder 3 règles implicites qui sont fréquemment appliquées dans les projets Wikimédia.
:1. ''Qui ne dit mot consent''. Si les personnes ne réagissent pas, cela ne veut pas dire qu'elles ne lisent pas. Par économie de temps et pour les personnes trop occupées ou pas assez motivées pour s'investir, ne pas réagir est un signe de consentement implicite.
:2. ''Les absents ont toujours tort.'' Lorsque l'on fait les choses dans les règles de l'art, par exemple comme tu le fais en lançant une prise de décision pour opérer un changement significatif dans Wikilivres, aucune personne absente durant un processus de décision clôturé viendra remettre en cause les choses par la suite.
:3. La doocratie. Les wikis sont des espaces de libertés au niveau de l'amélioration des contenus, mais également de l'organisation et des formes de contenus. En dehors du vandalisme qui est bien contrôlé par des personnes telles que @[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]], toute initiative est souvent perçue comme bienvenue. @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]], par exemple, depuis qu'il est administrateur, a fait de nombreuses améliorations dans Wikiversité sans demander l'avis de la communauté. Personne ne lui a reproché son investissement. Si quelque chose qu'il a entrepris ne plaît pas à quelqu'un, une discussion commence entre lui et cette personne pour chercher une entente.
:Voilà tout.
:Je te rejoins aussi sur le fait que ce qui est décidé et mis en place sur Wikilivres peut tout à fait servir d'exemple pour Wikiversité et vice versa. Je ne suis pas le seul à être administrateur dans les deux projets et cela aide beaucoup à la création d'une synergie entre les deux projets qui sont finalement très complémentaires. Cela n'est pas étonnant d'ailleurs lorsque l'on sait que Wikiversité est né de Wikilivres.
:Une belle fin de journée à toi et à tous ceux qui liront ce message.  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 6 septembre 2026 à 11:19 (UTC)
::@[[Utilisateur:DavidL|DavidL]], @[[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]], @[[Utilisateur:Grondin|Grondin]], quelqu'un pourrait nous dire le délai nécessaire avant la clôture d'une prise de décision dans Wikilivres ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 6 septembre 2026 à 11:33 (UTC)
:::Bonjour, à ma connaissance il n'y a pas de délai minimum ni maximum. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 9 septembre 2026 à 06:45 (UTC)

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-34&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W34&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/34|Translations]] are available.

'''Weekly highlight'''
* The [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CampaignEvents/Registration/Worklist|Worklist feature]] for the Event Registration tool is now live on all Wikimedia wikis. With Worklist, event organizers can add the articles their event will focus on directly to the event page. The Worklist also powers [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CampaignEvents/Registration/Worklist#How Event Pathways uses the worklist|Event Pathways]] which notifies other editors of the upcoming or ongoing event when they edit an article featured in the event's Worklist. This is the minimum viable version (MVP), and feedback is welcome. Organizers are encouraged to try the feature. A hands-on [[m:Special:MyLanguage/Event:Worklist Setup Workshop: Get Your Event Ready|Worklist Setup Workshop]] will take place on 18 August at 16:00 UTC and 19 August at 11:00 UTC.

'''Updates for editors'''
* [[Special:ShortPages]] displays short pages by their size, but in many cases it gets filled with disambiguations and soft redirects, making it harder to find the short articles themselves. Starting this weekend, you will be able to choose not to include an article in the special page by adding the magic word &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;__EXPECTSHORTPAGE__&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. [https://phabricator.wikimedia.org/T433203]
* One new wiki has been created: a {{int:project-localized-name-group-wikipedia/en}} in [[d:Q3436680|Bole]] ([[w:bol:|&lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;w:bol:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;]]) [https://phabricator.wikimedia.org/T429921]
* Starting the week of August 17, the page toolbar will wrap onto two lines when there is not enough horizontal space for all the buttons. This is a [[phab:T429518|fully merged patch from the Reader Experience team]] which aims to reduce crowding in the Vector 2022 toolbar, that may occur on some language Wikipedias at certain screen widths.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:16}} community-submitted {{PLURAL:16|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, uploading large files to Wikimedia Commons has become more stable and less prone to failure following some fixes related to the “Could not acquire lock” upload error. [https://phabricator.wikimedia.org/T386640]

'''Updates for technical contributors'''
* Debian Bullseye will reach the end of its Long Term Support on 31 August 2026. [[phab:T434103|Some Cloud VPS projects]] still have instances running Debian Bullseye. Maintainers of those projects are encouraged to migrate to Debian Bookworm or Debian Trixie. A [[wikitech:Help:Cloud VPS instance operating system migration|migration guide]] is available to help with the process, and users may also want to consider whether their workload is better suited to Toolforge. If you need help or cannot complete the migration by 31 August, please contact the Cloud VPS admins as soon as possible. [[listarchive:list/cloud-announce@lists.wikimedia.org/thread/RVIPQSYLKMSL5M46JP6NEJVGVE6I2RXQ/|Read more]].
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.16|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/34|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W34&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 17 août 2026 à 21:03 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30922806 --&gt;

== Growth/Newsletters/36 ==

&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
[[File:Growth team logo - Icon only.svg|right|180px|frameless|class=skin-invert]]

''Mises à jour de l'équipe [[mw:Special:MyLanguage/Growth|Growth]] sur notre travail pour améliorer l'expérience utilisateur du nouvel éditeur.''

&lt;span id=&quot;Recent_releases&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Modifications récentes ===

&lt;span id=&quot;Account_creation_experiments&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==== Expériences de création de compte ====

Plusieurs [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments|expériences visant à améliorer le taux de réussite de la création de comptes]] ont donné des résultats significatifs.

* Un message mis à jour, affiché aux utilisateurs mobiles non connectés qui tentent de modifier une page, a entraîné une augmentation relative de 27 % du nombre de créations de comptes et est en cours de déploiement sur tous les wikis. ([[phab:T424595|T424595]])
* Un nouveau bouton de menu de compte est présent dans l'entête du site pour mobile, [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments#Experiment Results: Mobile Web Account Menu|testé en A/B sur cinq Wikipédias auprès de près de 8 millions de participants]], a incité les utilisateurs mobiles non connectés à créer un compte avec une probabilité supérieure de 25 %, sans différence significative dans leur comportement en matière de modifications constructives. ([[phab:T428220|T428220]]) 
*Une boîte de dialogue de post-édition plus simple destinée aux titulaires de comptes temporaires a permis d'augmenter de 87 % (en valeur relative) le nombre de créations de comptes permanents, ce qui a permis de convertir davantage de contributeurs temporaires en contributeurs enregistrés. ([[phab:T416418|T416418]])[[File:Create account - July 2026 updates.png|thumb|Le nouveau formulaire de création de compte a permis d'augmenter le nombre d'inscriptions de 24,4 % en valeur relative.]]
*Nous avons aussi repensé le formulaire de création de compte lui-même ([[phab:T409236|T409236]]) : nous y avons ajouté une validation en temps réel du nom d'utilisateur, un résumé concis de la politique relative aux noms d'utilisateur, une option &quot;afficher le mot de passe&quot; et une mise en page simplifiée conforme aux directives du [[wmdoc:codex/latest|Codex]]. Lors d'un test A/B mené sur la version mobile de Wikipédia en anglais, les utilisateurs ayant vu le formulaire remanié ont créé des comptes permanents à un taux de 20,4 %, contre 16,4 % pour le groupe témoin (soit une augmentation relative de 24,4 %).

&lt;span id=&quot;Revise_Tone_structured_task&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==== Tâche structurée de révision du ton ====
[[mw:Special:MyLanguage/Growth/Revise Tone|Reviser le ton]] aide les nouveaux contributeurs à repérer les passages susceptibles de contenir un langage non encyclopédique et les guide dans la révision du ton.
Lors de tests A/B menés sur les Wikipédias en arabe, en anglais, en français et en portugais, les taux d'achèvement des tâches par les nouveaux contributeurs étaient [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Revise Tone#Experiment Results|supérieurs de 38,7 %]] à ceux de la tâche de relecture par défaut, sans que la qualité des modifications n'en soit affectée.
Le test s'est achevé le 9 juillet, et cette fonctionnalité est désormais accessible à tous sur ces wikis ; elle peut être configurée via la configuration de la communauté.
[[phab:T426364|Nous prévoyons]] de déployer la fonctionnalité &quot;Revise Tone&quot; sur d'autres wikis.

&lt;span id=&quot;Automated_mentor_list_cleanup&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==== Nettoyage automatisé de la liste des mentors ====
Les communautés peuvent désormais [[mw:Special:MyLanguage/Help:Growth/Mentorship#Automated mentor list cleanup|marquer automatiquement les mentors inactifs comme ''absents'' ou les retirer complètement du programme de mentorat]] (ce qui entraîne la réaffectation automatique de leurs mentorés).
L'inactivité est évaluée en fonction des modifications, et les réponses sur les pages de discussion sont prises en compte ; ainsi, les mentors qui répondent aux questions de leurs mentorés restent actifs.
Nous vous recommandons d'activer ces deux options simultanément ; les administrateurs peuvent les activer via [[Special:CommunityConfiguration]] et consulter la liste des mentors via [[Special:ManageMentors]].

&lt;span id=&quot;Growth_features_for_Wikidata&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==== Fonctionnalités de Croissance pour Wikidata ====

Les fonctionnalités liées à la croissance sont [[phab:T400937|désormais disponibles sur Wikidata]], notamment une page d'accueil simplifiée pour les nouveaux arrivants, le programme de mentorat, le module &quot;Impact&quot;, les actualités de la communauté et le panneau d'aide.

&lt;span id=&quot;Work_in_progress&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Travail en cours ===
[[File:Home designs labeled.png|thumb|Premiers concepts pour faire évoluer la page d'accueil des nouveaux arrivants vers une page 'Accueil' personnalisée qui évolue au fur et à mesure que les contributeurs s'impliquent.]]

&lt;span id=&quot;Home&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==== Accueil ====
Les équipes Growth et [[mw:Special:MyLanguage/Moderator Tools|Modération]] sont en train de développer le projet [[mw:Special:MyLanguage/Home|''Home'']] ([[phabricator:T419358|T419358]]) : une page d'accueil unifiée, personnalisée et destinée à remplacer la page d'accueil des nouveaux arrivants.
Plutôt que de rester une fonctionnalité réservée aux nouveaux utilisateurs, Accueil évoluera au fur et à mesure que les utilisateurs gagneront en expérience, en leur proposant des suggestions de modifications, des modifications à valider et des processus de modération au moment opportun.

&lt;span id=&quot;Research&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Recherche ===

L'[https://research.wikimedia.org/ équipe de recherche de Wikimedia], en partenariat avec l'équipe croissance, a publié les conclusions de deux projets portant sur la manière dont les nouveaux contributeurs apprennent et s'intègrent à la communauté :

* [[m:Research:Understanding_newcomer_mentorship_on_Wikipedia|Comprendre le mentorat des nouveaux contributeurs sur Wikipédia]]
* [[m:Research:Successful_Newcomers_Survey_2025#Results|Enquête sur la réussite des nouveaux arrivants]] 

''&lt;small&gt;'''[[mw:Special:MyLanguage/Growth/Newsletters|La lettre d'information de l'équipe Croissance]]''' préparée par [[mw:Special:MyLanguage/Growth|l'équipe Croissance]] et publiée par [[m:User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[mw:Talk:Growth|Donner son avis]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/Growth team updates|S'abonner ou se désabonner]].&lt;/small&gt;''
&lt;/div&gt; 18 août 2026 à 13:17 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Growth_team_updates&amp;oldid=30870183 --&gt;

== Actualités techniques n° 2026-35 ==

&lt;section begin=&quot;technews-2026-W35&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/35|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Actualités pour la contribution'''
* La page [[Special:CreateAccount|Spécial:Créer_un_compte]] a été simplifiée dans le cadre des travaux en cours visant à moderniser le processus de création de compte. Le panneau affichant les statistiques du projet n'apparaît plus à côté du formulaire, que ce soit sur ordinateur ou sur mobile. Plusieurs tests portant sur la création de comptes ont montré qu'un formulaire plus simple aidait les nouveaux utilisateurs à mener à bien leur inscription. [https://phabricator.wikimedia.org/T433783]
* Afin d'améliorer les performances de la page, les images ne se chargent désormais que lorsqu'elles sont visualisées. Cela signifie que les images situées plus bas dans un article ne se chargeront pas si le lecteur ne fait jamais défiler la page jusqu'à cette partie, ce qui peut avoir une incidence sur certains indicateurs liés aux images. [https://phabricator.wikimedia.org/T148047]

* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:42|la tâche soumise|les {{formatnum:42}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:42||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème empêchant l'affichage des vignettes d'images sur Abstract Wikipedia après le déplacement du fichier correspondant sur Wikimedia Commons a désormais été résolu. Les vignettes s'actualisent désormais correctement lorsque les fichiers sont déplacés. [https://phabricator.wikimedia.org/T433448]

'''Actualités pour la contribution technique'''
* La fiche d'informations sur l'utilisateur est une fonctionnalité qui permet aux modérateurs de consulter des informations sur les comptes d'utilisateurs. Jusqu'à présent, elle n'était disponible que dans des sections telles que l'historique des pages, les journaux et les modifications récentes. Désormais, il est également possible de [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CheckUser#User_Info_card_in_page_content|l'insérer dans le contenu d'une page]] à l'aide de la fonction d'analyse &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{#uic:}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. Cela peut s'avérer particulièrement utile dans des modèles tels que [[:en:Template:Userlinks|&lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{Userlinks}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;]] (ou leurs variantes spécialisées), car cela facilitera la compréhension du contexte relatif à un ou une utilisatrice sur les divers forums communautaires. La fiche ne s'affichera que pour les utilisateurs qui l'ont activée dans leurs [[Special:Preferences#mw-input-wpcheckuser-userinfocard-enable|préférences]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T424466]
* En raison des risques liés à la sécurité et à la confidentialité des utilisateurs, nous avons désactivé l'accès aux URL utilisant &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;Special:MyPage&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; (Spécial:Ma_page) avec l’argument &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;action=raw&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. Si vous êtes concerné par cette mesure, demandez-vous s'il est possible d'adopter une autre approche. Les URL utilisant &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;Special:MyPage&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; restent accessibles et utilisables sans &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;action=raw&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. Les URL de pages utilisateur spécifiées (par exemple, &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;User:Myusername&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;) peuvent toujours être utilisées avec &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;action=raw&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. [https://phabricator.wikimedia.org/T120386]
* Suite à une mise à jour, le logiciel de création de vignettes a été amélioré. En effet, &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;librsvg&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; a été mis à jour vers la version 2.60 et &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;ImageMagick&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; vers la version 7. Cela a permis la résolution d’un certain nombre de bugs de longue date liés à la création de vignettes, tels que des erreurs de rendu. [https://phabricator.wikimedia.org/T419815#12222841]

* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.17|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/35|Traduire]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W35&quot;/&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 24 août 2026 à 20:45 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30961208 --&gt;

== Actualités techniques n° 2026-36 ==

&lt;section begin=&quot;technews-2026-W36&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/36|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''En lumière cette semaine'''
* Un nouveau format pour la liste de souhaits de la communauté est ouvert aux commentaires. Vous pouvez [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Community Wishlist 2027|lire les idées proposées sur Meta]]. Ce nouveau processus prévoit d'améliorer la manière dont les souhaits sont triés, votés et priorisés d'une manière transparente et équilibrée entre les familles de projets et les éditions linguistiques. Cette consultation est ouverte pendant deux semaines.

'''Actualités pour la contribution'''
* La dernière version de l'application Wikipédia pour Android comprend des mises à jour de la fonctionnalité «Enregistrés», qui rapprochent l'expérience d'enregistrement de l'application de celle proposée sur iOS et sur le Web. Cette mise à jour repense l'onglet «Enregistrés» en proposant une vue «Tous les articles», supprime la liste de lecture par défaut «Enregistrés», renomme les listes de lecture «Collections» et modernise l'expérience de sauvegarde des articles. [https://phabricator.wikimedia.org/T420788]
* La fonctionnalité [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|Listes de lecture]] a été activée pour tous les utilisateurs connectés sur les versions de Wikipédia en bengali, chinois, tchèque et vietnamien le 25 août, après plusieurs mois en tant que fonctionnalité bêta. Les listes de lecture seront disponibles pour tous les utilisateurs connectés sur les versions de Wikipédia en arabe, français et indonésien le 1er septembre, suivies par la Wikipédia en anglais le 14 septembre, et toutes les autres versions de Wikipédia le 28 septembre.
* À la fin du mois, certains lecteurs non connectés sur les versions en bengali, tchèque, persan, anglais et polonais de Wikipédia utilisant l'habillage Minerva sur mobile verront une [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader_Growth/Minimal_Minerva|barre de navigation mise à jour]] dans le cadre d'un [[w:A/B test|test A/B]]. Le test comparera la barre de navigation actuelle avec une nouvelle version conçue pour faciliter la recherche d'informations plus rapidement. L'objectif est de déterminer si ces changements encouragent les lecteurs à revenir plus souvent. Cette expérience n'aura aucune incidence sur l'expérience des lecteurs et/ou des rédacteurs connectés.
* Les contributeurs qui gèrent les redirections, les modèles et les catégories utilisés sur les pages de redirection disposent désormais de meilleurs moyens pour trouver et organiser les redirections. Auparavant, il n'était pas possible de rechercher les pages de redirection. Deux nouveaux mots-clés de recherche, &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;onlyredirects:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; et &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;withredirects:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;, permettent désormais de rechercher directement les redirections et peuvent être combinés avec des mots-clés existants tels que &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;incategory:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;, &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;intitle:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; et &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;insource:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. [https://phabricator.wikimedia.org/T204089]
* Les outils de recherche ISBN pour générer des citations ne fonctionnaient pas récemment en raison de problèmes de service externe. Les développeurs travaillent sur des solutions. [https://phabricator.wikimedia.org/T435179]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:30|la tâche soumise|les {{formatnum:30}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:30||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où la recherche de pages par catégorie à l'aide de &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;deepcat&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; pouvait ne renvoyer aucun résultat ou des résultats sans rapport a été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T414859]

'''Actualités pour la contribution technique'''
* Le domaine des URL pour les miniatures passe de upload.wikimedia.org à thumb.wikimedia.org. Les anciennes URL continueront de fonctionner pour le moment, mais MediaWiki utilisera le nouveau domaine à la place. Les URL vers d'autres types de médias tels que les fichiers originaux, les vidéos et les transcodages seront toujours servies depuis upload.wikimedia.org. [https://phabricator.wikimedia.org/T427465]
* L'API Math de Wikimédia [https://www.mediawiki.org/w/index.php?api=wmf-math%2Fv1&amp;title=Special%3ARestSandbox] est désormais obsolète. Ces points de terminaison seront complètement arrêtés d’ici la fin de septembre 2026. Les développeurs qui appellent ces points de terminaison devraient passer à des solutions alternatives de rendu mathématique, telles que le [https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/MathML MathML] natif ou [https://www.mathjax.org/ MathJax]. Les installations tierces de MediaWiki utilisant l'extension Math pour le rendu des formules doivent effectuer une mise à jour vers la version 1.43+ afin d'éviter toute interruption de service.

* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.18|MediaWiki]]

'''En détails'''
* Lisez-en plus sur [[mw:Special:MyLanguage/Edit_check/TextMatch|TextMatch]] dans un article de Diff intitulé [[diffblog:2026/08/28/custom-edit-suggestions-for-every-wiki-how-communities-are-shaping-suggestion-mode-with-textmatch/|Suggestions de modifications personnalisées pour chaque wiki : comment les communautés façonnent le mode Suggestion avec TextMatch]].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/36|Traduire]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W36&quot;/&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 31 août 2026 à 20:53 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30990659 --&gt;</text>
      <sha1>s42cz740n556qznss1g90er43i3uneq</sha1>
    </revision>
    <revision>
      <id>986535</id>
      <parentid>986527</parentid>
      <timestamp>2026-09-14T02:27:18Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Lionel Scheepmans</username>
        <id>11392</id>
      </contributor>
      <comment>/* Améliorer Wikiversité pour ses vingt ans d'existence */ Réponse</comment>
      <origin>986535</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="73531" sha1="9eqcai4cw74fmtwa29a6c9wuz6p2729" xml:space="preserve">__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__
&lt;noinclude&gt;{{SC|2026|08}}{{Clr}}&lt;/noinclude&gt;

== Actualités techniques n° 2026-32 ==

&lt;section begin=&quot;technews-2026-W32&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/32|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Actualités pour la contribution'''
* L’[[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience|équipe Expérience de lecture]] a développé une [https://82db7c8d4b.catalyst.wmcloud.org/w/index.php?title=Regent%27s_Park&amp;uselang=de démonstration d’un correctif] qui entoure la barre d’outils sur deux lignes quand il n’y a pas assez d’espace horizontalement pour tous les boutons. Le but est de réduire l’encombrement de la barre d’outil de Vector 2022 qui se constate parfois sur Wikipédia dans certaines langues avec certaines tailles d’écran. [https://phabricator.wikimedia.org/T429518]
* L’équipe Expérience de lecture prévoit de lancer les [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|Listes de lecture]], un [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey 2021/Mobile and apps/Have Apps reading lists available on Destop/Mobile|souhait de la communauté]] que vous pouvez déjà essayer en bêta, à partir de septembre. Mais avant cela, l’aide des traducteurs et traductrices est nécessaire pour [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special%3ATranslate&amp;group=ext-readinglists&amp;filter=&amp;action=translate plusieurs messages] à traduire dans un maximum de langues. Cette fonctionnalité appuie les objectifs de lecture et d’apprentissage sur Wikipédia.
* La semaine prochaine, le sommaire sur les pages des fichiers de Wikimedia Commons sera amélioré en fusionnant le sommaire spécifique aux pages de fichier avec le sommaire classique des pages. Cela rendra plus facile la compréhension de la structure des pages de fichier, la navigation vers une section spécifique et le partage de liens vers une section en particulier. [https://phabricator.wikimedia.org/T332644]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:24|la tâche soumise|les {{formatnum:24}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:24||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, certaines images [[w:fr:Tagged Image File Format|TIFF]] ne s’affichaient pas après avoir cliqué sur leur vignette : une image cassé s’affichait au lieu de l’image en taille réelle. Ce problème est désormais corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T429326]

'''Actualités pour la contribution technique'''
* Le sélecteur de variables et de fonctions dans les Filtres anti-abus a été mis à jour pour prendre en charge la recherche et l’autocomplétion. Il permettra désormais aux mainteneurs de filtres de retrouver la variable ou fonction désirée plus rapidement. [https://phabricator.wikimedia.org/T323698]
* Les formats MJPEG et VP8 sont retirés du lecteur vidéo. Le format MP4 (MPEG-4 Partie 2) est ajouté à la place : il fournit une meilleure qualité pour les vieux modèles d’iPhone. Plusieurs semaines seront peut-être nécessaires pour mettre à jour toutes les vidéos déjà en ligne. Le format par défaut pour les appareils modernes ne change pas (VP9/WebM). [https://phabricator.wikimedia.org/T358266]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.15|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/32|Traduire]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W32&quot;/&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 3 août 2026 à 19:46 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30872536 --&gt;

== Les RAW en mode fiesta sur la Wikimania ==

&lt;div style=&quot;background-color:#177860; border-radius:.2em;  color:#FFF;padding: 1em;&quot;&gt;
&lt;div style=&quot;font-family: Century Gothic; font-size:3em; line-height:120%;text-align:center;color: #fff;&quot;&gt;RAW&lt;/div&gt;
&lt;div style=&quot;margin-bottom:1.5em; margin-top:1em; text-align:center; color: #fff;&quot;&gt;Le numéro d'août 2026 (n°295) est sorti.&lt;/div&gt;
&lt;div class=&quot;center&quot;&gt;[[:w:Wikipédia:RAW/2026-08-05|&lt;span class=&quot;cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled&quot; style=&quot;white-space:break-spaces; text-align:center; gap:0;&quot;role=&quot;button&quot; aria-disabled=&quot;false&quot;&gt;Lire l'infolettre&lt;/span&gt;]]&lt;/div&gt;&lt;/div&gt;

'''Un numéro exceptionnel'''

La conférence Wikimania s'est achevée le 25 juillet. Que vous ressentiez de la frustration (si vous n’avez pas pu y assister) ou du [[:w:Wikipédia:Wikispleen|wikispleen]] (si vous y étiez et que vous avez du mal à digérer que ce soit déjà fini), l’équipe des RAW n’a pas ménagé ses efforts pour vous proposer un numéro XXL qui revient en long, en large et en travers sur cet événement qui le mérite bien. Comptes-rendus, témoignages, entretiens, il y en aura pour tous les goûts ! Le numéro est aussi exceptionnel par le nombre de rédactrices et de rédacteurs qui y ont participé — merci ! 

Au-delà de Wikimania, l’actualité wikimédienne est loin d’être paisible cet été. Nous vous proposons donc aussi de revenir en détail sur la crise qui secoue la fondation Wikimédia autour de la reconnaissance du syndicat Wiki Workers United (WWU). Nous aurons probablement l’occasion de couvrir la suite de cette histoire dans le prochain numéro. D’ici là, bonne lecture !

----

Au menu de ce numéro :

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white&quot;&gt;En bref&lt;/span&gt;''' — Des actualités francophones et du mouvement Wikimédia et des nouveaux outils

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white&quot;&gt;Dossier spécial Wikimania&lt;/span&gt;'''

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black&quot;&gt;Les POV&lt;/span&gt;'''&lt;br&gt;— Ma Wikimania : la joie, l'inquiétude et la raison d'être&lt;br&gt;— Témoignages : regards sur la Wikimania

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black&quot;&gt;L'Analyse&lt;/span&gt;''' — La crise s'intensifie après le refus de la WMF de reconnaître le syndicat WWU

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black&quot;&gt;Les Comptes-rendus&lt;/span&gt;'''&lt;br&gt;— Une Wikimania sous le signe de la jeunesse&lt;br&gt;— Sur les conséquences de la définition de « wikimédien·ne »&lt;br&gt;— Petit tour d’horizon de la créativité wikimédienne&lt;br&gt;— CultureStrong : respecter les savoirs des Premières Nations sur les plateformes Wikimédia&lt;br&gt;— Des événements techniques à Wikimania

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--background-color-success-subtle, #dff2eb);padding:3px;color:black&quot;&gt;Les Interviews&lt;/span&gt;'''&lt;br&gt;— Ses goûts, sa Wikimania, sa prochaine tournée... : Baby Globe nous dévoile tout !&lt;br&gt;— Jules*, notre Wikimédien de l'année : comment rendre compte du changement climatique tout en protégeant l'encyclopédie

'''&lt;span style=&quot;margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white&quot;&gt;Le wik'hit parade&lt;/span&gt;''' — Une analyse des articles les plus vus le mois dernier

[[Fichier:Toicon-icon-sharp-corners-draw.svg|20px|classe=skin-invert-image]] Les RAW, c'est aussi vous : si un sujet vous tient à cœur, n'hésitez pas à proposer une idée d'article ou à participer à la rédaction du [[:w:Wikipédia:RAW/Rédaction|prochain numéro]]. Toutes les contributions sont les bienvenues, quel que soit votre wiki d'origine ! &lt;span class=&quot;smiley&quot;&gt;[[Image:Face-smile.svg|20px|Sourire|alt=Émoticône sourire]]&lt;/span&gt;

[[Utilisateur:Antimuonium|Antimuonium]] ([[Discussion utilisateur:Antimuonium|discuter]]) 4 août 2026 à 22:26 (UTC)

:Bravo pour cette Wikimania ! Est-ce que Wikiversité a été représentée ou évoquée ? [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:32 (UTC)

== Actualités techniques n° 2026-33 ==

&lt;section begin=&quot;technews-2026-W33&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/33|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Actualités pour la contribution'''
* [[File:Maki-gift-15.svg|12px|link=|class=skin-invert|Concerne un souhait]] Un nouvel assistant à diagrammes (''ChartWizard'') est [[c:Special:ChartWizard/Data:Example.Pie.chart|désormais disponible sur Wikimedia Commons]] pour les utilisateurs et utilisatrices qui souhaitent créer des graphiques à partir de leurs propres données. Cet assistant rend l’[[mw:Special:MyLanguage/Extension:Chart|extension Chart]] plus accessible aux débutants en permettant la création de diagrammes (par exemple des histogrammes ou des graphiques en secteurs) sans devoir utiliser du JSON. Les utilisateurs peuvent encore repasser à l’éditeur JSON s’ils le préfèrent. Vos retours sur ce nouvel outil sont les bienvenus sur la [[m:Talk:Community Wishlist/W414|page de discussion du souhait]].
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:19|la tâche soumise|les {{formatnum:19}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:19||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, le gadget Photo du jour de l’appli Wikipédia pour iOS affichait par erreur la même image chaque jour au lieu d’en afficher une nouvelle quotidiennement. Cela a désormais été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T430692]

'''Actualités pour la contribution technique'''
* Les images SVG de [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Math|formules mathématiques]] seront bientôt générées par le navigateur plutôt que côté serveur. MathML continue d’être généré côté serveur et est rendu dans le navigateur sans JavaScript. Ce changement aura lieu sur Wikibooks le 12 aout, sur Wikisource le 19 aout et sur Wikipédia du 20 au 27 aout. Vous pouvez l’essayer en choisissant « {{int:Mw-math-mathjax}} » dans vos préférences. Cela fait partie de la [[mw:Special:MyLanguage/RESTBase/deprecation|dépréciation de RESTBase]] et [[phab:T431372|de celle de Mathoid]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T271001]
* &lt;span class=&quot;mw-translate-fuzzy&quot;&gt;Les pages de catégorie permettront bientôt de trier les pages de la catégorie par ordre chronologique d’ajout dans la catégorie. Cela permettra de retrouver facilement les pages récemment ajoutées ou celles depuis longtemps dans la catégorie. Cela améliorera aussi le traitement des catégories de maintenance, par exemple les demandes de suppression ou d’autres tâches nécessitant un traitement chronologique. Utilisez l’argument &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;cldsort=timestamp&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; dans l’URL de la vue d’une catégorie pour trier la liste de pages.&lt;/span&gt; [https://phabricator.wikimedia.org/T433768]
* Les [[mw:Special:MyLanguage/Extension:Gadgets|gadgets]] et scripts utilisateur sur les wikis Wikimedia peuvent désormais utiliser les [[phab:T395347|fonctionnalités de ES 2018]] et [[phab:T419142|celles de ES 2019]] dans le code JavaScript. Auparavant, la plateforme n’acceptait qu’ES 2017. MediaWiki valide le code source pour protéger les fonctionnalités d’erreurs de syntaxes et pour vérifier que les scripts sont fonctionnels dans tous [[mw:Special:MyLanguage/Compatibility#Browser_support_matrix|les navigateurs pris en charges]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T419142]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.16|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/33|Traduire]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W33&quot;/&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 10 août 2026 à 20:45 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30901051 --&gt;

== Améliorer Wikiversité pour ses vingt ans d'existence ==

Bonjour.

Au sein du mouvement Wikimédia, Wikiversité apparait comme un projet central dans le cadre d'une mission de création de la connaissance libre et de son partage par l'enseignement.

C'est triste à dire, mais l'arrivée de l'intelligence artificielle est une concurrence très rude pour les projets de partage de la connaissance libre, alors que cette concurrence semble moins problématique pour Wikiversité.

En effet, faute d'avoir une sensibilité humaine, l'IA ne sera jamais bonne enseignante, et faute d'avoir un esprit critique, l'IA ne sera jamais bonne dans la production de nouveaux savoirs et de travaux de recherche.

Dans ce contexte, il serait important que Wikiversité corresponde à l'esthétique et aux usages actuels, ainsi qu'au fonctionnement et à l'accueil que l'on peut exiger d'une plateforme d'enseignement et de recherche.

L'idée est donc de travailler sur ces aspects avant de faire une promotion du projet pour ses 20 ans d'existence en date du [https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Accueil&amp;oldid=1 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; décembre 2026].

* Au niveau graphique et donc du code CSS, Wikiversité n'est pas du tout au point. Il suffit pour s'en apercevoir de choisir le mode sombre actuellement proposé par MediaWiki. Le rendu sur Kiwix est aussi catastrophique.
* Au niveau fonctionnement, et donc JavaScript, modèles et modules, beaucoup de choses sont manquantes ou non mises à jour.
* Au niveau contenu, de nombreuses discussions ont déjà eu lieu sans qu'aucune initiative n'en soit ressortie. Ces discussions concernent en général les nombreuses ébauches à l'abandon, ou autrement dit coquilles vides, mais on peut aussi se poser des questions au sujet de certains départements, ou facultés, tout aussi vides.
* Au niveau de la politique éditoriale, les choses ne sont pas toujours claires. La confusion entre [[m:Neutral_point_of_view/fr|neutralité de point de vue]] et [[v:mul:Wikiversity:Research_guidelines#Verifiability|vérifiabilité]] est un bel exemple. Il faudrait ensuite se mettre d'accord sur des règles strictes concernant l'interdiction de toute forme de propagande. Si la publicité est plutôt bien contrôlée, les choses deviennent plus compliquées quand il s'agit de prosélytisme, faute d'une réglementation claire à ce sujet.

Avec ses travaux de recherche, son usage des sources primaires et la non-obligation de neutralité de point de vue, Wikiversité représente aussi un espace propice à une [[w:Liberté_académique|liberté académique]] en pleine [https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Libert%C3%A9_acad%C3%A9mique&amp;oldid=238414902 régression depuis une vingtaine d'années]. C'est là une autre raison de se mobiliser en faveur d'un développement et de la promotion du projet.

J'aimerais avoir vos commentaires sur cette idée de projet et voir si certains d'entre vous seraient partants pour y consacrer du temps et de l'énergie ?

Bien à tous, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 15 août 2026 à 15:50 (UTC)

:Bonjour,
:Je trouve ton initiative très courageuse. Cela m'amuserait de t'aider. As-tu le pouvoir d'effacer un cours un département, une faculté.
:Mon idée, par exemple:
:* Études artistiques
:** On remplace les quatres département en un seul.
:** On supprime tous les cours à l'abandon depuis plus de neuf mois, en avertissant l'auteur que son cours risque d'être effacé dans le mois après ce message. Si l'auteur souhaite revenir plus tard on met les liens de ce cours dans sa page personnelle et on sort ces lien de l'espace wiki.
:* Pour la qualité d'un travail, la neutralité, la vérifiabilité,  je pense que l'on pourra le gérer une fois la première partie terminée. 
:Merci et bon courage. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 août 2026 à 08:20 (UTC)
::Heureux de recevoir ce premier commentaire et merci pour les encouragement @[[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ! J'espère bien sûr ne pas faire ça seul.
::Oui, j'ai accès aux outils nécessaires pour la réalisation de tes idées. Es-tu prêt à t'investir dans une page [[Wikiversité:20 ans]] ? Cette nouvelle page permettrait de coordonner le chantier tout en invitant la communauté à prendre des décisions lors que cela s'impose.
::Concernant la suppression de pages à l'abandon, la période d'un an sans modification était d'application, mais le délais a changé faute de temps disponible chez les administrateurs.
::Dans tous les cas, on peut déjà plancher sur la création d'un bandeau d'avertissement dans lequel les conditions et la procédure de suppression ébauches abandonnées serait indiqué.
::Faute d'avoir un robot qui le place automatiquement, ce qui serait une autre tâche possible à réaliser, ce bandeau pourrait alors être posé par toute personne après évaluation, toi par exemple pour les sujets qui s'intéressent. Grâce à une catégorie placée dans le modèle, ces pages serait alors listées, ce qui facilitera leurs suppressions par les administrateurs.
::Partant pour me suivre dans le lancement de la page wikiversité:20 ans ? D'autres personnes intéressées ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 16 août 2026 à 10:54 (UTC)
::Tout à fait d'accord pour déposer les bandeaux d'avertissement. Je pourrais commencer par la faculté &quot;Études artistiques&quot; dès que ces bandeaux seront disponibles. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 août 2026 à 14:10 (UTC)
:::Bonjour à tous ! Merci {{Mention|Lionel Scheepmans}} de remettre le sujet de l'anniversaire - et des défis actuels - sur la table.
:::* Ce qui reste à faire en priorité :
:::** réparer les &quot;MOOCs&quot; ;
:::** [[Wikiversité:La salle café/juin 2026#Gestion des ébauches|supprimer l'échelon &quot;niveau d'avancement&quot; pour les ébauches]] ;
:::** développer les [[Wikiversité:Scolarités|portails de scolarité]].
:::* [[Utilisateur:Fourmidable/Projets|Ce qui peut attendre mais qui pourrait redynamiser le site]] :
:::** Wikiconcours sur les réformes scolaires (pour l'enseignement secondaire en France, [[Wikiversité:Wikiconcours du nouveau bac|une page est déjà créée]]) ;
:::** tutoriels vidéo (je compte m'y atteler prochainement)
:::Je suis d'accord pour utiliser [[Wikiversité:20 ans]] comme page de travail.
:::Bien à vous, [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:22 (UTC)
::::Je suis d'accord pour utiliser Wikiversité:20 ans comme page de travail. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 8 septembre 2026 à 10:11 (UTC)
::{{Mention|Xhungab}} : 9 mois, c'est court, et le délai de trois ans permet déjà de supprimer de nombreuses pages. L'idée de notifier les créateurs de leçons abandonnées avant de supprimer unilatéralement leurs travaux me semble très bonne. Pourquoi pas fusionner des départements car dans certaines facultés, ils ne correspondent pas à des disciplines académiques, ce sont souvent simplement des sujets ultra-spécifiques. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:27 (UTC)
:::Chouette @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] east de la partie ! En vrai, c'est lui qui a avancé l'idée des 20 en premier. Nous sommes donc trois. Le minimum requis pour lancer une nouvelle version li'guistique dans Incubator =). Nous pouvons donc créer la page des 20 ans et poursuivre les discussions dans cette espace plus approprié. Ce qui ne nous empèche pas à nous comme à d'autres de poursuivre ici, notamment pour exprimer des souhaits, des craintes concernant le projet. Les encouragements et les adhésions étant aussi les bienvenus évidement. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 16 août 2026 à 14:05 (UTC)
:::Je suis peut‑être un cas particulier, mais il m’est souvent arrivé — surtout à mes débuts sur Wikipédia et d’autres wikis — de déposer des ébauches dont je n’étais pas satisfait, en me disant que j’y reviendrais plus tard, peut‑être une fois à la retraite (ou lors de prochaines vacances) quand j'aurais plus de temps. J’espérais aussi que d’autres contributeurs les amélioreraient entre‑temps, ce qui s’est produit dans l’immense majorité des cas sur Wikipédia.
:::Je sais que c’est beaucoup moins fréquent sur Wikilivres ou Wikiversité, et je le regrette tout en le comprenant : la communauté y est plus petite, et les ébauches y restent souvent longtemps en l’état. Pourtant, ce sont bien les ébauches — même très rudimentaires, comme le célèbre « la pomme est le fruit du pommier » — qui ont permis à Wikipédia de devenir ce qu’elle est. Beaucoup d’articles ont mis des mois ou des années à se développer, et il en restera toujours à compléter : c’est le principe même d’un wiki.
:::Je comprends aussi que, pour un lecteur, tomber sur un grand nombre d'ébauches peut décourager l'exploration et l'intérêt pour wikiversité. Donc, si une ébauche contient des erreurs ou des incohérences difficiles à corriger, il est logique de la supprimer après un certain temps, idéalement avec une alerte avant pour le contributeur. Mais lorsqu’il s’agit d’un plan utile, d’une structure quasi-prête à être enrichie par un futur contributeur qui n’aurait le temps ou les compétences que pour compléter une partie, il me semble judicieux de la conserver dans un espace secondaire, par exemple sous forme de brouillon communautaire. J’imagine que cette idée a déjà été discutée ; peut‑être est‑elle complexe à mettre en œuvre, mais elle pourrait aider à préserver des amorces de contenus prometteurs sans nuire à l’expérience des lecteurs. [[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 16:24 (UTC)
::::Traditionnellement, les espaces brouillons dans l'espace de nom utilisateurs. Une idée serait donc de déplacer les ébauches en sous-page des espaces utilisateurs de leurs auteurs, au lieu de les supprimer et de ne garder dans l'espace principal que les travaux suffisamment avancés pour être dignes d'intérêt. Qu'en pensez-vous ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 22 août 2026 à 23:37 (UTC)
::Le délai de trois ans me semble parfait. Je suis aussi pour fusionner les départements qui n'ont pas un minimum de cours terminer. Par exemple:
::La faculté &quot;Études artistiques&quot; possède quatre départements qui sont pratiquement vides. Mon idée est de réunir ces quatre départements dans une seule feuille &quot;Études artistiques&quot;, dans laquelle on listera uniquement les cours finis. On mettra dans cette page un lien qui dirigera sur les cours en construction.
::Merci. [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 16 août 2026 à 14:06 (UTC)

: Oui, l’IA contribue aujourd’hui — de manière indirecte et involontaire — à détourner des centaines de millions de lecteurs de Wikipédia, tout en s’appuyant massivement sur le travail colossal des bénévoles wikimédiens. C’est paradoxal, parfois triste, mais c’est aussi la conséquence logique d’une licence ouverte qui a fait la force de nos projets (et qui n'est pas à regretter).--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC) 
:Il est vrai que les IA actuelles n’ont ni sensibilité humaine ni véritable esprit critique. Mais il serait imprudent de considérer que cela restera figé : leurs capacités progressent rapidement, et dans un nombre croissant de domaines, il devient difficile de distinguer l’imitation (IA) du modèle (Homo sapiens). D’autant que les humains eux‑mêmes ne sont pas toujours exemplaires en matière de sensibilité ou de discernement. L’avenir est encore plus incertain si l’on pense à l’IA quantique ou aux architectures hybrides utilisant des réseaux de neurones biologiques : mieux vaut rester modestes et prudents. &lt;br&gt;Je ne serais pas surpris que certaines IA deviennent bientôt aussi efficaces que de très bons enseignants (pour les sciences, le code, ses progrès sont déjà spectaculaires semble-t-il), tant en pédagogie qu’en créativité. Cela n’enlève rien au potentiel immense de Wikiversité (potentiel en dormance ? que lui manque-t-il pour s'exprimer ?.. Jimmy Wales rappelait déjà que Wikiversité pourrait représenter une étape majeure : dépasser la simple consultation encyclopédique pour bâtir une communauté mondiale d’apprentissage et de production de savoirs libres. Il a souvent souligné que la transformation de l’éducation en ligne est un enjeu encore plus vaste que la création d’une encyclopédie--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC).
::Je ne connaissais pas ces propos de Jimy @[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]]. Tu te souviens où les avoir vus ? Au sujet de l'IA, on verra comment les choses évoluent. Elles évoluent vite, donc on en a pas pour des années, semble-t-il. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 22 août 2026 à 23:41 (UTC)

:Comme toi, et depuis nos premiers échanges, j’ai toujours pensé que Wikiversité — adossée à Wikipédia, Wikilivres, Wikidata, etc. — avait un potentiel considérable. Mais le projet a souffert de plusieurs facteurs :
: * Le succès écrasant de Wikipédia, plus attractif, plus gratifiant, plus rapide, et porté par une communauté large et pluridisciplinaire. Wikiversité est bien plus exigeante qu’on ne l’imagine : faire de la pédagogie sans connaître son public est un art difficile.
: * La frilosité du monde universitaire, qui a longtemps méprisé ou ignoré les wikis. Beaucoup ont manqué de vision prospective : des thèses collaboratives multilingues auraient pu voir le jour, des laboratoires ouverts auraient pu émerger, mais l’occasion a été manquée.
: * Le référencement catastrophique de Wikiversité par Google, qui a probablement été le facteur le plus pénalisant, sans explication claire.
: =&gt; Plutôt que de supprimer (sauf cas flagrant de cours vraiment sans intérêts) les travaux en cours/cours apparemment abandonnés (ce qui peut-être définitivement démotivant pour ceux qui les ont commencé), on pourrait apposer une bannière remerciant les auteurs mais signalant un besoin urgent d'amélioration... une priorité ne devrait elle pas plutôt être de mobiliser - et donc motiver - de bons wikimédiens pour revitaliser et compléter Wikiversité (mais comment faire, face à la concurrence de tant d'autres choses à faire ?).  Remarque : j'ai co-animé une wikipermanence durant plusieurs années, et j'ai un peu participé aux wiki-formations de thésards avec wikimedia France, dès les premiers essais à Lille, à l'époque des tous premiers Moocs en France. Je vois bien qu'il sera difficile de recruter dans ce milieu où la plupart des étudiant ont un certain sens du bien commun, mais aussi un besoin de répondre à leurs propres besoins (avant d'être happés par la vie professionnel, leurs amours, la maternité/paternité, les difficultés du métier, d'éventuelles difficultés financières, etc.) ... plus qu'aux besoins d'une communauté comme wikiversité... 
: Question : Je n’ai pas pris le temps de chercher ce préalable, mais y a t il eu dans une revue scientifique, une université ou un livre ...ou - chez nous (y compris wikimédia France ou Wikimedia fondation) -  une étude sur les causes du non-décollage de wikiversité (en France ou ailleurs) ? Y a t il des chapitres (pays/langues) où wikiversité a décollé plus vite ou mieux que chez nous et si oui, pourquoi ? quelles leçons pouvons nous en tirer''' =&gt;  Suggestion''' : La wiki-communauté comprend, si je ne me trompe pas, désormais, de nombreux jeunes retraités (la fin des babyboomers), dont d’anciens enseignants, universitaires, documentalistes (un vivier idéal pour relancer un projet pédagogique ? non ? en théorie au moins, resterait à les mobiliser).--[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC) 
::Les trois facteurs énoncés sont effectivement pertinents. Quant aux étudiants à l'université, ma propre expérience démontre aussi que si cela ne leur apporte rien en matière d'évaluation, ils ont d'autres préférences que de contribuer aux projets Wikimédia. Ce qui fonctionne bien en revanche, comme je l'ai fait [[Anthropologie numérique/Session UCLouvain 2024|dans le cadre d'un séminaire]], c'est d'intégrer celui-ci dans Wikiversité. La contribution au projet devient alors un travail reconnu dans les crédits d'enseignement. Je ne connais pas d'étude comparative entre les versions linguistiques. Je sais juste qu'un [[:en:WikiJournal_User_Group|Wikijournal]] a vu le jour dans la version anglophone et qu'il y a eu des cours universitaires très fréquentés du côté lusophone. Et en effet, ce serait bien que des profs à la retraite développent des cours sur Wikiversité. Mais, quand tu as fait ça toute ta vie, sans doute que tu n'as plus envie de le faire, non ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 22 août 2026 à 23:55 (UTC)

:Je voudrais aussi évoquer un souvenir personnel : j’ai été vraiment très bien accueilli sur Wikipédia et wikiversité (merci à mes parrains et marraines), mais beaucoup moins sur Wikilivres ou Wikinews, ce qui m’a freiné dans mon investissement sur Wikiversité malgré le soutien de Salix et de quelques anciens que je salue au passage. En tant qu’enseignant, j’ai toujours encouragé mes étudiants à tester les wikis (et wikipédia et wikiversité en premier lieu), à contribuer, à vérifier, à collaborer — pendant que d’autres &quot;professeurs&quot; les menaçaient de sanctions s’ils partageaient leurs connaissances dans des environnements libres, tout en leur expliquant qu’il fallait apprendre à travailler en équipe (&quot;travaux de groupe&quot; disait on autrefois)
: Reste le contexte complexe de l’IA émergente évoqué plus haut par Lionel... Je ne sais pas encore qu'en penser vraiment mais on ne peut plus l'ignorer. L'IA générative et peut-être bientôt une &quot;superintelligence&quot; va-t-elle manger &quot;nos&quot; wikis ? (certaines IA citent souvent wikipédia comme source je crois, Wikiversité je ne crois pas car wikiversité n'a pas atteint une taille ni une qualité ni une notoriété ou reconnaissance académique qui la rendrait crédible et utile pour une IA (je me trompe ?) --[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discuter]]) 16 août 2026 à 14:28 (UTC)
::Aucune idée concernant l'IA. Au niveau académique en revanche, mon expérience a été très décevante. Au départ de ma page utilisateur, on peut voir que j'ai utilisé Wikiversité en tant qu'étudiant, doctorant et finalement professeur. Mon expérience me semblait inspirante, mais personne ne s'y est jamais intéressé, ni du côté de l'université, ni du côté du mouvement Wikimédia. Ce fut à l'origine d'une forte démotivation de ma part dans les deux sphères d'activité.  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 23 août 2026 à 00:00 (UTC)

P.S. Abonnez-vous à cette discussion si vous voulez poursuivre son évolution en cliquant sur l'option à droite du titre ci-dessus.
: Fait {{Sourire}} --[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 16 août 2026 à 13:24 (UTC)

:Beaucoup de remarques iet de témoignages ntéressants @[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]]. Je vais prendre le temps d'y réfléchire. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 16 août 2026 à 23:48 (UTC)
::Voici plus d'une semaine que la discussion a été lancée. Je doute qu'il y aura d'autres personnes intéressées. Ça vous dit de se faire une rencontre vidéo, question de gagner du temps au niveau des échanges, tout en se motivant mutuellement ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 23 août 2026 à 00:02 (UTC)
:::Je viens de lire ce fil ?
:::Le serpent de mer sort la tête de l'eau pour survivre ?
:::Ou, dois-je dire : &quot;Hourrah ! bonne nouvelle ?
:::Je suis intéressée au projet. Mais je n'aime pas enfiler les perles brisees.
:::Donc, il faudra un plan de travail et des résultats. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 31 août 2026 à 17:07 (UTC)
::::Bonsoir à tous,
::::Je précise ma participation au projet.
::::Je suis favorable au chantier des vingt ans, à condition qu’il soit organisé autour d’un plan de travail, de responsables identifiés, d’échéances et de résultats vérifiables.
::::Avant toute suppression massive, je propose d’établir un inventaire qualitatif des contenus et de distinguer les pages vides, obsolètes, erronées, inachevées mais réutilisables, temporairement interrompues ou relevant de l’[[Recherche:Accueil|espace Recherche]]. Le délai d’inactivité ne devrait être qu’un signal d’examen, non un motif automatique de suppression.
::::Le chantier devrait comprendre six axes : 
::::1. Inventaire 
::::2. Architecture du site,
::::3. Cycle de vie des contenus, 4. Règles éditoriales,
::::5. Accueil des publics
::::6. Modernisation technique.
::::Il faudrait également ouvrir deux dossiers aujourd’hui indispensables : 
::::1. Les conditions d’accueil des recherches et des thèses ; 
::::2. La traçabilité des usages de l’[[Intelligence artificielle|intelligence artificielle]].
::::Le [[Wikiversité:20 ans|chantier des vingt ans]] ne part pas de zéro. Plusieurs groupes locaux disposent déjà d’expériences intéressantes en matière de formation, d’accompagnement des publics et d’organisation d’ateliers. Un recensement comparatif de ces expériences permettrait d’identifier les pratiques transférables et d’éviter de recommencer ce qui a déjà été expérimenté.
::::Le Groupe local Bourges–Vierzon pourrait contribuer à ce travail en proposant un terrain d’expérimentation pour l’année 2026-2027 : 
::::* Ateliers présentiels
::::* Supports publiés sur Wikiversitè 
::::* Productions accompagnées
::::* Comptes rendus avec évaluation des difficultés rencontrées par les participants.
::::Je propose enfin que chaque action inscrite sur [[Wikiversité:20 ans]] indique :
::::1. le problème traité
::::2. le public concerné
::::3. le responsable
::::4. l’échéance, le statut et le résultat attendu. 
::::Le 1{{er}} décembre constituerait alors un premier jalon public, et non la promesse irréaliste d’une rénovation complète. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 1 septembre 2026 à 21:23 (UTC)
:::::Je suis prête à contribuer aux trois volets suivants :
:::::1. Recherche et thèse, en prenant appui 
:::::* sur les travaux que j’ai déjà réalisé sur Wikiversité en français et 5 autres projets Wikimedia
:::::2. Les travaux bibliographiques développés dans l’écosystème Wikimedia, saisie des données bibliographiques sur Wikidata et transfert dans Wikiversitè 
:::::3. Les usages pédagogiques territoriaux, à partir des expériences déjà conduites par plusieurs  groupes locaux et l’expérimentation en cours menées avec les groupes de Bourges et de Vierzon.
:::::4. Mes usages de l'Intelligence artificielle pour la recherche et l'enseignement en Sciences Humaines et Sociales &amp; la traçabilité des productions.
:::::A quoi s'ajoutera l’expérience des résidences Wikimédia pour l’enseignement supérieur et la recherche, notamment celles conduites au sein des [[w:Unité régionale de formation à l'information scientifique et technique|URFIST]] ;
:::::Cette contribution suppose que le chantier débouche effectivement sur des décisions, des actions identifiées et des livrables consultables.
:::::(Je ne suis pas très douée pour les contributions sur les projets Wikimedia à partir d'un téléphone portable)
:::::Bel Bonjour à tous. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 1 septembre 2026 à 21:55 (UTC)
:::La visio est une bonne idée, mais il faudra trouver un créneau commun ^^&quot; Personnellement, je suis encore disponible tous les jours en matinée cette semaine et probablement la suivante. [[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 1 septembre 2026 à 09:25 (UTC)
::::Pardon pour mon silence estival... Faire le ménage de temps en temps est assurément nécessaire et le faire avec un plan de rangement est appréciable. L'idée de mettre en sous page du créateur les leçons et autres structures de leçons non terminées me semble être une réponse adéquate. La promotion de WV via des youtubeurs ayant &quot;pignon sur rue&quot; serait peut-être nécessaire. Travailler les liens interwikis aussi... Les structures des facultés vides doivent contenir le message standard pour le lecteur-chercheur d'info: &quot;leçon inexistante- avons besoin de votre concours avisé&quot;Par rapport aux risques liés à l'IA, je n'ai pas les idées très claires... L'usage de nos travaux par les IA's est lié au copyleft encadré. Le versement d'un cours établi en grande partie par l'IA est tout autant possible que le versement d'un plagiat d'un manuel ou d'une synthèse encyclopédique. Il faut peut-être insister sur la nécessité de sourcer ce qui peut l'être... Décembre va arriver vite. Nous organiser est donc urgent...[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] ([[Discussion utilisateur:Guy6631|discuter]]) 1 septembre 2026 à 17:33 (UTC)
:::::Sur l'usage de Wikimedia par les IA, je pense qu'il faut travailler sérieusement la question en mettant en avant des critères scientifiques. Wikiversitè est le bon endroit pour le faire. Encore faut-il créer de véritables laboratoires numériques de recherche. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 1 septembre 2026 à 22:07 (UTC)
::::::@[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] @[[Utilisateur:Guy6631|Guy6631]] @[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] @[[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]], heureux de voir que l'équipe se renforce. Effectivement, la période de vacances n'est pas celle où les gens sont les plus disponibles. Pour ma part, cela dépend beaucoup de la météo. Quand il fait beau, je passe moins de temps sur le net. Sauf en soirée et en début de nuit.
::::::* Pour les '''réunions en audio ou vidéo'''. Il existe Jisti qui nous permet de lancer un salon de conversation sur lequel on peut se connecter avec un simple navigateur en acceptant le partage de votre micro et caméra. Voici le lien : https://meet.jit.si/Wikiversit%C3%A9%2020%20ans que je propose. Il nous reste à définir le jour et l'heure. On peut toutefois s'y rendre dès que l'on va travailler sur le projet et que l'on se sent prêt à communiquer verbalement. Il faut se connecter pour lancer un salon, mais pas pour le rejoindre. La connexion peut se faire avec un compte Google. J'imagine donc que la plupart d'entre nous seront capables de lancer le salon.
::::::* Pour '''organiser le chantier'''. Le plus simple, à mes yeux, c'est de tout centraliser sur la [[Wikiversité:20 ans|page des 20 ans]] (discussion, plan de travail, équipe, responsabilité, vote d'acceptation, etc.) en utilisant [[Discussion Wikiversité:20 ans|sa page de discussion]] uniquement pour discuter de l'organisation et de la structuration de la page en question, mais pas de son contenu. On peut aussi utiliser la page de discussion pour convenir de rendez-vous en visioconférence.
::::::On fait ça ? Chacun complète la page des 20 ans selon sa vision des choses (pensez à modifier par section pour éviter les conflits d'édition) et on se retrouve sur sa page de discussion pour les questions de structuration de la page et pour les prises de rendez-vous en visioconférence ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 3 septembre 2026 à 11:20 (UTC)
::::Je suis d'accord pour une visio au cours de la première semaine de novembre. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 8 septembre 2026 à 11:20 (UTC)

Si besoin je peux aider pour les pages où les droits d'admins ne suffisent pas. Vu que le projet concerne tout le monde, j'en profite aussi pour notifier les personnes ayant le plus contribué à la Wikiversité en 2026 : {{ping|Projet PEP|Psychoslave|Mekkiwik|Guillaume FOUCART|Fourmidable|PandaMystique|Crochet.david|Octogénaire|Lionel Scheepmans|Marvoir}} {{ping|Solstag|Jules*|Phl7605|Cdang|JackPotte}}. Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 12 septembre 2026 à 17:07 (UTC)

:Salut @[[Utilisateur:VIGNERON|VIGNERON]]. C'est cool que l'on puisse aussi compter sur toi et bonne idée de notifier les personnes les plus actives. Qu'entends-tu par une aide là où « les droits d'admin ne suffisent pas » ? As-tu un exemple ? Ferais-tu partie des personnes qui ont un droit d'accès en modification du code PhP sur les serveurs Wikimédia ? Si c'est le cas, nous avons déjà une [[Wikiversité:La salle café/mars 2026#Outil de traduction|demande d'installation de l'outil de traduction.]] Bien à toi, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 13 septembre 2026 à 12:50 (UTC)
::{{ping|Lionel Scheepmans}} je suis steward, un droit global qui équivaut à tout les groupes locaux (voir [[Spécial:Liste_des_droits_de_groupe]]) et qui peuvent compenser l’absence de personnes ayant localement les droits nécessaires. Par contre, cela ne comprend pas ni le logiciel, ni les serveurs (c'est quelque chose de complètement différent), la procédure est celle indiqué par JackPotte. Et au-delà des droits, j'ai un peu d'expérience sur le fonctionnement de l'écosystème technique Mediawiki. Cdlt, [[Utilisateur:VIGNERON|V&lt;span style=&quot;font-size:75%&quot;&gt;IGNERON&lt;/span&gt;]] * [[Discussion Utilisateur:VIGNERON|&lt;sup&gt;discut.&lt;/sup&gt;]] 13 septembre 2026 à 13:26 (UTC)
:::Steward. C'est un joli prénom =). C'est noté @[[Utilisateur:VIGNERON|VIGNERON]]. une belle fin de journée ! [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 14 septembre 2026 à 02:27 (UTC)

==Wikilivres:Prise de décision/Créer un espace lecteurs et un espace auteurs sur la page d'accueil==
J'ai posé une demande de prise de décision concernant le sujet suivant : [https://fr.wikibooks.org/wiki/Wikilivres:Prise_de_d%C3%A9cision/Cr%C3%A9er_un_espace_lecteurs_et_un_espace_auteurs_sur_la_page_d%27accueil Créer un espace lecteurs et un espace  Les coulisses de Wikibook].
La page ci-dessus présente une explication détaillée du problème et de sa solution possible. Me sentent un peu seul dans ce combat. Je me permets de solliciter votre aide.
Je pense que ce travail pourrait être mis en place sur Wikiversité.
Merci [https://fr.wikibooks.org/wiki/Utilisateur:Xhungab Xhungab] [[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]] ([[Discussion utilisateur:Xhungab|discuter]]) 6 septembre 2026 à 05:19 (UTC)
:Bonjour @[[Utilisateur:Xhungab|Xhungab]]. Content de te revoir dans les murs de Wikiversité après nos échanges sur Wikilivres. Je comprends ton sentiment de solitude, je le ressens aussi souvent. Il faut l'accepter et ne pas se décourager pour autant. Nous avons la chance de fonctionner dans une organisation bénévole, dans laquelle personne n'est tenu de répondre à des demandes. De ce fait, les choses évoluent lentement et en fonction des disponibilités. Dis-toi aussi que la période estivale est toujours un moment d'acalmie dans la participation. Moi par exemple, quand il fait bon, je préfère passer du temps sur des occupations extérieures que devant un écran.
:Cela dit, tu dois garder 3 règles implicites qui sont fréquemment appliquées dans les projets Wikimédia.
:1. ''Qui ne dit mot consent''. Si les personnes ne réagissent pas, cela ne veut pas dire qu'elles ne lisent pas. Par économie de temps et pour les personnes trop occupées ou pas assez motivées pour s'investir, ne pas réagir est un signe de consentement implicite.
:2. ''Les absents ont toujours tort.'' Lorsque l'on fait les choses dans les règles de l'art, par exemple comme tu le fais en lançant une prise de décision pour opérer un changement significatif dans Wikilivres, aucune personne absente durant un processus de décision clôturé viendra remettre en cause les choses par la suite.
:3. La doocratie. Les wikis sont des espaces de libertés au niveau de l'amélioration des contenus, mais également de l'organisation et des formes de contenus. En dehors du vandalisme qui est bien contrôlé par des personnes telles que @[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]], toute initiative est souvent perçue comme bienvenue. @[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]], par exemple, depuis qu'il est administrateur, a fait de nombreuses améliorations dans Wikiversité sans demander l'avis de la communauté. Personne ne lui a reproché son investissement. Si quelque chose qu'il a entrepris ne plaît pas à quelqu'un, une discussion commence entre lui et cette personne pour chercher une entente.
:Voilà tout.
:Je te rejoins aussi sur le fait que ce qui est décidé et mis en place sur Wikilivres peut tout à fait servir d'exemple pour Wikiversité et vice versa. Je ne suis pas le seul à être administrateur dans les deux projets et cela aide beaucoup à la création d'une synergie entre les deux projets qui sont finalement très complémentaires. Cela n'est pas étonnant d'ailleurs lorsque l'on sait que Wikiversité est né de Wikilivres.
:Une belle fin de journée à toi et à tous ceux qui liront ce message.  [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 6 septembre 2026 à 11:19 (UTC)
::@[[Utilisateur:DavidL|DavidL]], @[[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]], @[[Utilisateur:Grondin|Grondin]], quelqu'un pourrait nous dire le délai nécessaire avant la clôture d'une prise de décision dans Wikilivres ? [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt; 6 septembre 2026 à 11:33 (UTC)
:::Bonjour, à ma connaissance il n'y a pas de délai minimum ni maximum. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 9 septembre 2026 à 06:45 (UTC)

== &lt;span lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;Tech News: 2026-34&lt;/span&gt; ==

&lt;div lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
&lt;section begin=&quot;technews-2026-W34&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/34|Translations]] are available.

'''Weekly highlight'''
* The [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CampaignEvents/Registration/Worklist|Worklist feature]] for the Event Registration tool is now live on all Wikimedia wikis. With Worklist, event organizers can add the articles their event will focus on directly to the event page. The Worklist also powers [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CampaignEvents/Registration/Worklist#How Event Pathways uses the worklist|Event Pathways]] which notifies other editors of the upcoming or ongoing event when they edit an article featured in the event's Worklist. This is the minimum viable version (MVP), and feedback is welcome. Organizers are encouraged to try the feature. A hands-on [[m:Special:MyLanguage/Event:Worklist Setup Workshop: Get Your Event Ready|Worklist Setup Workshop]] will take place on 18 August at 16:00 UTC and 19 August at 11:00 UTC.

'''Updates for editors'''
* [[Special:ShortPages]] displays short pages by their size, but in many cases it gets filled with disambiguations and soft redirects, making it harder to find the short articles themselves. Starting this weekend, you will be able to choose not to include an article in the special page by adding the magic word &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;__EXPECTSHORTPAGE__&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. [https://phabricator.wikimedia.org/T433203]
* One new wiki has been created: a {{int:project-localized-name-group-wikipedia/en}} in [[d:Q3436680|Bole]] ([[w:bol:|&lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;w:bol:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;]]) [https://phabricator.wikimedia.org/T429921]
* Starting the week of August 17, the page toolbar will wrap onto two lines when there is not enough horizontal space for all the buttons. This is a [[phab:T429518|fully merged patch from the Reader Experience team]] which aims to reduce crowding in the Vector 2022 toolbar, that may occur on some language Wikipedias at certain screen widths.
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:16}} community-submitted {{PLURAL:16|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, uploading large files to Wikimedia Commons has become more stable and less prone to failure following some fixes related to the “Could not acquire lock” upload error. [https://phabricator.wikimedia.org/T386640]

'''Updates for technical contributors'''
* Debian Bullseye will reach the end of its Long Term Support on 31 August 2026. [[phab:T434103|Some Cloud VPS projects]] still have instances running Debian Bullseye. Maintainers of those projects are encouraged to migrate to Debian Bookworm or Debian Trixie. A [[wikitech:Help:Cloud VPS instance operating system migration|migration guide]] is available to help with the process, and users may also want to consider whether their workload is better suited to Toolforge. If you need help or cannot complete the migration by 31 August, please contact the Cloud VPS admins as soon as possible. [[listarchive:list/cloud-announce@lists.wikimedia.org/thread/RVIPQSYLKMSL5M46JP6NEJVGVE6I2RXQ/|Read more]].
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.16|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/34|Translate]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W34&quot;/&gt;
&lt;/div&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 17 août 2026 à 21:03 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30922806 --&gt;

== Growth/Newsletters/36 ==

&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
[[File:Growth team logo - Icon only.svg|right|180px|frameless|class=skin-invert]]

''Mises à jour de l'équipe [[mw:Special:MyLanguage/Growth|Growth]] sur notre travail pour améliorer l'expérience utilisateur du nouvel éditeur.''

&lt;span id=&quot;Recent_releases&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Modifications récentes ===

&lt;span id=&quot;Account_creation_experiments&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==== Expériences de création de compte ====

Plusieurs [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments|expériences visant à améliorer le taux de réussite de la création de comptes]] ont donné des résultats significatifs.

* Un message mis à jour, affiché aux utilisateurs mobiles non connectés qui tentent de modifier une page, a entraîné une augmentation relative de 27 % du nombre de créations de comptes et est en cours de déploiement sur tous les wikis. ([[phab:T424595|T424595]])
* Un nouveau bouton de menu de compte est présent dans l'entête du site pour mobile, [[mw:Special:MyLanguage/Contributors/Account Creation Experiments#Experiment Results: Mobile Web Account Menu|testé en A/B sur cinq Wikipédias auprès de près de 8 millions de participants]], a incité les utilisateurs mobiles non connectés à créer un compte avec une probabilité supérieure de 25 %, sans différence significative dans leur comportement en matière de modifications constructives. ([[phab:T428220|T428220]]) 
*Une boîte de dialogue de post-édition plus simple destinée aux titulaires de comptes temporaires a permis d'augmenter de 87 % (en valeur relative) le nombre de créations de comptes permanents, ce qui a permis de convertir davantage de contributeurs temporaires en contributeurs enregistrés. ([[phab:T416418|T416418]])[[File:Create account - July 2026 updates.png|thumb|Le nouveau formulaire de création de compte a permis d'augmenter le nombre d'inscriptions de 24,4 % en valeur relative.]]
*Nous avons aussi repensé le formulaire de création de compte lui-même ([[phab:T409236|T409236]]) : nous y avons ajouté une validation en temps réel du nom d'utilisateur, un résumé concis de la politique relative aux noms d'utilisateur, une option &quot;afficher le mot de passe&quot; et une mise en page simplifiée conforme aux directives du [[wmdoc:codex/latest|Codex]]. Lors d'un test A/B mené sur la version mobile de Wikipédia en anglais, les utilisateurs ayant vu le formulaire remanié ont créé des comptes permanents à un taux de 20,4 %, contre 16,4 % pour le groupe témoin (soit une augmentation relative de 24,4 %).

&lt;span id=&quot;Revise_Tone_structured_task&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==== Tâche structurée de révision du ton ====
[[mw:Special:MyLanguage/Growth/Revise Tone|Reviser le ton]] aide les nouveaux contributeurs à repérer les passages susceptibles de contenir un langage non encyclopédique et les guide dans la révision du ton.
Lors de tests A/B menés sur les Wikipédias en arabe, en anglais, en français et en portugais, les taux d'achèvement des tâches par les nouveaux contributeurs étaient [[mw:Special:MyLanguage/Growth/Revise Tone#Experiment Results|supérieurs de 38,7 %]] à ceux de la tâche de relecture par défaut, sans que la qualité des modifications n'en soit affectée.
Le test s'est achevé le 9 juillet, et cette fonctionnalité est désormais accessible à tous sur ces wikis ; elle peut être configurée via la configuration de la communauté.
[[phab:T426364|Nous prévoyons]] de déployer la fonctionnalité &quot;Revise Tone&quot; sur d'autres wikis.

&lt;span id=&quot;Automated_mentor_list_cleanup&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==== Nettoyage automatisé de la liste des mentors ====
Les communautés peuvent désormais [[mw:Special:MyLanguage/Help:Growth/Mentorship#Automated mentor list cleanup|marquer automatiquement les mentors inactifs comme ''absents'' ou les retirer complètement du programme de mentorat]] (ce qui entraîne la réaffectation automatique de leurs mentorés).
L'inactivité est évaluée en fonction des modifications, et les réponses sur les pages de discussion sont prises en compte ; ainsi, les mentors qui répondent aux questions de leurs mentorés restent actifs.
Nous vous recommandons d'activer ces deux options simultanément ; les administrateurs peuvent les activer via [[Special:CommunityConfiguration]] et consulter la liste des mentors via [[Special:ManageMentors]].

&lt;span id=&quot;Growth_features_for_Wikidata&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==== Fonctionnalités de Croissance pour Wikidata ====

Les fonctionnalités liées à la croissance sont [[phab:T400937|désormais disponibles sur Wikidata]], notamment une page d'accueil simplifiée pour les nouveaux arrivants, le programme de mentorat, le module &quot;Impact&quot;, les actualités de la communauté et le panneau d'aide.

&lt;span id=&quot;Work_in_progress&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Travail en cours ===
[[File:Home designs labeled.png|thumb|Premiers concepts pour faire évoluer la page d'accueil des nouveaux arrivants vers une page 'Accueil' personnalisée qui évolue au fur et à mesure que les contributeurs s'impliquent.]]

&lt;span id=&quot;Home&quot;&gt;&lt;/span&gt;
==== Accueil ====
Les équipes Growth et [[mw:Special:MyLanguage/Moderator Tools|Modération]] sont en train de développer le projet [[mw:Special:MyLanguage/Home|''Home'']] ([[phabricator:T419358|T419358]]) : une page d'accueil unifiée, personnalisée et destinée à remplacer la page d'accueil des nouveaux arrivants.
Plutôt que de rester une fonctionnalité réservée aux nouveaux utilisateurs, Accueil évoluera au fur et à mesure que les utilisateurs gagneront en expérience, en leur proposant des suggestions de modifications, des modifications à valider et des processus de modération au moment opportun.

&lt;span id=&quot;Research&quot;&gt;&lt;/span&gt;
=== Recherche ===

L'[https://research.wikimedia.org/ équipe de recherche de Wikimedia], en partenariat avec l'équipe croissance, a publié les conclusions de deux projets portant sur la manière dont les nouveaux contributeurs apprennent et s'intègrent à la communauté :

* [[m:Research:Understanding_newcomer_mentorship_on_Wikipedia|Comprendre le mentorat des nouveaux contributeurs sur Wikipédia]]
* [[m:Research:Successful_Newcomers_Survey_2025#Results|Enquête sur la réussite des nouveaux arrivants]] 

''&lt;small&gt;'''[[mw:Special:MyLanguage/Growth/Newsletters|La lettre d'information de l'équipe Croissance]]''' préparée par [[mw:Special:MyLanguage/Growth|l'équipe Croissance]] et publiée par [[m:User:MediaWiki message delivery|robot]] • [[mw:Talk:Growth|Donner son avis]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/Growth team updates|S'abonner ou se désabonner]].&lt;/small&gt;''
&lt;/div&gt; 18 août 2026 à 13:17 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Growth_team_updates&amp;oldid=30870183 --&gt;

== Actualités techniques n° 2026-35 ==

&lt;section begin=&quot;technews-2026-W35&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/35|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''Actualités pour la contribution'''
* La page [[Special:CreateAccount|Spécial:Créer_un_compte]] a été simplifiée dans le cadre des travaux en cours visant à moderniser le processus de création de compte. Le panneau affichant les statistiques du projet n'apparaît plus à côté du formulaire, que ce soit sur ordinateur ou sur mobile. Plusieurs tests portant sur la création de comptes ont montré qu'un formulaire plus simple aidait les nouveaux utilisateurs à mener à bien leur inscription. [https://phabricator.wikimedia.org/T433783]
* Afin d'améliorer les performances de la page, les images ne se chargent désormais que lorsqu'elles sont visualisées. Cela signifie que les images situées plus bas dans un article ne se chargeront pas si le lecteur ne fait jamais défiler la page jusqu'à cette partie, ce qui peut avoir une incidence sur certains indicateurs liés aux images. [https://phabricator.wikimedia.org/T148047]

* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:42|la tâche soumise|les {{formatnum:42}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:42||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème empêchant l'affichage des vignettes d'images sur Abstract Wikipedia après le déplacement du fichier correspondant sur Wikimedia Commons a désormais été résolu. Les vignettes s'actualisent désormais correctement lorsque les fichiers sont déplacés. [https://phabricator.wikimedia.org/T433448]

'''Actualités pour la contribution technique'''
* La fiche d'informations sur l'utilisateur est une fonctionnalité qui permet aux modérateurs de consulter des informations sur les comptes d'utilisateurs. Jusqu'à présent, elle n'était disponible que dans des sections telles que l'historique des pages, les journaux et les modifications récentes. Désormais, il est également possible de [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CheckUser#User_Info_card_in_page_content|l'insérer dans le contenu d'une page]] à l'aide de la fonction d'analyse &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{#uic:}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. Cela peut s'avérer particulièrement utile dans des modèles tels que [[:en:Template:Userlinks|&lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;{{Userlinks}}&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;]] (ou leurs variantes spécialisées), car cela facilitera la compréhension du contexte relatif à un ou une utilisatrice sur les divers forums communautaires. La fiche ne s'affichera que pour les utilisateurs qui l'ont activée dans leurs [[Special:Preferences#mw-input-wpcheckuser-userinfocard-enable|préférences]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T424466]
* En raison des risques liés à la sécurité et à la confidentialité des utilisateurs, nous avons désactivé l'accès aux URL utilisant &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;Special:MyPage&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; (Spécial:Ma_page) avec l’argument &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;action=raw&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. Si vous êtes concerné par cette mesure, demandez-vous s'il est possible d'adopter une autre approche. Les URL utilisant &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;Special:MyPage&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; restent accessibles et utilisables sans &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;action=raw&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. Les URL de pages utilisateur spécifiées (par exemple, &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;User:Myusername&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;) peuvent toujours être utilisées avec &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;action=raw&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. [https://phabricator.wikimedia.org/T120386]
* Suite à une mise à jour, le logiciel de création de vignettes a été amélioré. En effet, &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;librsvg&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; a été mis à jour vers la version 2.60 et &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;ImageMagick&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; vers la version 7. Cela a permis la résolution d’un certain nombre de bugs de longue date liés à la création de vignettes, tels que des erreurs de rendu. [https://phabricator.wikimedia.org/T419815#12222841]

* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.17|MediaWiki]]

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/35|Traduire]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W35&quot;/&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 24 août 2026 à 20:45 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30961208 --&gt;

== Actualités techniques n° 2026-36 ==

&lt;section begin=&quot;technews-2026-W36&quot;/&gt;&lt;div class=&quot;plainlinks&quot;&gt;
Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/36|D’autres traductions]] sont disponibles.

'''En lumière cette semaine'''
* Un nouveau format pour la liste de souhaits de la communauté est ouvert aux commentaires. Vous pouvez [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Community Wishlist 2027|lire les idées proposées sur Meta]]. Ce nouveau processus prévoit d'améliorer la manière dont les souhaits sont triés, votés et priorisés d'une manière transparente et équilibrée entre les familles de projets et les éditions linguistiques. Cette consultation est ouverte pendant deux semaines.

'''Actualités pour la contribution'''
* La dernière version de l'application Wikipédia pour Android comprend des mises à jour de la fonctionnalité «Enregistrés», qui rapprochent l'expérience d'enregistrement de l'application de celle proposée sur iOS et sur le Web. Cette mise à jour repense l'onglet «Enregistrés» en proposant une vue «Tous les articles», supprime la liste de lecture par défaut «Enregistrés», renomme les listes de lecture «Collections» et modernise l'expérience de sauvegarde des articles. [https://phabricator.wikimedia.org/T420788]
* La fonctionnalité [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|Listes de lecture]] a été activée pour tous les utilisateurs connectés sur les versions de Wikipédia en bengali, chinois, tchèque et vietnamien le 25 août, après plusieurs mois en tant que fonctionnalité bêta. Les listes de lecture seront disponibles pour tous les utilisateurs connectés sur les versions de Wikipédia en arabe, français et indonésien le 1er septembre, suivies par la Wikipédia en anglais le 14 septembre, et toutes les autres versions de Wikipédia le 28 septembre.
* À la fin du mois, certains lecteurs non connectés sur les versions en bengali, tchèque, persan, anglais et polonais de Wikipédia utilisant l'habillage Minerva sur mobile verront une [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader_Growth/Minimal_Minerva|barre de navigation mise à jour]] dans le cadre d'un [[w:A/B test|test A/B]]. Le test comparera la barre de navigation actuelle avec une nouvelle version conçue pour faciliter la recherche d'informations plus rapidement. L'objectif est de déterminer si ces changements encouragent les lecteurs à revenir plus souvent. Cette expérience n'aura aucune incidence sur l'expérience des lecteurs et/ou des rédacteurs connectés.
* Les contributeurs qui gèrent les redirections, les modèles et les catégories utilisés sur les pages de redirection disposent désormais de meilleurs moyens pour trouver et organiser les redirections. Auparavant, il n'était pas possible de rechercher les pages de redirection. Deux nouveaux mots-clés de recherche, &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;onlyredirects:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; et &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;withredirects:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;, permettent désormais de rechercher directement les redirections et peuvent être combinés avec des mots-clés existants tels que &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;incategory:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;, &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;intitle:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; et &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;insource:&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt;. [https://phabricator.wikimedia.org/T204089]
* Les outils de recherche ISBN pour générer des citations ne fonctionnaient pas récemment en raison de problèmes de service externe. Les développeurs travaillent sur des solutions. [https://phabricator.wikimedia.org/T435179]
* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:30|la tâche soumise|les {{formatnum:30}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:30||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où la recherche de pages par catégorie à l'aide de &lt;bdi lang=&quot;zxx&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;&lt;code&gt;&lt;nowiki&gt;deepcat&lt;/nowiki&gt;&lt;/code&gt;&lt;/bdi&gt; pouvait ne renvoyer aucun résultat ou des résultats sans rapport a été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T414859]

'''Actualités pour la contribution technique'''
* Le domaine des URL pour les miniatures passe de upload.wikimedia.org à thumb.wikimedia.org. Les anciennes URL continueront de fonctionner pour le moment, mais MediaWiki utilisera le nouveau domaine à la place. Les URL vers d'autres types de médias tels que les fichiers originaux, les vidéos et les transcodages seront toujours servies depuis upload.wikimedia.org. [https://phabricator.wikimedia.org/T427465]
* L'API Math de Wikimédia [https://www.mediawiki.org/w/index.php?api=wmf-math%2Fv1&amp;title=Special%3ARestSandbox] est désormais obsolète. Ces points de terminaison seront complètement arrêtés d’ici la fin de septembre 2026. Les développeurs qui appellent ces points de terminaison devraient passer à des solutions alternatives de rendu mathématique, telles que le [https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/MathML MathML] natif ou [https://www.mathjax.org/ MathJax]. Les installations tierces de MediaWiki utilisant l'extension Math pour le rendu des formules doivent effectuer une mise à jour vers la version 1.43+ afin d'éviter toute interruption de service.

* [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.18|MediaWiki]]

'''En détails'''
* Lisez-en plus sur [[mw:Special:MyLanguage/Edit_check/TextMatch|TextMatch]] dans un article de Diff intitulé [[diffblog:2026/08/28/custom-edit-suggestions-for-every-wiki-how-communities-are-shaping-suggestion-mode-with-textmatch/|Suggestions de modifications personnalisées pour chaque wiki : comment les communautés façonnent le mode Suggestion avec TextMatch]].

'''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&amp;nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/36|Traduire]]&amp;nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&amp;nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&amp;nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].''
&lt;/div&gt;&lt;section end=&quot;technews-2026-W36&quot;/&gt;

&lt;bdi lang=&quot;en&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]&lt;/bdi&gt; 31 août 2026 à 20:53 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&amp;oldid=30990659 --&gt;</text>
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L'évaluation par les pairs est un principe fondamental de la recherche scientifique. Cette exigence n'est pas discutable. La manière d'opérer cette évaluation est ici explorée.

== Les règles de l’exercice ==

=== Pour les proposant·es d’articles ===

# Lire l'entier des consignes ci-dessous.
# Déposer son article pour l’évaluation en cliquant sur ce lien :&lt;br&gt;&lt;center&gt;&lt;inputbox&gt;
type=create
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editintro=Recherche:Runed26/editintro
buttonlabel=Déposer son article
useve=true
default=Votre titre d’article
prefix=Recherche:Runed26/Revue par les pairs/
&lt;/inputbox&gt;
# Ajouter son article dans le tableau des articles. &lt;small&gt;(Pour cela, vous devez copier-coller le titre de votre article. Pour en faire un lien cliquable, il faut utiliser le bouton lien et y coller le titre complet de la page qui commence par : ''Recherche:Runed26/Revue par les pairs/'' )&lt;/small&gt;
# Débattre et corriger son article en fonction des retours.
# Le comité d'organisation de RUNED26 veille à ce que chaque article puisse bénéficier d'au moins 3 expertises.

=== Pour les évaluateurices ===

# Allez sur la page de discussion de l’article déposé choisi pour l’évaluation.
# Participez à l'évaluation en .
## Complétant un sujet de discussion/évaluation déjà initié.
## Ajoutant un sujet de discussion/évaluation.

=== Pour tout le monde ===

# La netiquette et le respect sont de mises pendant les échanges.
# Être constructif·ve permet de faire avancer les débats.

=== Liste de contrôle pour soumission d'article – critères RUNED26 ===

* L’article est en lien étroit avec ce que vous avez proposé pour la conférence RUNED26 ''[responsabilité des auteurices].''
* L’article s’inscrit dans le domaine des approches critiques des technologies numériques dans l’éducation et la formation ''[responsabilité des auteurices et des reviewers].''
* L’article est scientifiquement pertinent, tant dans son recours aux cadrages théoriques, qu’à la qualité des collectes de données et analyses, et qu’aux nuances dans la discussion ''[responsabilité des auteurices et des reviewers]''.
* Le manuscrit compte entre 3 000 et 7 000 mots (sans compter le résumé et la bibliographie) ''[responsabilité des auteurices et des reviewers].''

=== Liste de contrôle pour soumission d'article – critères WIKI ===

* Le résumé est compréhensible pour un non-spécialiste (obligatoire pour l’intégration sur Wikipédia) ''[responsabilité des auteurices et des reviewers]''.
* Tout le contenu est original, ou a déjà été publié sous une licence libre compatible ''[responsabilité des auteurices]''.
* Les références respectent le style de citation Vancouver/numbered citation style (superscript numbers in text) ''[responsabilité des auteurices].''
* Toutes les images sont sous licence libre (CC BY, CC BY-SA ou domaine public) — de préférence sur Wikimedia Commons ''[responsabilité des auteurices et des reviewers].''
* Pas de conflit d’intérêts, OU une déclaration est incluse à la fin du manuscrit ''[responsabilité des auteurices]''.
* Les auteurices déclarent se conformer à toutes les exigences éthiques applicables ''[responsabilité des auteurices]''.
* Le texte du manuscrit est clair, correct, concis, compréhensible et cohérent (les « 5 C ») ''[responsabilité des auteurices et des reviewers]''.

== Délais ==

* 30.11.26 : dépôt des v1 des articles par les auteurices
* 20.11.26 au 20.01.27 : phase d'évaluation ouverte, avec supervision par le comité d'organisation de RUNED26, d'un minimum de 3 expertises 
* 20.01.27 au 10.03.27 : phase de traitement, par les auteurices, des évaluations reçues, en vue d'une version définitive
* 10.03.27 au 20.03.27 : phase ouverte de discussion pour identifier si l'article peut être publié.
* 25.03.27 : export des articles en .pdf pour fixer les livrables.

== Liste des articles déposés et l'état d'avancement de l'évaluation ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+
!Numéro d’identifiant
!Déposant·e
!Titre de l’article
!2 personnes en charge de l'évaluation (d'autres peuvent se rajouter)
!Validé pour publication
|-
|RUNED26 - 01
|Lucas Lévêque
|''[[Recherche:Runed26/Revue par les pairs/Comme il faut bien faire un test voici le plus beau Lorem Ipsum que vous puissiez voir.|Comme il faut bien faire un test voici le plus beau Lorem Ipsum que vous puissiez voir.]]''
|
|test pour tests de l'interface uniquement
|-
|RUNED26 - 02
|Lionel Alvarez
|[[Recherche:Runed26/Revue par les pairs/Capabilités enseignantes, ou lorsque la complexité légitime le recours à un numérique impénétrable|Capabilités enseignantes, ou lorsque la complexité légitime le recours à un numérique impénétrable]]
|
|déposé, nécessitant une évaluation
|-
|RUNED26 - 03
|…
|…
|
|…
|}</text>
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      <text bytes="4743" sha1="pqiia1s0midaalxb781k2csfr9ieqx4" xml:space="preserve">{{RUNED26}}

L'évaluation par les pairs est un principe fondamental de la recherche scientifique. Cette exigence n'est pas discutable. La manière d'opérer cette évaluation est ici explorée.

== Les règles de l’exercice ==

=== Pour les proposant·es d’articles ===

# Lire l'entier des consignes ci-dessous.
# Déposer son article pour l’évaluation en cliquant sur ce lien :&lt;br&gt;&lt;center&gt;&lt;inputbox&gt;
type=create
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buttonlabel=Déposer son article
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default=Votre titre d’article
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&lt;/inputbox&gt;
# Ajouter son article dans le tableau des articles. &lt;small&gt;(Pour cela, vous devez copier-coller le titre de votre article. Pour en faire un lien cliquable, il faut utiliser le bouton lien et y coller le titre complet de la page qui commence par : ''Recherche:Runed26/Revue par les pairs/'' )&lt;/small&gt;
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=== Pour les évaluateurices ===

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* L’article s’inscrit dans le domaine des approches critiques des technologies numériques dans l’éducation et la formation ''[responsabilité des auteurices et des reviewers].''
* L’article est scientifiquement pertinent, tant dans son recours aux cadrages théoriques, qu’à la qualité des collectes de données et analyses, et qu’aux nuances dans la discussion ''[responsabilité des auteurices et des reviewers]''.
* Le manuscrit compte entre 3 000 et 7 000 mots (sans compter le résumé et la bibliographie) ''[responsabilité des auteurices et des reviewers].''

=== Liste de contrôle pour soumission d'article – critères WIKI ===

* Le résumé est compréhensible pour un non-spécialiste (obligatoire pour l’intégration sur Wikipédia) ''[responsabilité des auteurices et des reviewers]''.
* Tout le contenu est original, ou a déjà été publié sous une licence libre compatible ''[responsabilité des auteurices]''.
* Les références respectent le style de citation Vancouver/numbered citation style (superscript numbers in text) ''[responsabilité des auteurices].''
* Toutes les images sont sous licence libre (CC BY, CC BY-SA ou domaine public) — de préférence sur Wikimedia Commons ''[responsabilité des auteurices et des reviewers].''
* Pas de conflit d’intérêts, OU une déclaration est incluse à la fin du manuscrit ''[responsabilité des auteurices]''.
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* Le texte du manuscrit est clair, correct, concis, compréhensible et cohérent (les « 5 C ») ''[responsabilité des auteurices et des reviewers]''.

== Délais ==

* 30.11.26 : dépôt des v1 des articles par les auteurices
* 20.11.26 au 20.01.27 : phase d'évaluation ouverte, avec supervision par le comité d'organisation de RUNED26, d'un minimum de 3 expertises 
* 20.01.27 au 10.03.27 : phase de traitement, par les auteurices, des évaluations reçues, en vue d'une version définitive
* 10.03.27 au 20.03.27 : phase ouverte de discussion pour identifier si l'article peut être publié.
* 25.03.27 : export des articles en .pdf pour fixer les livrables.

== Liste des articles déposés et l'état d'avancement de l'évaluation ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
|+
!Numéro d’identifiant
!Déposant·e
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|-
|RUNED26 - 01
|Lionel Alvarez
|[[Recherche:Runed26/Revue par les pairs/Capabilités enseignantes, ou lorsque la complexité légitime le recours à un numérique impénétrable|Capabilités enseignantes, ou lorsque la complexité légitime le recours à un numérique impénétrable]]
|
|déposé, nécessitant une évaluation
|-
|RUNED26 - 02
|…
|…
|
|…
|-
|RUNED26 - 03
|
|
|
|
|-
|RUNED26 - 04
|
|
|
|
|-
|RUNED26 - 05
|
|
|
|
|-
|RUNED26 - 06
|
|
|
|
|-
|RUNED26 - 07
|
|
|
|
|-
|RUNED26 - 08
|
|
|
|
|-
|RUNED26 - 00
|
|
|
|
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L'évaluation par les pairs est un principe fondamental de la recherche scientifique. Cette exigence n'est pas discutable. La manière d'opérer cette évaluation est ici explorée.

== Les règles de l’exercice ==

=== Pour les proposant·es d’articles ===

# Lire l'entier des consignes ci-dessous.
# Déposer son article pour l’évaluation en cliquant sur ce lien :&lt;br&gt;&lt;center&gt;&lt;inputbox&gt;
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# Ajouter son article dans le tableau des articles. &lt;small&gt;(Pour cela, vous devez copier-coller le titre de votre article. Pour en faire un lien cliquable, il faut utiliser le bouton lien et y coller le titre complet de la page qui commence par : ''Recherche:Runed26/Revue par les pairs/'' )&lt;/small&gt;
# Débattre et corriger son article en fonction des retours.
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=== Pour les évaluateurices ===

# Allez sur la page de discussion de l’article déposé choisi pour l’évaluation.
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## Ajoutant un sujet de discussion/évaluation.

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* L’article est en lien étroit avec ce que vous avez proposé pour la conférence RUNED26 ''[responsabilité des auteurices].''
* L’article s’inscrit dans le domaine des approches critiques des technologies numériques dans l’éducation et la formation ''[responsabilité des auteurices et des reviewers].''
* L’article est scientifiquement pertinent, tant dans son recours aux cadrages théoriques, qu’à la qualité des collectes de données et analyses, et qu’aux nuances dans la discussion ''[responsabilité des auteurices et des reviewers]''.
* Le manuscrit compte entre 3 000 et 7 000 mots (sans compter le résumé et la bibliographie) ''[responsabilité des auteurices et des reviewers].''

=== Liste de contrôle pour soumission d'article – critères WIKI ===

* Le résumé est compréhensible pour un non-spécialiste (obligatoire pour l’intégration sur Wikipédia) ''[responsabilité des auteurices et des reviewers]''.
* Tout le contenu est original, ou a déjà été publié sous une licence libre compatible ''[responsabilité des auteurices]''.
* Les références respectent le style de citation Vancouver/numbered citation style (superscript numbers in text) ''[responsabilité des auteurices].''
* Toutes les images sont sous licence libre (CC BY, CC BY-SA ou domaine public) — de préférence sur Wikimedia Commons ''[responsabilité des auteurices et des reviewers].''
* Pas de conflit d’intérêts, OU une déclaration est incluse à la fin du manuscrit ''[responsabilité des auteurices]''.
* Les auteurices déclarent se conformer à toutes les exigences éthiques applicables ''[responsabilité des auteurices]''.
* Le texte du manuscrit est clair, correct, concis, compréhensible et cohérent (les « 5 C ») ''[responsabilité des auteurices et des reviewers]''.

== Délais ==

* 30.11.26 : dépôt des v1 des articles par les auteurices
* 20.11.26 au 20.01.27 : phase d'évaluation ouverte, avec supervision par le comité d'organisation de RUNED26, d'un minimum de 3 expertises 
* 20.01.27 au 10.03.27 : phase de traitement, par les auteurices, des évaluations reçues, en vue d'une version définitive
* 10.03.27 au 20.03.27 : phase ouverte de discussion pour identifier si l'article peut être publié.
* 25.03.27 : export des articles en .pdf pour fixer les livrables.

== Liste des articles déposés et l'état d'avancement de l'évaluation ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
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!Numéro d’identifiant
!Déposant·e
!Titre de l’article
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|-
|RUNED26 - 01
|Lionel Alvarez
|[[Recherche:Runed26/Revue par les pairs/Capabilités enseignantes, ou lorsque la complexité légitime le recours à un numérique impénétrable|Capabilités enseignantes, ou lorsque la complexité légitime le recours à un numérique impénétrable]]
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|déposé, nécessitant une évaluation
|-
|RUNED26 - 02
|…
|…
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|…
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|RUNED26 - 03
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|-
|RUNED26 - 04
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|RUNED26 - 05
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|RUNED26 - 06
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|RUNED26 - 07
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|RUNED26 - 08
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|RUNED26 - 00
|
|
|
|
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L'évaluation par les pairs est un principe fondamental de la recherche scientifique. Cette exigence n'est pas discutable. La manière d'opérer cette évaluation est ici explorée.

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* L’article est scientifiquement pertinent, tant dans son recours aux cadrages théoriques, qu’à la qualité des collectes de données et analyses, et qu’aux nuances dans la discussion ''[responsabilité des auteurices et des reviewers]''.
* Le manuscrit compte entre 3 000 et 7 000 mots (sans compter le résumé et la bibliographie) ''[responsabilité des auteurices et des reviewers].''

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== Liste des articles déposés et l'état d'avancement de l'évaluation ==
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|RUNED26 - 01
|Lionel Alvarez
|[[Recherche:Runed26/Revue par les pairs/Capabilités enseignantes, ou lorsque la complexité légitime le recours à un numérique impénétrable|Capabilités enseignantes, ou lorsque la complexité légitime le recours à un numérique impénétrable]]
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Article déposé par : Alvarez Lionel.

== Auteur ==
PD Ph. D. Lionel Alvarez | Université de Fribourg, Laboratoire CaCy [Capabilités et perspectives Cyborg]
== Abstract / résumé ==
Les ''edtechs'' relèvent d’un enchevêtrement de techniques créant un risque de perte d’agentivité, puisqu’il devient difficile d’en maîtriser tous les paramètres. Si un façonnement mutuel de la pédagogie et de la technique doit être envisagé, le pouvoir de décision entre la technogouvernance et la pédagogie mérite que l’on s’attarde sur l’évolution des capabilités enseignantes.

Les propos d’enseignant·es ont été collectés lors du ''focus group'', à la suite d’un devis expérimental mettant à l’épreuve une solution numérique. Dix classes (sept à neuf ans) passèrent individuellement deux fois 30′ par semaine, durant vingt semaines, sur une solution d’''adaptive learning'' conçue pour pousser des tâches à priori adaptées aux besoins individuels d’apprentissage. L’enchevêtrement technique est immense, alors comment ceci devient-il capacitant ?

Les analyses des discours montrent (i) certains fonctionnements techniques incompris, (ii) le narrative convainquant sur l’intelligence artificielle, (iii) les ambivalences dans les représentations enseignantes au sujet de l’automation de l’éducation, ou encore (iv) les pratiques enseignantes parfois rendues impossibles. Plusieurs personnes rapportèrent regretter de ne pas avoir pu s’intéresser au fonctionnement des algorithmes, par manque de temps ou par confiance en l’institution autrice de la solution numérique. Les capabilités enseignantes se trouvent alors face à un conflit de définition : est-ce une logique fonctionnelle [être en capacité de faire] qui est à l’œuvre, ou une logique plus émancipatrice [libertés effectives dont disposent les professionnel·les] qui mérite d’être au centre des préoccupations technopédagogiques ?

= 1. Introduction =
Les technologies éducatives à disposition pour l’enseignement et l’apprentissage montrent aujourd’hui un enchevêtrement de techniques&lt;sup&gt;1,2&lt;/sup&gt; pouvant être difficile à lire et comprendre, notamment pour les enseignant·es en charge de façonner l’environnement d’apprentissage. Cette réalité de fait, explicite avec les intelligences artificielles&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; (ia) aux complexités techniques insondables, crée un risque potentiel de perte d’agentivité et d’autonomie, au sens de contrôle sur les données et la pédagogie&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;. En effet, il devient impossible de maîtriser tous les paramètres de l’activité professionnelle lorsqu’elle s’adjoint de tels dispositifs techniques. Avec les mots de la profession, nous ne sommes plus en mesure de pleinement définir le milieu didactique, nous passons un contrat didactique&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; avec d’autres prestataires que les actrices et acteurs directement lié·es à l’école, et la pédagogie n’est à priori pas en position de force dans la négociation de ce contrat. Sous-jacents, émergent les enjeux de la gouvernance algorithmique&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;, interrogeant certes la liberté pédagogique, mais aussi la notion même de liberté d’expression&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt;. Pour l’éducation et la formation, c’est la liberté d’apprendre et se développer qui peut se modifier.

D’un autre côté, de telles techniques complexes ont parfois été proposées comme des leviers d’engagement pour approfondir des enjeux pédagogiques, en créer notamment des ressources nouvelles à disposition des professionnel·les de l’éducation&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;. Par exemple, les technologies ont souvent été positionnées comme des solutions permettant de faciliter la différenciation pédagogique&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt;, tâche bien difficile pour les quotidiens de classe&lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt;. La complexité technique en éducation et formation relève-t-elle donc d’une encapacitation ou d’une limitation des possibles pour les professionnel·les ? Et pour les élèves ?

= 2. Contexte et cadrage théorique =
Fawns&lt;sup&gt;11&lt;/sup&gt; nous invite à dépasser le ''tech drives pedagogy'' ou le ''pedagogy drives tech'', pour adopter le principe d’un façonnement mutuel de ces deux éléments de l’environnement d’enseignement et apprentissage. Toutefois, il est à noter que ce façonnement mutuel est sous l’influence de logiques administratives, juridiques, médiatiques et culturelles, notamment&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;. En effet, l’espace de choix à disposition des enseignant·es semble se confronte à la détermination, par l’institution, des solutions logiciels et matériel. Avec d’autres mots, quelles capacités ont les professionnel·les de l’enseignement pour façonner l’environnement de travail en regard à l’imposition de technologies complexes induites par les choix institutionnels et les discours&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt; ? Mon université a choisi une suite d’applications, les propriétaires de cette suite ont poussé leurs solutions d’ia générative dans tout l’écosystème technique, je ne peux qu’être soumis à leurs affordances&lt;sup&gt;14&lt;/sup&gt;. Si l’''entanglement pedagogy'' proposée par Fawn&lt;sup&gt;11&lt;/sup&gt; a quelque chose de juste et nuancé dans son concept, la négociation du pouvoir de décision entre la technogouvernance et la pédagogie des enseignant·es mérite que l’on s’attarde sur l’évolution, réelle ou potentielle, de l’agentivité professionnelle.

C’est en ce sens que le recours au cadre des capabilités&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt; et à l’environnement capacitant&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt; permet une compréhension des phénomènes en jeu. Il ne s’agit pas de s’intéresser à ce que la personne fait, mais à ce qu’elle est en capacité de faire, qu’elle choisisse ou non de tirer profit de ces possibilités&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;. Par exemple, les droits humains sont certes nécessaires, mais insuffisants s’ils ne peuvent se transformer en fonctionnements réels ou en accomplissements choisis&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;. Quelles sont les capabilités enseignantes — les termes ''capacité'' et ''capabilité'', dans ce cadrage théorique, sont parfois utilisés indistinctement&lt;sup&gt;19&lt;/sup&gt; — lors d’un déploiement technologique ? Selon le modèle&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;, les ressources tant internes (p. ex., compétences) qu’externes (p. ex., ressources financières) doivent être transformées en capabilités grâce à des facteurs de conversion (individuels, sociaux, institutionnels…), transformées alors en accomplissements par l’exercice du choix libre et éclairé. Par exemple, le droit de vote (ressource) doit être converti en capacité réelle de voter grâce notamment à des compétences en lecture ou la possibilité de se déplacer au bureau de vote (facteurs de conversion), pour ensuite accomplir un vote libre. Dans le contexte de la présente étude, d’un point de vue enseignant, la solution numérique d’''adaptive learning'' (ressource) doit être convertie (p. ex. genèse instrumentale&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;) en capabilités (p. ex., pouvoir utiliser la solution numérique en situation), pour ensuite ouvrir à des accomplissements à choix (p. ex., organiser ses semaines d’enseignement en identifiant comment utiliser la solution numérique). Il est à noter que des contraintes dues au devis de recherche — voir le chapitre méthodes et approche — ont explicitement limité la marge de choix.

« Pour développer des capacités et l’épanouissement, il faut reconnaître l’importance de l’autonomie dans la pédagogie, ainsi que la flexibilité et la liberté dans les programmes»&lt;sup&gt;22(p133)&lt;/sup&gt;. La notion d’environnement capacitant est alors bien établie dans le champ des sciences de l’éducation, défini comme un environnement « qui favorise le développement humain », qui est « porteur de capabilités»&lt;sup&gt;23(pp41-42)&lt;/sup&gt;, qui permet « aux individus de s’autodéterminer, de construire ses choix »&lt;sup&gt;23(p56)&lt;/sup&gt;. Ainsi, lorsqu’une difficulté pédagogique importante, telle que la gestion de l’hétérogénéité se voit attribuer une solution technologique comme réponse, que se passe-t-il en termes de capabilités et possibilités de fonctionnement ou accomplissement des professionnel·les et des élèves ? L’environnement est-il capacitant pour les enseignant·es et les apprenant·es ?

= 3. Méthodes et approche =
Pour répondre à cette question, un projet de recherche et développement a été mené. Il s’agissait, entre autres, de documenter cette négociation des pouvoirs de décision lorsque la technique prétend soutenir l’ingénierie didactique ou suppléer aux défis pédagogiques.

Parallèlement à un devis expérimental (printemps 2025) mettant à l’épreuve une solution informatique d’''adaptive learning''&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; pour tendre vers une conception universelle de l’apprentissage&lt;sup&gt;25,26&lt;/sup&gt;, les propos d’enseignant·es partenaires ont été collectés en juin 2025. Il s’agissait de 10 classes d’élèves entre 7 et 9 ans, passant individuellement 2 fois 30′ par semaine, durant 20 semaines, sur une solution technique conçue par une équipe pluridisciplinaire de professionnel·les d’institutions publiques. Cette solution (1) générait un profil de compétences par apprenant·e et (2) poussait des tâches à priori adaptées individuellement aux besoins d’apprentissage défini alors par un croisement entre le profil de compétences et les objectifs d’apprentissage explicités par l’enseignant·e.

Pourquoi « des tâches à priori adaptées » ? La complexité technique est immense : deux systèmes experts compliqués se croisaient&lt;sup&gt;27&lt;/sup&gt; via une ontologie de compétences construites avec des centaines d’embranchements&lt;sup&gt;28&lt;/sup&gt;, auxquels des milliers de ressources conçues spécifiquement sont liés par une pluralité de liens et de types de liens (p. ex. : cette sous-compétence est un prérequis à cette compétence). S’ajoutent des normes d’atteinte des objectifs basés sur des supposés, alors construits sous contraintes d’infrastructure informatique et temporelles, plutôt que pour leurs pertinences pédagogiques et didactiques. Se surajoute aussi une négociation continue entre logique d’apprentissage et logique de ludification pour soutenir l’engagement&lt;sup&gt;29&lt;/sup&gt;.

Dans le développement de la solution numérique, cette complexité a impliqué de nombreux choix didactico-informatiques et de design pour concevoir l’expérience d’apprentissage. Factuellement, ces choix ne pourraient être audités que par une diversité de personnes, aux compétences complémentaires, tant la solution proposée est enchevêtrée. Les systèmes experts ainsi développés permettent alors d’envisager la gestion d’une complexité pédagogique tout à fait importante, via des savoirs informatiques et didactiques. La promesse était alors de gérer, en partie en tous les cas, l’hétérogénéité des compétences en adaptant individuellement les ressources mises à disposition des élèves pour apprendre. Une fois l’expérience terminée, les professionnel·les ont été rassemblé·es pour un temps de discussion ciblé.

== 3.1 Source de données et corpus ==
Le ''focus group''&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt; avait comme but la documentation de l’expérience enseignante vécue et rapportée. Les discours collectés durant 1h40 montrent des représentations et des expériences. Puisque les personnes se sont nommées durant les discussions, l’audio ne peut être mutualité. Toutefois, la retranscription a été réalisée en deux temps. Premièrement, la solution Scribe de Ceméa a été utilisée. Le choix de cette solution est légitimé pour la protection des données qu’elle garantit (&lt;nowiki&gt;https://scribe.cemea.org/donnees/&lt;/nowiki&gt;). Secondement, l’entier de l’audio a été retranscrit pour corriger le livrable de Scribe, qui n’a que difficilement pu tenir compte des différentes personnes qui parlaient simultanément. Les retranscriptions sont mises à disposition sur Zenodo (&lt;nowiki&gt;https://doi.org/10.5281/zenodo.21335527&lt;/nowiki&gt;)&lt;sup&gt;31&lt;/sup&gt;.

== 3.2 Méthode d’analyse ==
L’approche choisie est l’analyse de discours&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt;, pour non seulement documenter les expériences rapportées, mais aussi faire émerger, dévoiler et légitimer des relations de pouvoir (p. ex., technique vs pédagogie, adultisme, statut d’expertise), afin de discuter des environnements capacitants générés par l’ajout de ''edtech''. Dans le respect des approches critiques du numérique, il s’agit d’interroger les relations de pouvoir&lt;sup&gt;33&lt;/sup&gt; induites par la numérisation, en décrivant une réalité, en évaluant ses fonctionnements et en guidant des transformations estimées nécessaires&lt;sup&gt;34&lt;/sup&gt;. L’expérience enseignante est documentée, l’expérience élève l’est aussi, mais indirectement, à travers le propos des professionnel·les, les tensions dans les discours sont analysées.

= 4. Résultats et analyses =
Les analyses sont d’abord segmentées selon les partenaires concernés par l’environnement capacitant. Les capabilités des élèves sont discutées, suivies de celles des enseignant·es. Ensuite, les narratifs de différent·es partenaires sont l’objet d’analyse en termes de facteur de conversion ou facteur de liberté.

== 4.1 Environnement dé/capacitant pour les élèves ==
« ''Il s’est passé un truc autour du [nom du système lootbox de gamification], c’est LE truc, c’était le saint Graal.'' ''— Dans ma classe, si tu [concepteur du système lootbox] viens, tu es le saint Graal ''» [00’19’41], rapportent deux enseignantes. Est ici relaté le système de ludification de type ''loot box''&lt;sup&gt;35&lt;/sup&gt; dans lequel les élèves gagnent des prix aléatoires pour leur engagement. Dans la présente expérience, les éléments à collecter étaient des titres, des descriptions et des images dans des classeurs numériques sur des thèmes proches des savoirs scolaires (p. ex., les sept merveilles du monde, les déesses et dieux antiques…). Dans ce discours, le milieu didactique s’impose à la dynamique relationnelle, la motivation devient extrinsèque, pilotée par le système numérique. « ''Elle avait envie, cette histoire de [nom du système lootbox de gamification], de remplir le sien »'' [00’39’12] est annoncé, alors que quelques secondes avant, concernant la même élève, il est dit que « ''Là, elle s’est vraiment vite découragée, démobilisée […] Pourtant, elle avait envie de faire comme les autres ''» [00’38’58]. L’enseignante semble pouvoir instrumentaliser le ''lootbox'' pour engager les élèves, mais uniquement pour des tâches sur l’interface numérique d’apprentissage où les gains sont possibles. L’élève semble mise en incapacité, tant pour résoudre les tâches que pour agir selon ses souhaits. « ''C’est vrai qu’au début, c’était rouge rouge rouge. Je voyais le truc, je me disais, oh mon dieu. Je pense qu’ils faisaient au bol. Au pif, puisque, de toute façon, on est tous là, quoi ''» [00'40'00].

« ''Sinon, les bons élèves, je trouvais qu’ils essayaient de trouver les failles'' » [00’16’18], rapporte une enseignante. Ici, l’expérience contrainte d’apprentissage ne semble pas avoir survécu à la pertinence de certaines élèves. Le propos rapporté témoigne de l’agentivité des élèves s’étant mis pour défi d’identifier là où le système numérique ferait défaut. Les espaces de liberté pour choisir les accomplissements étaient ainsi activement recherchés par certain·es élèves. Si c’était une réelle plus-value pour le développement de la solution numérique (faire remonter les bugs à l’équipe de conception), ça interroge à nouveau le pouvoir de décision face à une technique qui prescrit. Similairement, des exercices trop ressemblants ont été réalisés sans réactiver les processus cognitifs souhaités, mais en identifier les redondances. « ''Puis des fois, ils ont repéré qu’il y a des phrases où il y a juste un mot qui change.— Ça ils l’ont tous relevé. Mais, “je l’ai déjà eu juste celle-là !”'' ''— Mais oui, il y a juste un prénom qui a changé.'' ''— Il y a les petites feintes quand même ''» [01'22'29]. Le système prescrit des actes attendus, les élèves identifient rapidement ce qui doit être fait.

Cette recherche de liberté est en cohérence avec l’ennui rapporté. « ''Ils l’ont fait sur vingt semaines.'' ''— […] je pense qu’ils ont commencé à s’ennuyer sur le dernier mois.'' ''— Ils n’en pouvaient plus. Ils faisaient parce qu’ils faisaient. ''» [01'11'22] rapportent deux enseignant·es. « A''u bout d’un moment, surtout sur une année, avec deux fois par semaine, ce n’était pas assez varié ''» [00’26’54]. Les élèves n’avaient que très peu d’espace d’initiative si la prescription technique était respectée. « ''Ils n’ont pas du tout aimé l’adaptive learning les élèves alors.'' ''— Ah bon ?'' ''— En fait, ils avaient tout le temps les mêmes activités qui revenaient. Et puis, en plus, ils ne comprenaient pas pourquoi c’est celles-là qui leur étaient proposées ''» [00'23'49]. Ce dernier verbatim montre que l’environnement informatique était non seulement décapacitant pour développer des compétences, mais aussi décapacitant pour s’engager métacognitivement, pour comprendre la pertinence des actions à mener.

Le facteur humain était manquant. « ''Entre eux, je suis sure qu’il y aurait tellement de choses à s’apporter qu’ils n’ont pas pu, puisque ils n’ont pas du tout communiquer ''» [00’56’40]. En effet, la solution numérique a été développée pour un travail individuel, le contexte de recherche exigeait un temps de 30’ de jeu, ce qui orienter les pratiques pédagogiques. Certes, il aurait été possible pour les enseigant·es de mettre autrement les élèves en activité à d’autres moments, en travaillant en sous-groupes, par exemple, mais ça n’a pas été mené. Une ambivalence entre les discours d’individualisation (promesse technique de l’''adaptive learning'' que les enseignant·es se sont approprié) et les habitudes collectives (fonctionnement de l’apprentissage que les enseignant·es souhaitent) est alors identifiée. Les élèves n’ont ainsi pas été en capacité de s’engager dans des démarches d’apprentissage autre que ce qui était prescrit par l’agencement technique. « ''Je pense que, peut-être, ils ont même pas vraiment appris ''» [00’15’34] affirment un·e enseignant·e.

== 4.2 Environnement dé/capacitant pour les enseignant·es ==
« ''Je ne sais pas ce que c’est un niveau de jeu [nom d’un degré scolaire] ou un niveau de jeu [nom d’un degré scolaire]'' » [00’40’48], rapporte un·e partenaire. Il se passe, dans ce discours, une succession d’événements d’enseignement et apprentissage dont la maîtrise est absente. Les enseignant·es ont comme subi, fait confiance, puisque la plateforme d’apprentissage a été développée par des “expert·es” (« il y a une équipe de chercheurs de [institution] qui gère, on fait confiance » [01’32’50]). Les capabilités enseignantes sont ici transformées, passant de la délimitation de l’expérience d’apprentissage, à la diffusion d’expériences conçues par d’autres. « ''J’ai essayé d’individualiser les objectifs, mais j’ai galéré pour aller enregistrer, pour me souvenir où il fallait aller ''» [00’24’53], « ''donc finalement. À quoi ça sert de mettre une intention [pédagogique] si finalement c’est adapté ''» [01’24’48], ou encore « ''en fait, dans le référentiel, je ne sais pas si c’est très utile de descendre autant bas dans les niveaux d’objectifs ''» [01’19’55] appuient le fait que la complexité technique limite les capacités enseignantes à négocier ou façonner les usages. Dans ce contexte, il semble que la pédagogie n’a pas grande marge de négociation.

« ''Pour certains exercices, j’aurais tellement souhaité faire une mise en commun'' » [00’49’59], rapporte un·e enseignant·e. « ''Moi, je n’ai pas le temps, à côté, de faire ça ''» [00’50’14] enchaîne un·e autre enseignant·e. Ces propos montrent qu’au-delà d’amener des pratiques nouvelles, une technologie éducative peut empêcher des pratiques souhaitées. Puisque la logique de l’''adaptive learning'' est que chaque élève travaille à son rythme, avec des contenus adaptés, il devient bien plus difficile d’identifier une problématique partagée et de mener un travail groupé d’intelligence collective ou de confrontation de façon de faire. « ''Et pis comme ils ne sont pas tous au même endroit, la synthèse, elle est difficile ''» [00’51’12]. Ici, les professionnel·les ne se sentent pas pleinement en capacité de mener ce qu’iels souhaitent faire dans leur classe, avec une technique prescrivant l’expérience individualisée d’apprentissage.

D’autres propos rapportés interrogent les capabilités enseignantes. D’un côté, la facilité d’utilisation ressort assurément comme une nécessité. « ''Mais faudrait un truc simple, genre juste un truc à passer de gauche à droite ''» [01’05’34], alors que « ''t’étais là en train de, de scroller, qu’est-ce que ça veut dire tout ça. ''» [01’06’53]. La complexité technique devrait être résumée à un bouton, faisant ainsi facteur de conversion d’une ressource technique trop complexe. De l’autre, la non-maîtrise de la solution est rapportée comme frustrante : « ''j’ai l’impression qu’il faudrait déjà que je maîtrise déjà super bien la plateforme, pour pouvoir aller en plus là-dedans. Parce que là, je ne voyais pas ce que ça allait vraiment différer dans les parcours ''» [01'20'59]. Entre simplifications des interfaces pour donner l’illusion d’une maîtrise pédagogique par la maîtrise technique, et la complexification des interfaces pour donner l’accès à de nombreux paramètres techniques permettant une maîtrise plus grande de la pédagogie, l’équilibre semble bien difficile. Quelqu’un va jusqu’à proposer qu’une ia s’occupe de rendre la vie facile aux enseignant·es pour le paramétrage du système : « ''la machine qui te dit “clique là, c’est fait pour toi” ''» [01’07’17] affirme un·e enseignant·e qui aurait souhaité une franche simplicité, jusqu’à n’avoir aucune option de paramétrage. D’autres ne s’intéressent pas à l’objet technique : « ''On vous a dit, il y a de l’ia dans un système adaptive learning pour vos élèves. Est-ce que ça vous avez fait peur, puis est-ce que vous avez voulu chercher à comprendre ce que c’était l’ia, et ce que ça impactait, ou est-ce qu’il y avait un logiciel, et c’était bien ainsi.— Moi, je me suis dit super, ça va gérer ça.'' ''— Pas d’appréhension ?'' ''— Pas du tout d’appréhension ''». [01'30'41]

== 4.3 Des facteurs de conversion encore en cours d’identification ==
Selon les représentations d’enseignant·es, il semble possible qu’une telle ressource numérique avec ''adaptive learning'' puisse devenir un environnement capacitant pour la classe, moyennant des choix de déploiement différents. « ''C’est rejoint par l’équipe du [nom d’une école] aussi, qui m’a dit pareil. C’était un bon outil pour différencier et elles verraient plutôt l’utilisation une fois par semaine, comme vous. Elles laisseraient tout le temps l’adaptive learning, mais laisseraient les élèves en demi groupe, un qui aurait plus de facilité et qui resteraient en autonomie à jouer. En général, cela ne pose pas de problème. Et ceux qui ont plus la peine resteraient avec eux [les enseignantes] ''» [01'34'22]. Ici, la proposition est de faire de l’''adaptive learning'' une solution pour occuper les élèves plus avancé·es dans le programme scolaire. Dis autrement, il y a comme une recherche à être en capacité de donner du temps aux élèves en difficulté.

Avec la participation à l’étude de mise à l’épreuve de la solution labellisée ia, une autre encapacitation était recherchée. « ''C’est vrai que moi, quand j’ai entendu ça, c’est quelque chose qui m’a méga motivé, parce que c’est quelque chose qui me fait un peu peur, parce que je ne connais pas grand-chose au monde informatique, de base. Je me disais, pouvoir me confronter un peu à ça, mais dans un cadre régulier. Je trouvais cool de pouvoir appréhender un peu ce monde-là de cette manière-là ''» [01'31'30]. Il y a assurément une recherche de développement professionnel chez cette personne. Toutefois, les difficultés d’usage ne semblent pas avoir disparu. En effet, en fin de discussion, alors que la suite dans les développements de la solution numérique était envisagée, l’échange suivant a eu lieu : « ''Mais notre but, c’est que vous soyez indépendants. Qu’il n’y ait plus de besoin [de support technique], qu’il n’y ait pas de problème.'' ''— Ou alors un chat robot qui nous répond [rire] ''» [01'35’22]. Une solution technique est envisagée pour aider les enseignant·es à faire usage d’une solution technique impénétrable. C’est une succession de mise en capabilité liberticide. En effet, si tous les déploiements s’opèrent comme envisagé, les professionnel·les seraient effectivement en capacité d’agir, mais d’agir uniquement selon l’accomplissement prescrit par les concepteurices des solutions.

== 4.4 Narratif ressourciste et délégation de compétences ==
« ''Intelligence artificielle. Alors ça, ça a eu un effet !'' » [01'09'38], rapporte un·e enseignant·e. Ce propos rappelle le poids des mots&lt;sup&gt;34&lt;/sup&gt;. Dans certains cas, il suffit de diffuser certaines techniques en utilisant les bons concepts pour convaincre. Ici, la complexité de la technologie en jeu était plutôt un facteur d’acceptation, peut-être en écho avec la complexité du métier dans des contextes hétérogènes. Les élèves semblent aussi avoir été convaincu·es par les mots : « ''Déjà, participer à un projet pilote, c’était quelque chose de très valorisant pour eux. Mais alors leur dire qu’il y avait de l’intelligence artificielle et tous. Ils étaient bluffés ''» [01'09'40].

Si les promesses technosolutionnistes semblent avoir sereinement convaincu certain·es professionnel·les, c’est possiblement parce que la barrière à l’entrée était trop grande. « ''Autour de l’ia, est-ce qu’il y a eu le souhait de comprendre ce que faisait la machine ? Ou il y a une confiance qui était donnée parce que, derrière, il y a une équipe qui a bossé dessus.'' ''— Alors moi, c’était ça, je suis très loin de ce monde, je me suis dit il y a une équipe de chercheurs de [nom de l’université] qui gère, on y va quoi. Pas du tout, aucune appréhension, on vous fait confiance [rire] ''» [01'32'46]. Cette personne s’entoure de gens identifiés comme de confiance pour accepter une technologie impénétrable. La ressource doit alors être convertie en capabilité grâce à une ergonomie sans faille. Les accomplissements ne sont plus libres, grâce à une légitimation par l’institution porteuse de la solution.

== 4.5 Narratif surplombant, décapacitant et liberticide ==
Toutefois, des membres de l’équipe de conception ont eu des propos qui légitimaient une conception décapacitante. « ''Pour les élèves qui sont en grande difficulté, de toute manière, ils ne savent pas où aller chercher l’information. Donc, si l’information vient à eux, temps mieux ''» [00’54’30]. Ou encore, « ''bon, qu’ils aillent chercher dans leur cahier, on n’y croit pas ''» [00’56’11] affirme un·e autre partenaire. Les élèves, certes celles et ceux en difficulté, ne sont pas considéré·es comme agissant. Quant aux élèves avec facilité sur les tâches prescrites par la solution numérique : « ''ils réussissaient tout le temps. Je pense que ça plafonnait.'' ''— Non mais, toi, en [nom d’un degré scolaire] en fin d’année, c’est sûr qu’on n’a pas de quoi les occuper. Euh, de les nourrir, s’occuper au sens les nourrir ''» [01'10'14]. Il semble donc que l’''adaptive learning'' ne puisse pas, dans la situation actuelle, “occuper” les enfants plus en facilité. Ceci explique probablement les libertés recherchées pour trouver des failles et des bugs.

Ces enjeux de libertés laissées aux élèves semblent avoir été un objet de discussion lors de la conception de la solution : « ''On avait quelque chose d’un peu similaire. C’est un pad collectif [espace d’écriture libre, en commun, pour favoriser l’entraide]. Qui fonctionnait techniquement, mais pour des raisons, après discussion notamment avec [enseignante partenaire du projet], peut-être que les élèves publieraient des bêtises, le pad pourrait être détourné rapidement des usages prévus, et donc on a enlevé ''» [00'57'56]. C’est la réduction des espaces de choix qui semble avoir orienté certaines décisions dans la définition de l’expérience d’apprentissage. Puisque des comportements non souhaités risquaient d’apparaitre, la technique permettant l’ouverture a été enlevée. Lorsque les solutions numériques pourraient être capacitantes pour les élèves, c’est la prise de risque qui semble devenir incapacitante pour ce·tte enseignant·e. Malgré cela, un·e enseignant·e rapporte que « ''finalement, ils savaient chaque semaine, c’était à ce moment-là, ils adoraient ça. Ils n’attendaient que ça. On a l’informaticien dans les rôles de la classe, ils n’attendent que d’être informaticiens, parce que c’était aller chercher les tablettes ''» [01’02’25].

= 5. Discussion =
Ainsi, tout porte à croire que les capabilités rapportées ont été modifiées par l’introduction des technologies d’''adaptive learning''. En effet :

* La motivation des élèves semble avoir été conditionnée par une certaine expérience d’apprentissage conçue pour maintenir l’engagement (p. ex., ''loot box''), alors que l’expérience générale a plutôt généré de l’engagement sous contraintes, de la démotivation. Il pourrait être argumenté que l’apprentissage se passe sous contrainte et que les logiques de ludification devraient se généraliser, c’est alors des visions de l’éducation et de la formation qu’il faudrait mettre en débat.
* La plupart des fonctionnements techniques n’ont plusieurs fois pas été compris par les professionnel·les. L’incapacité à s’intéresser aux algorithmes a été justifiée par des raisons diamétralement opposées en termes de facteurs de conversion. Si certaines personnes regrettent le manque de temps pour s’y intéresser, d’autres relatent une confiance aveugle, puisque la solution est portée par une institution perçue comme digne, et d’autres encore relatent que l’effort pour comprendre aurait été trop grand face à la complexité. Il pourrait certes être argumenté qu’une formation plus longue devrait être prestée aux enseignant·es, mais si la technique est conçue pour suppléer à la pédagogique, de telle formation serait-elle réellement fructueuse ? À aucun moment, il n’a été rapporté une démarche engagée pour re-prendre le contrôle, pour chercher à comprendre. Les professionnel·les se sont centré·es sur de l’empirique pur, du type « ça marche ».
* Le narrative nébuleux d’ia a convaincu certaines personnes, tant enseignant·es qu’élèves, laissant présager que la technique peut ce que l’humain ne peut pas. Il pourrait être argumenté que c’est effectivement le cas, reste à mener un débat de politique éducative à propos des dispositifs techniques s’occupant des compétences des enfants.
* Les pratiques souhaitées par les professionnel·les étaient parfois rendues impossibles par la technique, à l’instar de la mise en commun. Il pourrait être argumenté que l’enseignant·e n’était pas contraint·e, qu’iel aurait dû faire preuve d’initiative, ce qui soulève des questions de légitimation dans des narratifs en tension à cause de promesses techniques.
* Le naturel agentif de certaines gens pousse à des mésusages pour sortir de la prescription technique, à l’instar des élèves qui cherchaient les failles du système informatique. Il pourrait être argumenté qu’une solution technique plus aboutie n’aurait pas amené une telle situation, mais je rétorquerais que cet écueil n’en est pas un, mais bien le témoignage de l’insuffisance d’une expérience d’apprentissage trop finement didactisée par le recours à l’algorithmie.

Alors, est-ce que le déploiement de cette solution numérique a généré un environnement capacitant pour les élèves et pour les professionnel·les ? En l’état des données collectées, retranscrites et analysées, il semble que ça n’a principalement pas été le cas. La ressource technique étant trop complexe, elle aurait mérité des facteurs de conversion bien plus évidents, comme des formations ou de la coconception. Il serait intéressant de mener des observations et des analyses à propos des échanges et des choix de l’équipe de conception, afin d’identifier si ce résultat surplombant relève d’une maladresse ou d’une vision souhaitée.

Qu’en est-il alors des relations de pouvoir ? Il y a assurément des enjeux dans l’entremêlement technopédagogique qui semble ne pas avoir été identifié avant le déploiement de la solution numérique. La technique semble avoir énormément prescrit, la pédagogie semble avoir dû réguler. Des enjeux d’adultisme se retrouvent aussi dans des propos positionnant les élèves comme des individus non agissants. Des rapports hiérarchiques d’expertise doivent aussi être relevés, avec la complexité des ia comme étant une compétence inaccessible à la pédagogique, alors que la réalité de la classe relève presque de l’évidence pour les didactiques et l’informatique. Une horizontalité plus forte aurait certainement permis une mise en capacité plus grande des professionnel·les et des élèves.

= 6. Conclusion =
La promesse était faite : par des solutions techniques, le défi de gestion de l’hétérogénéité allait être réglé. C’est une adhésion évidente au discours technosolutionniste associé à cette solution d’''adaptive learning''. L’espace de capacité des enseignant·es et des élèves pour agir et être méritait alors d’être posé. En quoi une solution numérique avec ''adaptive learning'' relève d’un environnement capacitant ? Après avoir collecté le discours d’enseignant·es ayant expérimenté durant plusieurs mois une telle solution numérique, il est possible de documenter les expériences vécues, les enjeux de pouvoir et les capabilités effectives.

L’ambivalence est importante, entre observations ''in situ'' exigeant de rejeter les usages éprouvés, et espoir d’une solution technique mieux ajustée. L’ia a convaincu comme ressources, sa conversion en capabilité est encore en recherche. Les élèves semblaient tantôt très motivé·es, tantôt particulièrement passif·ves, tantôt engagé·es pour détourner les usages. Les réponses à ces détournements semblent souvent avoir été une amélioration du dispositif technique et non un travail pédagogique d’encapacitation. Dans ce contexte, il semble que ça soit essentiellement la technique qui se pose sur la pédagogique, et non l’inverse.

Il semble toutefois que l’enchevêtrement technique a permis de mettre certain·es professionnel·les en capacité pédagogique lorsque la technique n’était pas interrogée. C’est finalement en lien avec les résultats du ''technology acceptance model''&lt;sup&gt;36,37&lt;/sup&gt;, tant que la technique semble utile, rares sont les personnes, dans ce contexte, qui prennent le temps et l’énergie nécessaire à sa maîtrise. La genèse instrumentale&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt; doit alors être interrogée sur un plan nouveau, lorsque l’asymétrie de pouvoir, induit par une complexité impénétrable, empêche toute forme de détournement ou de compréhension de la technique. Les capabilités enseignantes se trouvent alors face à un conflit de définition : est-ce simplement une logique fonctionnelle qui est à l’œuvre, où l’agentivité s’exprime dans la confiance envers les outils qui pénètrent la salle de classe, ou est-ce une logique plus émancipatrice de maîtrise des solutions qui mérite d’être au centre des préoccupations technopédagogiques ?

= 7. Remerciements =
Cet article a été possible grâce à l’implication des enseignantes et des enseignants partenaires, ainsi que de l’équipe de conception. Les soutiens financiers de Movetia eu de SNSF ont respectivement permis le développement de la solution numérique et sa mise à l’épreuve.

= 8. Conflits d’intérêts =
L’auteur est à la fois membre de l’équipe de conception de la plateforme mise à l’épreuve, et chercheur. Via les verbatims, en faisant parler les partenaires, l’objectivité est activement recherchée pour éviter autant que faire se peut les conflits d’intérêts.

= 9. Déclaration éthique =
La mise à l’épreuve de la solution numérique a été soumise à la Commission cantonale d’éthique de la recherche sur l’être humain (2024-00448). En mars 2024, elle s’est positionnée en indiquant que le projet n’entrait pas dans le champ d’application de la LRH. Elle constate que le projet respecte les principes éthiques applicables à la recherche avec des êtres humains. Les autorités scolaires ont aussi donné l’autorisation début 2024.

Les enseignant·es partenaires ont donné leur consentement écrit, libre et éclairé.

= 10. Contribution | CRediT =
AL : Data curation, Formal analysis, Investigation, Writing—original draft, Writing—review &amp; editing

AL tient à remercier tou·tes ses collègues de la recherche, de l'enseignement et de l'administration qui ont rendu à cette publication possible.

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== Annexes ==
'''Transcription effectuée avec Scribe de Ceméa (https://scribe.cemea.org/donnees/), puis corrigée à la main.'''

&lt;small&gt;''[00'00'00] Les questions de recherche et des hypothèses, et puis, du coup, on a essayé aussi de tourner ces questions qui nous sont adressées autour de de ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'00'07] Tout en vous permettant de partager aussi ce que vous avez vécu.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'00'12] La première question, c'est: comment les élèves se sont-ils emparés des jeux?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'00'18] Dans nos ancêtres. Ils ont vite compris que faire tout ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'00'22] On parle dans quel sens? sens-là?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'00'27] Bas.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'00'29] Pour la plupart des jeux, assez rapidement.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'00'31] Après quelques jours, quelques spécificités qui ont demandé.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'00'35] Quand même une explication et tout ça, mais globalement assez rapidement.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'00'40] Et des FA.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'00'42] Des des fonctions adaptative, bah la boîte à outils.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'00'48] Globalement oui, et après chez nous.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'00'51] Le truc pour écouter, et là c'était compliqué. Mais voilà, ça pas, ça pas pu être fait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'00'58] Donc ils devaient chercher dans le dictionnaire, ben voilà, assez facilement.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'01'02] C'est un peu trop instinctivement, j'allais dire.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'01'05] Donc, plutôt quand même une appropriation assez.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'01'11] Assez instinctive et rapide, en fonction des jeux.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'01'16] Moi, j'ai quand même une élève qui m'a dit, hier, puisque ma fille le le test, [nom d’un test], la mesure du flot, je vais quand même questionner comme ça, de vive voix, puis une élève, elle m'a dit: en fait, j'ai commencé à aimer [solution numérique] à la fin parce qu'au début c'était difficile pour moi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'01'32] En fait, cette récurrence fait tout d'un coup, a mis du sens derrière les jeux.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'01'38] Tout d'un coup, ben, c'était ok, elle les connaissais. Donc, j'ai trouvé intéressant que voilà peut-être des élèves qui ont plus de peine.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'01'46] Ben c’est au bout de tant de fois qu'on s'est avoué avoir fait. Ça se fait comme ça, pis, c'est cool.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'01'51] Mais peut-être pour certains.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'01'54] Être plus axé d’abord sur euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'01'57] L'explication été comment vraiment elle fonctionne.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'02'00] Vous avez vu un peu plus allez.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'02'03] voir dans.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'02'04] Parce que [non d’un·e collaborateurice], avait préparé des petits tutos de comment je fonctionnais et est-ce qu'il allait voir.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'02'10] Moi je ne leur ai pas rappelé.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'02'15] Je sais pas s'il allait d’eux même moi je ne leur rappelais pas ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'02'19] Parce que si besoin, oui, et puis surtout les nouveaux élèves aussi pour dépanner les informations générales au début.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'02'26] Mais si.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'02'31] [nom d’un·e enseignant·e] par rapport à la remarque de ton élève. Est-ce que c'était la mécanique du jeu qu'elle avait du mal à comprendre ou est-ce que c'était que les exercices étaient au début trop difficile pour elle?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'02'43] Je pense à un mélange des deux c’est une élève qui est assez soucieuse de bien faire et qui prend vraiment son temps. Et puis je pense qu'elle a eu besoin de voir plusieurs fois de se tromper. Je pense d'abord elle a avancé un peu comme ça''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'02'57] Les eaux troubles et''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'03'00] Je pense c'est un mélange des deux pour elle. La difficulté, je peux pas que c’est une élève qui a de la facilité.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'03'06] Et puis aussi le mécanisme du jeu.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'03'11] C’est pas habituel de travailler ça en fait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'03'14] Non''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'03'15] C’est déjà tout un truc à s’approprier.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'03'19] J’ai une question dans le dernier jeu était sorti avec l'échelle d'accord, là où il n'y avait pas l’explication. Moi en tout cas il y a plusieurs élèves qui sont tombés là-dessus, qui sont venus me demander mais en fait on peut pas lire dans le truc du jeu. Donc, comme quoi ils y seraient allé. Mais parce que je les renvoyais et rappelais qu’à chaque fois il y a le truc, il y a le compendium.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'03'39] Bonne info''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'03'45] C'est le jeu “pas de problème”, où ils ont eu.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'03'47] plein de problèmes.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'03'49] Parce que la mécanique, d'abord d'identifier quelle nature de problème.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'03'54] Finalement, on se rend compte qu'on l’enseigne peu ça, d'identifier d'abord quel est le problème et du coup, ben, ils n’arrivaient pas.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'04'00] Ils comprenaient bien quels nombres ils devaient mettre et tout''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'04'07] mais ils trouvaient faux.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'04'10] A la fin ils n’avaient que des “pas de problème”, ils étaient ravis (rire).''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'04'15] Le type. C'est pas évident parce que moi, je voulais les aider, mais je faisais faux.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'04'20] OK''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'04'21] Finalement on peut procéder à plusieurs types j’ai l'impression.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'04'26] Ouais la compréhension en fait des.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'04'29] Types, euh, elle est.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'04'31] Elle est très spécifique, comment la euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'04'36] L'énoncé est écrit.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'04'37] Et donc il y a des mots un peu clés qui sont récurrents, si tu vois qui a ensemble, qui a deux personnes, tu sais que ça va être le premier, mais si tu vois que si deux personnes et qu’il y a plus que moins que ça va aller plutôt la comparaison, donc le deuxième,''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'04'49] Il y avait des, certains éléments, et après, ça dépend aussi de. Nous, on a travaillé avec ses schémas-là dans nos planifs de maths, et franchement, j’ai l’impression que ça a bien été ça n’a pas poser problème.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'05'01] Je ne sais pas dans les résultats (rire).''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'05'05] Si ben globalement, euh au [nom d’une école]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'05'07] ben oui, parce que''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'05'09] Vous avez travaillé avec ça''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'05'13] Aussi, je pense.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'05'15] Oui, mais c’est pareil au [nom d’une école].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'05'17] On va dire que je les représente parce qu’elles n’ont''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'05'20] Pas pu venir, elles m’ont partager aussi leurs retours.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'05'23] J'ai dû expliquer plusieurs fois ce jeu-là.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'05'25] Qu'il soit bien compris.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'05'27] Et puis après ça aller tout seul.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'05'32] euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'05'34] Par rapport aux fonctionnalités additionnelles.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'05'38] À quel moment.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'05'40] Pour quels élève?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'05'42] Ont-elles semblées utiles?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'05'46] (rire et prises de paroles multiples, indistinguables).''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'05'54] Bon.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'05'55] Pendant que tu réfléchis… Non mais c'est facile pour toi mais c’est juste par rapport à la formulation qui pouvait poser question sur la question deux au fond. Fallait que vous mettiez une note. Là c’est plus précis''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'06'05] Quand est-ce que ça vous a été utile?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'06'07] Moi, je trouve que, euh, j'ai l'impression, euh, après, je pense que nous avons une meilleure vue en allant voir le monde.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'06'16] Qu'est-ce qu'ils ont utilisé, mais j'ai l'impression que il était assez. Ils étaient tout fous de l'audio.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'06'21] Mais un peu tous les élèves, que ce soit les bons lecteurs ou les mauvais lecteurs. Ça peu un une manière de se reposer.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'06'30] Et puis j’écoute le texte au lieu de le lire.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'06'34] Donc, il essaye par tous les moyens.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'06'37] D'ailleurs, on en avait parlé même le test [nom d’un test] mais en fait c’était pas le but sur ce test [nom d’un test] de mettre l'audio, mais il y avait le petit onglet et de nouveau hier, ils ont cliqué. Alors j’ai dit non, ça on a dit que pour ça y a pas d'audio, mais j'ai l'impression que c'est LA fonctionnalité qui gagne la palme chez nos élèves certains.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'06'57] Ben oui, je vais vous le présente après, mais oui..''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'07'00] Au début, on n'avait pas du tout accès à l'audio puisqu'on n'avait pas les casques qui allait avec nos [marque de tablette] et à partir du moment où t'as amené les casques,''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'07'09] Un petit peu, mais ça a duré deux sessions, mais après plus personne ne les a utilisé. Ils n'avaient pas pris l'habitude de ans. Ils ont utilisé deux, trois fois, mais ont pas trouvé l'intérêt particulier. Et ils n’ont pas du tout repris.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'07'20] Impressionnant. Enfin, je ne sais pas.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'07'24] Chez moi, ouais, ils y en a un ou deux qui mettaient tout doucement, mais sans plus quoi, et après on a dit que les volumes c’est chiant. Donc, ils ont coupé. Donc ils n’ont pas spécialement utilisé quoi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'07'33] Par contre les dictionnaires.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'07'35] Ils l’ont quand même relativement beaucoup utilisé. Je pense que les élèves qui sont''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'07'42] Très, très en difficulté.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'07'44] Parviennent déjà pas à cibler quels mots ils auraient besoin de rechercher pour pouvoir comprendre. Donc eux, en fait ils ne l'ont pas forcément utilisé, par exemple [prénom d’enfant] chez moi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'07'52] Par contre des élèves qui ont de la peine, mais qui comprennent quand même, qu'ils sont quand même pas autant en difficulté, ils repèrent déjà quels mots que je comprends pas et que j'ai besoin d'un très lointain peu.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'08'03] Voilà la persévérance de chacun. Mais certains allaient vraiment faire l'effort de chercher.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'08'07] mais vraiment beaucoup. Et là où c'est intéressant, c'est que ils développaient après l’idée de même aller chercher dans le compendium.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'08'13] Bien comprendre ce qu'était donné sur certains trucs qui les intéressaient.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'08'16] Ouais, il y avait [nom d’élève]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'08'19] Avec la pyramide de khéops, il ne la trouvait pas.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'08'22] sur le dico-image.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'08'27] [rire].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'08'28] Mais c'est vrai que, euh, le dico-image''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'08'31] Le problème que ça cachait aussi le mot qu’il fallait retenir.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'08'35] mais y en a qui ont, dans votre classe notamment.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'08'38] Hum, hum, hum, hum, hum sur une feuille.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'08'40] Qui a pris sur une feuille ouais, qui a noté les mots.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'08'43] Pour les regrouper, non franchement ouais, mais il avait identifiés quels mots lui posaient''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'08'48] Problèmes, effectivement, comme tu dis, ce qu'ont vraiment de la peine.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'08'51] Quand ils ne comprennent pas. Ils n’arrivent déjà pas à cité ce qui leur serait utile de vraiment comprendre quoi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'08'57] Pis après alors pour un peu indiquer le dictionnaire. Comme moi, je discute avec mes élèves.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'09'01] Typiquement [prénom d’élève] et [prénom d’élève] qui en faisait''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'09'03] Plus. Elle disait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'09'05] Il n’y a pas tous les mots qui apparaissent et tout ça, ou y a plusieurs définitions et il n’y avait pas que la définition de [nom de la plateforme]. Qu'après d'aller lire tout ça et de sélectionner.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'09'15] Il n’y a pas que la bonne qui apparaît, du coup''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'09'18] Ouais.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'09'20] Après, j'ai l'impression que l'écriture opendys, euh c’est ça hein?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'09'23] A très peu été utilisée, pourtant ben nous il y a certaines logo qui nous conseillent pour certains élèves? puis la ils ont accès, mais ils ne vont pas prendre''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'09'34] Cette option là. Mais nous, la question est derrière: ça sert à quoi ça?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'09'38] Voyez pas le sens de cette aide.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'09'41] Mais l'espacement ? J’ai eu la même question: ça sert à quoi ça?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'09'46] Il y des quelques clics, on verra bien après.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'09'49] Ça a été activé, mais plus euh, au début beaucoup, et puis après beaucoup moins.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'09'54] Ben ils ont testé les trucs qu’il y avait, et voilà quoi. Mais pour certains, sur les [nom de la tablette], je crois quand même qu'ils les utilisait''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'10'03] De façon un peu plus récurrentes mais jusqu’à ce que ça agrandisse le texte.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'10'06] Ouais sur [nom d’un jeu sur la plateforme] toi? et ça permettait de pas, euh, de zoomer, euh,''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'10'11] De pas de ne plus pouvoir voir les images.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'10'17] Après je ne sais pas si c’est en lien avec le dico image, mais moi, j'ai une élève qui a relevé.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'10'23] Quand j’ai dit qu’est-ce que vous retenez de [nom de la plateforme] et elle dit euh ah j’ai bien aimé, j'ai appris des nouveaux mots.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'10'28] Qu'elle a pu verbaliser ça. Je sais pas si c'est en cherchant ses mots ou justement en lisant, en lisant. Mais euh''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'10'36] Voilà quoi, je trouvais chouette, que ça ressorte en fait. Mais là il y a un nouveau vocabulaire que j’ai pu apprendre.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'10'41] Ouais, ouais''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'10'45] Architectes, archéologues, elle a fait un mix des deux archéothèques.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'10'52] Pis du coup elle a mis le réverbère aussi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'10'54] Par contre il a été cherchez stérile.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'10'59] Et dans le cas des élèves diagnostiqués dys ou FLS y avait une utilisation différente?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'11'09] C'est dans ta classe quand je suis venu qu’il y avait euh [nom d’élève] lui utiliser la synthèse vocale en fait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'11'16] Pas tant. Je crois pas.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'11'19] Il n’avait pas les écouteurs?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'11'21] Il a pu les avoir, je crois, mais je ne sais pas si ce n'était pas systématique et n'allait pas forcément.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'11'26] Parce que c’était calme aussi, en fait quelque part, euh, il n’y avait pas non plus euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'11'30] Il y en a beaucoup aussi qui prenez. Je sais pas, c'était peut-être plus [nom d’une école] mais qui ont avait pris des casques, juste pour.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'11'36] Le bruit en fait. Pour se concentrer.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'11'39] Ils n’utilisaient pas forcément la synthèse vocale.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'11'42] Chez moi en tout cas. Oui, moi les plus faibles lecteurs ils, quasiment automatiquement et prenez le casque après. Je le répète en chaque, à chaque début de leçon que ceux qui voulaient écouter pouvait faire. Enfin c’était, euh, libre à eux.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'11'56] C’est assez automatiquement pour les plus faibles lecteurs. Ok, ok, eux ils ont continué. Faibles lecteurs. Ça, tu, tu connais, c'est juste du retard scolaire ou c'est avec un diagnostic? Avec diagnostic. D’accord.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'12'11] Après chez nous, moi, j'ai vu dans l'utilisation du dictionnaire''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'12'15] Y a le concept auto correctif de logiciels qu’ils attendent un truc très rapide, très immédiat, toujours un retour très immédiat. Quand ils sont dans la difficulté, ils ne sont plus dans la réflexion, qu’est-ce qui se passe, pourquoi je ne comprends pas, et euh''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'12'33] Ah y a pas dans le dictionnaire. Des fois des définitions plus complètes, ou y a pas, ou euh là c’était plus compliqué je trouvais qu'il était tout de suite, dans cette attente de, euh, ah si je vais dans le dico la réponse doit être là, c'était immédiatement.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'12'48] Des fois c’était un petit peu grand productif, après certains ben euh, il y allait quand même assez systématiquement.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'12'55] Ouais pis vous, faut qu'on garde en tête que c'est des [niveau scolaire d’une année en dessous]. Oui, c’est des tous petits.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'13'00] Ils ne sont pas allés forcément plus euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'13'04] C’est-à-dire qu’il y a eu une présentation d'une comment fonctionne dico-image.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'13'08] Aux élèves, mais il n’y a pas eu.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'13'10] Une session juste où fallait tester eux-même et Aller chercher chez toi des mots pour qu'ils s'approprient vraiment''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'13'16] Là c’était vraiment, voilà, comment ça fonctionne.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'13'18] Vous pouvez l’utiliser ou pas.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'13'21] Ça fait parie aussi du, euh, et du coup.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'13'24] Après aussi ce qui pouvait être pénalisant. Typiquement, c'est, je crois, c’est [nom d’élève] chez moi. Il fallait vraiment écrire juste, mais comme en tout cas sur [nom de la tablette] comme le dico apparaît devant mon texte, vous ne pouvez pas voir le texte, retenir le mot et tout ben.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'13'34] Ça lui demandait de refaire plusieurs fois et tout puis quelque part, ça flinguer son quota d'attention.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'13'41] Puis d’énergie qu'elle avait pour l'exercice, en soit quoi?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'13'44] Je disais aux élèves aux platines de dire à voix haute, parce que du coup ça, euh, l’entrée est.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'13'48] Aussi phonétique. Nous écrivons mal, c'est pas grave tant que ça, tant que, tant qu’ils ont écrit ce texte phonétique. Là, oui, tu peux mettre éléphant.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'13'57] Mais automatiquement, ouais, pareil, tu peux. Ouais mais ça il n’y avait pas dès le départ.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'14'05] Ça ne marche pas à cent pour cent, mais si tu mets, maisons m é z on.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'14'11] T’as une particules ??? [incompréhensible].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'14'18] Oui, il disait qu'il fallait faire quelque chose de spécial pour ces phonétique. Ça fonctionne.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'14'22] Ah ben c’est phonétique [nom d’élève].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'14'25] On va le recruter dans les projets.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'14'28] Ah il serait heureux''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'14'30] Et pis du coup de façon générale,''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'14'37] Je crois que c’est la question d’après. T’as pu de connecter? [rire].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'14'39] Non, mais je les ai les questions. On peut alterner''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'14'44] De façon générale du coup dans l'appropriation vraiment de la plateforme, est-ce que vous trouvez qu’il y a des catégories d'élèves qui se dégagent, c'est-à-dire, je ne sais pas, des élèves, par exemple, irait plus de peine et qui se l’approprierait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'14'59] Mieux, ou, euh''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'15'00] Au contraire moins ou bien des élèves qui de base n’ont pas en difficulté et pis, qui ont''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'15'05] Détesté ou qui ont adoré. Comment est-ce tout ce que vous avez euh?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'15'11] Moi, ce que j'ai remarqué, c'est que ceux que je pense être un grand joueur de jeux vidéo était très zen.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'15'19] Très rapidement. Ils ont vite bidouillé. Ouais ils ont, ils ont su faire des trucs en avant moi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'15'24] Sur certains jeux.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'15'28] Ça, ça euh ceux qui manipulent bien les machines. À la maison ça se voit.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'15'34] Moi, j'ai trouvé les élèves faibles au niveau du langage chez nous, qui ont des besoins spécifiques à ce niveau-là. C'est très dur, certains exercices, ou presque. Je pense que peut-être qu'ils ont même pas vraiment appris ou bien sont restés bloqués.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'15'49] Je ne les ai pas senti entrer dans le, dans certains apprentissages, ils n’y arrivaient pas, peut-être aussi sous la forme d'exercices, je ne sais pas si avec des contraintes au niveau de comment c'était présenté, peut-être simplement où il aurait fallu peut-être avoir plus de, moins d'étapes, ou je sais pas par exemple il y avait là… comment ça s’appelle maintenant.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'16'07] La phrase. Et puis pas les mettre.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'16'10] Quel était, euh quel sort de mot s’était. Il y en a un, franchement, il m'a fait systématiquement tout faux. Au bien il mettait au bol et bon voilà, c'était faux.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'16'18] Et puis, sinon les bons élèves, moi je trouvais qu’ils essayaient de trouver la faille.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'16'21] De la machine. C'était vraiment leur but quoi? c'était même pas d'avoir des points, il y en a incertain, franchement,  ils venaient tout le temps me dire regarde maîtresse si je tire là euh. C’était du testing. Ouais, exactement dans la machine ils étaient, euh quand la machine ils ont euh, ouais je trouvais que certains sont sortis au bout d'un moment aussi, du fait de progresser dans la lecture.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'16'37] Et puis dans ça. Donc voila, mais après l'étape du milieu, c'était ce qui fonctionnait bien. Oui.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'16'43] Et tes élèves en difficulté. T'as vu un mieux quand il y avait l’adaptive learning?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'16'47] En mars.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'16'49] Oui, peut-être, et tout d'un coup oui. Et puis après, quand c'est revenu à mon parcours, à ce moment-là j'ai revu de nouveau, mais en fait, ce qui me paraissait plus flagrant, c’était qu’ils étaient vraiment dans beaucoup dans la demande de mon aide, et puis quand ils avaient, avant les parcours quand ils étaient au parcours pis après l’adaptive learning, beaucoup plus autonome et tout d'un coup, ils sont redevenus beaucoup moins autonome. Mais il y avait beaucoup, euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'17'09] Ouais, je trouve après que c'est un enfant qui a un tempérament aussi comme ça, qui s'en fiche en fait. Tant que c'est fait, c'est juste, et il n’a pas vraiment cette conscience de se dire: bah, en fait, je dois faire bien. Je fois faire, c'est tout. On attend de moi que je fasse, que je fasse.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'17'24] Ça c'était difficile, parce que du coup, on essaie de les laisser, et puis après, à quelque part, voici ma voilà. Il faut qu'ils se confrontent à ça aussi des fois, et c'était pas mal pour ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'17'33] Mais c'est vrai que je ne peux pas dire que j'ai vu une grosse progression chez lui, par exemple. Il a vraiment un gros trouble du langage.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'17'41] Moi je, ah, pardon, juste, je finis sur celui-là, ce qui est bizarre.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'17'45] C’est qu’il soit à nouveau en difficulté quand on coupe l’adaptive learning, parce qu'ils avaient des niveaux de jeu qui correspondait à son profil, donc euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'17'56] C'est peut-être juste parce que euh c’était explicité qu’il y avait qu’il y avait de l’adaptive learning. Il y avait plus les choix. Ah oui, il n’y avait plus les choix, ouais.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'18'05] Il était obligé d'enchaîner les exercices. [chevauchement de prises de paroles. Incompréhensible]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'18'10] Moi, je rejoindrais [nom d’enseignante] dans le sens que.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'18'14] Au début, certains se retrouvaient face à des activités beaucoup trop complexes pour eux.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'18'19] D'autres, ils avançaient dans ces parcours en deux sessions ils étaient déjà en parcours suivant, puis eux il était à l’activité cinq. Pour [Nom d’élève] a toujours rien comprendre. Donc, je pense, pour certains, ça a été démoralisant, ça de voir que d'autres avançaient, ils venaient vers moi, on a terminé pis eux ils étaient là.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'18'33] Et après, par contre, l’adaptive learning, ils ont pris plus de plaisir aussi, trouver des activités plus adaptées pour eux. Et puis, je n'ai pas ressenti de problème après une fois que l’adaptive learning a été arrêté, hormis la redondance des activités d’avoir euh plusieurs fois ces [nom d’un jeu], avec ces poissons qui revenaient [rire].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'18'50] J’en peux plus des poissons.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'18'52] Oui, j’étais d'accord avec ton message sur [non du canal de communication pour le support technique].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'18'55] [rire]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'18'59] Je devais écrire. On va les enlever.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'19'02] Eux.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'19'03] Ils ne voient pas les différence entre euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'19'06] C'est c’était très minime.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'19'08] C'était à une image près, en fait pour avoir beaucoup. On avait fait des variantes.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'19'15] Mais, mais c'était pas, euh en se disant que, de toute façon, il n'y avait aucune raison que deux variantes se suivent.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'19'22] Ça s’était euh, ouais.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'19'25] En juillet dernier, quand on bossait là-dessus.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'19'28] On pensait pas que les, que les variantes, euh''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'19'32] se, euh se suivraient comme ça et que ça créerait des problèmes.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'19'37] Après moi, j'ai un avis qui est un peu différente.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'19'41] Dans ma classe, il s'est passé un truc un truc autour du [nom du système lootbox de gamification]. Le [nom du système lootbox de gamification] c’est le truc, c'est le saint graal.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'19'47] Ma classe, si tu viens [adressage à la personne responsable du développement de la gamification], t’es le saint graal.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'19'52] Et puis, en fait, je sais pas, il y a trois, quatre qui sont partis là-dessus. Ouais, j'ai complété ma série, tout. Il y a une espèce de challenge aussi entre eux et tout ça et ils voulaient absolument finir leur série, et tout ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'20'02] Et en fait, par contre, chez eux, c'était l’inverse quoi, ils pétaient les plombs quand il n’y avait pas toutes les étoiles. Pourquoi j’ai pas tout. Mais parce que ça t’avais fait faux quoi. Il y avait une feinte. Ah bon alors après je vais refaire le niveau. Mais c’était plus''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'20'13] Lié au fait que il fallait avoir toutes les étoiles pour gagner le plus de pierre [lootbox] pour le compendium. Ils ont mille idées pour l’améliorer [rire]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'20'21] Ouais, je pense que ça a joué un grand rôle puisqu'il y a eu un peu d'effervescence. Comme ça. Ce qui fait que ça attire un peu tout le monde aussi en avant. Alors, je pense aussi que dans la classe,''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'20'31] ben comme tu disais [nom d’une enseignante] il y a eu beaucoup de bug chez toi et donc ça, bon, ben voilà.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'20'35] Il n’y en avait pas du tout chez moi et du coup, ça change aussi un peu avec l'ambiance de la classe. Aussi un peu une d'effervescence qui fait comme ça. Ça que change un peu la motivation peut-être''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'20'44] Du groupe.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'20'46] Il y a quatre élèves qui disent on s’est [incompréhensible] qui sont les petites têtes de la classe. Tout le monde va suivre, parce que voilà, pis si y en a quatre qui disent c’est trop bien.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'20'53] Ça lance aussi, peut-être un élan quoi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'20'54] Prenez le le, le fait que ce soit une récompense, ça eux et qu’ils aient accroché à la récompense.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'21'02] Ça t'a gêné ou c'est égal.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'21'07] Ben. Ça m'a pas dérangé, parce que, au final, le but, c'était de faire le plus juste possible.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'21'11] Obtenir les étoiles pour, euh, donc être finalement sans s’en rendre compte.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'21'14] Euh, il n'était pas forcément conscient de bosser et tout ça. Mais en fait, leur but, c'était de faire le plus juste possible. Donc, c'est, euh, en tant qu'enseignante, si on voit ça comme ça, c'est que les élèves progressent, mais et eux ne s’en rendent pas forcément compte. Donc, ça veut dire que quand on va,''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'21'29] extraire les résultats des tests de lecture.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'21'32] Ta classe, il faut qu'on la regarde dans cette perspective en fait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'21'36] Toi, tu penses qu'ils ont progressé?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'21'41] De part cette effervescence?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'21'43] Je pense oui.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'21'45] Oui [nom d’une élève], ben ouais alors, mais sur [nom du test], je n'en sais rien. Mais j’ai regardé. Ah tu as regardé.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'21'51] [rire]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'21'56] On avait beaucoup analysé cette situation et tout. Il était tout content de euh [rire].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'22'01] J'ai vécu la même chose que, euh, vraiment le [nom du système lootbox de gamification] c’était le truc. D’ailleurs ils ont relevé qu’il y a une photo d'un dieu égyptien qui n’est pas la bonne.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'22'13] Oh, c’est pas possible [rire]. Il est pas comme ça ou je ne sais pas lequel''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'22'19] Oui, ça s'est joué énormément dans la motivation. Ça faut pas l’enlever.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'22'24] C’est fou parce que chez moi pas du tout alors. Compendium ils s’en fichaient. Ils s’en fichaient mais ils étaient plus obsédés par la croix et le petit vu.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'22'31] Quand on fait l’exercice, tu sais.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'22'34] L'intitulé de l'exercice et pis après il y a les croix et les vu et c'était vraiment une succession de vie le plus possible avant qu’il y ait une croix.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'22'42] le plus de victoire avant de d'échouer.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'22'44] Ça, ça aurait mérité de ne pas être apparent, je pense. Ça a vraiment posé problème. Mais au fait nous on a vécu ça quand on a commencé tous en janvier, je me souviens on l’a tous dit. Et pis, ben toi qui a commencé plus tard, pas en janvier, en début d'année, et toi qui a commencé plus tard, tu l’as vécu en décalage.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'23'00] [chevauchements de prises de paroles, incompréhensibles]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'23'03] Je te rejoins parce que dans la classe aussi de, euh des trois classes [nom d’une école] qui vont commencé en même temps que toi, ils ont mis la même chose. Les élèves étaient obsédés par ça aussi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'23'14] Alors il y avait le [nom du système lootbox de gamification] quand même pour une classe vraiment pareil que toi. Ils étaient à fond, et d'ailleurs ils sont.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'23'21] Sont dépités de plus pouvoir y jouer parce qu'il n'a pas pu finir, en fait, les collections.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'23'25] Ouais, c'est ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'23'27] Ouais''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'23'29] C'est toujours en ligne, si vous voulez.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'23'31] C'est vrai.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'23'35] Quand on est arrivé où il y avait les cadenas qu'étaient apparus parce que c'est pas tout à fait fini, ça s’était le drame absolu.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'23'42] [chevauchements de prises de paroles, incompréhensibles]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'23'46] Ils n’ont pas du tout aimé l’adaptive learning les élèves alors.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'23'49] Ah bon? En fait, ils avaient tout le temps les mêmes activités qui revenaient, et avant ça, ils ont pas. Et puis, en plus, il comprenait pas pourquoi c'est celles-là qui leur étaient proposées, j’ai essayé de leur expliquer, mais ils ont pas euh pas croché, ils aimaient mieux avoir un parcours. Ma foi, ça, ça venait comme ça. Il n'avait pas le choix de faire ces activités là.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'24'07] Mais l’adaptive learning, ils ont pas trop compris.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'24'10] Ils comprenez pas pourquoi ces activités. Ils n'aimaient pas ne pas avoir le choix des activités. C'était toujours [nom d’un jeu], en l'occurrence, qui revenait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'24'17] Probablement parce que c'est celle qui arrivait pas.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'24'20] Est-ce que? est-ce que tu avais fixé des objectifs spécifiques par rapport à. Non, au départ, j'ai essayé pas, après, j'ai essayé d'en fixer.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'24'29] Enfin, même pour moi c'est compliqué. Effectivement, ça n'a pas été une période euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'24'33] Fast.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'24'35] Ben au fait on était obligé de mettre des objectifs très généraux pour avoir une variété d'activités. Si on ciblait trop les objectifs, il avait plus de choix, finalement, donc voilà.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'24'45] Et après ce qui était ce qui était embêtant c’était qu’il fallait à chaque fois valider les objectifs un par un sinon il n’y a rien qui s'enregistrer.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'24'52] Pas facile.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'24'53] Ouais personnellement j’ai euh, j’ai essayé de d'individualiser ses objectifs, mais j'ai galéré, du moi, pour aller enregistrer, pour me souvenir où il fallait aller. Je sais qu'il y avait la petite capsule vidéo et tous mais j’ai trouvé que c’était un compliqué pour eux.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'25'09] Moi, j’aurais juste voulu cocher ou mettre enregistré.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'25'12] Et là il fallait vraiment heu.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'25'15] Qu'est-ce que tu veux dire quand il fallait enregistrer chaque objectif?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'25'19] En fait, on ne peut pas les enregistrer tous une fois qu’on les avez tous mis, tous ces enregistrés. Il fallait mettre l'objectif.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'25'25] Puis je sais plus si c’était noté enregistrer.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'25'27] Objectif enregistré.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'25'29] Parce que si on en ajoutait, on enregistrait un à la fois, ben il n’y a rien qui s’enregistrait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'25'34] On avait, euh, c’était que le dernier requis pris en compte.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'25'37] Il fallait refermer l'élève pour y ouvrir l’élève.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'25'41] Pour être sûr que ça soit enregistré pour passer au suivant quoi. Ah parce que vous fixiez des objectifs élève par élève?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'25'47] On avait la possibilité, donc pour certains vraiment très, très faibles, si on voulais adapter vraiment plus précisément, on pouvait le faire. Moi j'ai essayé de le faire pour chaque session, quatre élèves différents. Donc ainsi sur deux semaines''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'25'59] J’avais eu à chaque fois, euh, c’était individualisé pour quatre élèves pour les prochaines cours. Plus ou moins.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'26'09] Mais fallait vérifier que le objectif venait bien en gris foncé parce ce qui était encore en gris clair.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'26'12] C’est que c’est que ce n’était pas valider, mais ça c’est des chose qu'on a dû un peu interpréter.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'26'20] Après ça c’est une remarque aussi qui est venue en tout cas dans ma classe, c'est que''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'26'25] Ils ont tous été très déçus qui ait pas eu plus de cartes au trésor.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'26'29] Parce que, finalement, c'est le truc le plus complexe dans lequel ils sont moins souvent revenus et pis franchement c’est une de ceux qu’ils adoraient le plus. Et peut-être le simplifier pour qu'il soit plus accessible à tous.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'26'39] J'allais dire parce que pour les élèves en difficulté ça c’est euh ouais plus les élèves en difficulté c’était bien compliqué parce que déjà les images et tout euh, mais ils ont adoré.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'26'47] L'aspect visuel est de pouvoir choisir si je prends l'indice en plus ou pas. Ça, chez moi, ça a beaucoup marché.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'26'54] Après, je pense quand même que le fait que le nom de lieu, je ne sais pas combien il y en avait, mais au final, mais euh par exemple [nom d’un jeu] pour eux, c'est toujours la même chose, parce qu'ils euh, ce même système, je pense qu'au bout d'un moment, surtout là, sur une année, avec deux fois par semaine, ce n’était pas assez varié.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'27'08] Oui, alors on a euh on a on as euh. Un déséquilibre très net entre euh et le nombre de niveaux de jeu par jeu, parce que problème de production.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'27'19] Parce que [nom d’un jeu] je sais pas on a réussi à monter à un septante.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'27'27] Quand il y a quatre cent cinquante [nom d’un jeu].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'27'32] Et puis, euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'27'34] [nom d’un jeu] ouais ont fait [nom d’un jeu] ce que j'avais. Ce que j'ai réussi à faire, c'est me servir d'une même phrase, et puis qu'elles apparaissent. Mais comme c'est moi qui construisait les parcours, je les ai dispatchais. Donc, je pense qu'il y avait moins le l'effet de redondance, c'est sûr.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'27'51] Parce que les phrases de la phrase pouvait servir à sortir les classes grammaticales. Et puis à reconstruire la phrase par exemple.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'27'58] Ouais, ouais.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'27'59] [nom d’un jeu]. Le problème, c'est que moi je veux, je veux bien que vous me disiez comment on pourrait simplifier pour les, parce qu'on sait des devinettes, donc comment je fais pour euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'28'11] Certains niveaux. Moi me plaisait parce que c'était très court les indices.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'28'16] Y a une collègue enfin une étudiante qui a, qui a produit quelques niveaux, et je l'ai trouvée. Il y en avait trois, mais j'ai trouvé particulièrement simple.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'28'27] Mais parce qu'il était court, mais après l’inférence elle-même!''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'28'32] Il n’y a pas que ça au fait. L’aspect visuel il est méga attractif, mais aussi très chargé.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'28'38] Oui. On va aller regarder vraiment chacune des images et bien retenir que là c’est euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'28'44] Je ne sais pas de pharaon avec son sarcophage que là c’est ça que là machin, se souvenir que c’était au nord et pas au sud et en même temps.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'28'51] Même si les indices sont courts, il y a beaucoup d'informations dans l'image en elle-même, c'est super beau et tout, mais je pense que ça ajoute de la difficulté.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'28'58] Et compétences que nous intéresse pas, mais qui archi mobilisé, c'est la lecture d'images. Au fait on a aucune idée de ce qu'ils voient, de ce qu'ils arrivent à choper dans les.. ouais ce qu’ils interprètent. Je vois les étudiants. Les étudiants [nom d’un jeu] ils adorent.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'29'15] Ils sont pas évident.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'29'16] Tu dois vachement de concentrer si tu veux en solutionner un, euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'29'19] C’est clair, moi aussi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'29'20] Ça demande d’être concentré sur ce que je fait hein. Le niveau de vocabulaire aussi, c’est quand même des inférences compliquées. Oui oui, des cheveux rubis, rubis ils sont allés chercher dans le dico-image, oui oui.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'29'32] Après on pourrait travailler les inférences avec un truc unique. T'as une image, une question? je suis passé entre ça et ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'29'42] Beaucoup plus simplifier visuellement. Une infos. Tu sais, comme dans [méthodologie de français] et pis tu.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'29'49] Ça, ce serait vraiment la base pour soutenir des difficultés. Mais alors ça veut dire que t’allègerais la carte, et puis tu aurait par exemple que trois endroits?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'29'55] Je ne peux pas ou une image une inférence.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'29'58] Qu’ils essayent de répondre à ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'30'00] Ouais il suffirait de garder juste l’image, de pas mettre d’endroit avec la loupe et pis de de mettre les indices euh, je, le.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'30'07] Trésor se trouve au nord.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'30'09] A la fin de la journée, il était là, euh à côté d'un collier.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'30'14] Moins de manipulation au fait. Ouais, c’est ça. Ou alors d'un truc plus évolutif, avec un truc, vraiment clac de base, puis, petit-à-petit tu dois quand même chercher, parce que c'est ça aussi qui, d'après, euh, qui les motives, sur ce jeu. Voilà c’est ce que j’allais dire.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'30'26] Un truc évolutif, mais ça change la mécanique.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'30'29] Ça change un petit peu la mécanique, mais je pense que c'est euh c’est euh, des bonnes.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'30'35] Après, il y a effectivement beaucoup d'informations visuelles en un coup. Mais est-ce que, et ça je sais pas, ce n’est pas du tout mon domaine. Je ne suis pas dans la didactique, mais est-ce que les inférences c’est une sorte de méta compétences? on peut travailler le toute, ou bien ben, a chaque fois [incompréhensible]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'30'49] Et au fait chaque inférence en elle-même est un défi au fait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'30'56] Ouais, mais le truc, toi, si je te donne un exemple qui était je ne sais plus, dans quelle méthode on avait ça, on avait genre.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'31'02] Il met un genou à terre et y tient un bouquet de fleurs. Tu devais dire simplement ce que c'était.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'31'07] Je pense que dans ma classe j’avais deux élève qui savais me dire que c’était le gars qui va faire sa demande en mariage. Ça donc juste. En fait, si on a déjà quatre affaires pour réussir un truc, c’est trop à la fois.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'31'15] Une inférence à la fois.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'31'17] Là il faut inférer pour chaque indice pour chaque lieu.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'31'20] Ça, c'est oui, c'est très flagrant. Mais d'en avoir une de moins au départ ou des plus simples.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'31'27] Parce que certains ils n’ont aucune référence. Ah, c’est culturel, c’est clair.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'31'32] Mettre peut-être euh deux endroits, par exemple, ils peuvent regarder avec la loupe, puis progressivement ajouter des''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'31'39] Ouais, ça voudrait dire que vous pouvez agir sur le nombre d'endroits.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'31'44] Mais moins il y en a plus c’est un score dû au  hasard.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'31'49] Ouais.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'31'53] C'est la même carte à fois non? tu les actives ou pas?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'31'56] Et si on switch des activités genre de mettre [nom d’un jeu], mais dans la carte genre ben.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'32'01] Une phrase, pis ils doivent aller choisir la bonne image, mais en cliquant sur la loue au lieu d'avoir le truc dans le [nom d’un jeu], ne mettent pas un truc d'inférence tout simple.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'32'09] Genre il a un genou à terre, un bouquet de fleurs. Qu'est ce qui fait? Il y aurait différentes possibilités.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'32'13] Il fait du stretching. Il se marie [rire]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'32'17] Tu vas quelque part. Ben ouais, qu’ils développent aussi, celui qui sait pas, il ne saura jamais. Ouais [nom d’un jeu], c'est c’est y a y a y a quelques thèmes qui mobilisent essentiellement les inférences. Oui, d'ailleurs, les poissons je crois que c’est des inférences, en vrai. Mais, mais, euh, mais ouais.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'32'38] On a on a, ça a été, ça a été''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'32'41] [nom d’un jeu] a été produit, et puis, et puis, l'association avec euh la sous-compétences ciblées. En fait, je les ai découvertes en les faisant, en fait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'32'54] Parce que y'avait pas de commande particulière.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'32'57] Voilà, il y avait l'idée de varier les thèmes, et puis deux, donc certains [nom d’un jeu] qui sont révélés être des, des, des inférences. Moi, j'aurais voulu faire des [nom d’un jeu] avec des textes et des et des plans de [nom d’un jeu], donc tu auras une capture d'écran de [nom d’un jeu] où ben il y a un déplacement, et puis il faut matcher avec le texte. C’était difficile. Bon, voilà.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'33'16] Mais bon, pas eu le temps, ça reste en projet. Je comprends, je comprends bien.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'33'22] Ce que tu dis avec cette idée de de toi, tu dis carrément de de changer enfin, d'utiliser les mécaniques de jeu existantes, mais de changer l'objectif en fait, parce que [nom d’un jeu] la loupe. Elle permettrait de trouver le texte.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'33'37] De faire [nom d’un jeu] en fait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'33'39] C'est ça ton idée.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'33'41] C'est une proposition.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'33'43] Ça vient des élèves toutes ces idées.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'33'46] Parce que c'est la mécanique de [nom d’un jeu], mais qui a un objectif de [nom d’un jeu].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'33'50] D’associations.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'33'52] Tu vois?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'33'53] Nécessairement d’inférence.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'33'57] [incompréhensible]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'34'10] Je partage aussi [nom d’une école] ce que les enseignants ont dit pa rapport à leurs élèves. Ils ont adorés [nom d’un jeu].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'34'18] Mais du coup c’était indifféremment de leur niveau au fait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'34'21] Euh qu’ils aient eu de la peine ou pas, c'est un truc, le visuel, les a conquit je pense.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'34'29] De façon unanime.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'34'30] Bah j’ai pas eu d'élèves qui m’a dit qu’il avait pas aimé, même si c'était difficile.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'34'34] C’est un jeu qui a très, très bien marché. Après, j'ai expliqué plusieurs fois.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'34'41] Ça m'est arrivé d'en faire un avec certains élèves pour être sûr qu'ils avaient bien compris.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'34'47] Ce que j'ai noté après, à part dans''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'34'50] Ma version de fidélité de mise en oeuvre.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'34'53] Mais ouais, parce que c'est vrai. Que faire avec eux? peut-être un moment, le temps que ça''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'35'00] Ça rentre, c’est peut-être plus euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'35'02] Il y avait bien des inférences.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'35'04] Culturelles, parce que, un moment, tu parles d'un symbole, je crois dans un des indices, puis ça a un rapport avec la mythologie pis du coup c’est un peu euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'35'13] Pas la mythologie, avec les pharaons.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'35'16] Il fallait comprendre que ça, ça voulait dire telle chose, etc. Mais c'est que visuel.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'35'21] C’est une bonne idée pour moins de baisser le nombre de.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'35'26] D’indices à aller checker.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'35'30] C’est vrai qu’il existe plusieurs leviers mécaniques pour, pour simplifier le jeu, se concentrer sur.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'35'38] Des choses qui sont, pour cibler mieux les lieux de ses objectifs.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'35'43] Réduire le nombre de lieux qu’on peut visiter.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'35'48] Aussi se focaliser sur un ou deux indices, puis après étendre au fur à mesure.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'35'52] Un parcours plus linéaire.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'35'58] La réduction de texte aussi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'36'01] Garder le même nombre d'indices pour éviter que''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'36'04] C’est ce que tu disais [nom d’un chercheur] c’est vrai c’est que''&lt;/small&gt; 

&lt;small&gt;''[00'36'07] Moins il y a d’indices, euh il y a de lieu, plus c'est possible que ça marche au bol.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'36'11] Donc ça peut être garder le nombre d'indices, mais avoir vraiment un élément visuel sur l'image qui est flagrant. Type euh, j'ai les yeux bleus.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'36'20] Du coup, on voit tout de suite sur l'image et pas euh je porte, je suis dans un endroit qui est frais machin, on est dans une grotte, mais un autre endroit. On est aussi, dans je ne sais pas dans enfin. Des fois il fallait retenir qu’il y avait deux lieux, où c'était possible.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'36'36] Des textes beaucoup plus euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'36'38] Pour les nouveaux.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'36'45] Hum, peut-être avancer, parce que je, euh, je ne sais pas niveau timing, comment ça euh''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'36'49] Il nous reste une demi-heure sur ce qu’on a prévu.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'36'52] Ok, alors du coup.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'36'55] Vous avez déjà un petit peu répondu, parce que [nom du didacticien] a posé la question, mais les fonctionnalités additionnelles vous semblent-t-elles suffisantes pour répondre aux besoins des élèves avec besoins spécifiques ou avec troubles du langage?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'37'09] Ou élèves en difficulté.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'37'11] Elèves allophones, FLS. Est-ce que ça vous semble suffisant pour répondre aux besoins?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'37'18] Moi je peux répondre par rapport à une élève qui n’a.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'37'21] Pas du tout pu participer au projet''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'37'24] Projet parce qu'elle n'arrivait pas ni à utiliser correctement la tablette. Pourtant, elle sait utiliser une tablette, mais elle arrivait pas du tout entrer dans les niveaux de''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'37'31] Jeu. C'était impossible, même avec son enseignante spécialisée qui faisait. Pis du coup, on a décidé avec l'enseignant spécialisé d'arrêter de lui faire faire parce qu’en fait on.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'37'40] C'était, c'était embêtant pour elle. Rien donc, tout hasard, si ça devenait presque oppressant au fait, c’était euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'37'49] On a dû prendre cette décision de dire qu'on ne fait plus pour elle, parce que c'est vraiment, c'était.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'37'54] Ça n'est pas du tout. Donc je ne sais pas s'il y aurait une fonctionnalité additionnelle qui pourrait pallier à ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'38'00] Mais tu, tu mettrais sa difficulté où? Scolairement déjà.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'38'05] La récupération de, du coup elle vient.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'38'07] D’avoir une mesure d’aide''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'38'11] Renforcée. Et puis elle arrive pas à lire toute seule, comme elle aurait dû écouter. Mais je pense que même en écoutant, je suis pas sûr que ça aurait changé au niveau de la compréhension, euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'38'22] Elle n’arrive pas.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'38'23] Seule elle pouvait pas. De toute façon, il aurait presque fallu un niveau [niveau scolaire plus bas].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'38'28] Et c'est aussi la gestuelle, tu penses? Non. Gestuel elle arrive bien. Elle utilise la tablette.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'38'35] Le roi des maths ou des choses comme ça. C’est pas un problème de support.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'38'41] Elle a quoi comme trouble ? Un peu tout.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'38'45] Ouais.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'38'47] C'est surtout cognitif en fait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'38'50] Mais [nom d’une enseignante] toi tu as des [nom d’un degré scolaire], donc s'arrêter intéressante, déjà testé un parcours de [d’un d’un degré scolaire] peut-être.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'38'58] Là, elle s’est vraiment vite aussi découragée, démobilisée que.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'39'04] Oui.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'39'06] Donc même avec de l'aide ?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'39'09] Ouais. Pourtant, elle avait envie de faire comme les autres.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'39'12] Elle avait envie, cette histoire de compendium, de remplir le sien.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'39'15] C’était tout tellement euh, elle nageait quoi. Et pis avec l’adaptive learning.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'39'20] Ça n’a pas euh ? Non, ça n’a pas changer. Bah, on avait déjà arrêté au fait ouais.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'39'27] Et peut-être que oui. Et moi mon élève FLS il a commencé avec l’adaptive learning.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'39'31] Ça ça lui a permis de rentrer dans les activités.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'39'34] Peut-être alors ça aurait changé quelque chose.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'39'38] [incompréhensible]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'39'45] Ça ne m’étonne pas.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'39'47] Mais l'idée de pouvoir.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'39'48] Par exemple pour des élèves [catégorie d’élèves avec des besoins importants]. Moi j’aurais un élève [catégorie d’élèves avec des besoins importants] aussi. Franchement on aurait peut-être pu le mettre sur un parcours [nom d’un degré scolaire], [nom d’un élève].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'39'56] C'est vrai qu'au début, c’était rouge rouge rouge. Je voyais le truc je me disais oh mon dieu. Je pense qu’il.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'40'00] Faisais au bol.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'40'03] Ben vraiment quoi au pif, puisque de toute façon on est tous là quoi, d'avoir effectivement un vocabulaire plus simple, une différenciation au niveau du contenu possible quoi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'40'10] Je pense que ça serait quand même intéressant pour certains.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'40'13] Certains très, très bons élèves pourquoi pas les lancer sur du [nom d’un degré scolaire] carrément. Ben va crocher un peu quoi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'40'21] En fait euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'40'24] Quelque chose que se trouve à travailler après c’est''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'40'28] Pour chaque niveau de jeu.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'40'30] Le, le le, la difficulté que on lui a associé.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'40'34] A priori, en l'occurrence que je lui ai associé à priori.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'40'37] Et la difficulté réelle chez les élèves.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'40'40] Donc, s'il a été joué cent cinquante fois, c'est quoi le score moyen? et donc s'en va regarder, parce qu'en fait le problème, c'est que''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'40'48] Je ne sais pas ce que c'est un niveau de jeu [nom d’un degré scolaire] ou un niveau de jeu [nom d’un degré scolaire], donc les. Dans les paramètres, j'avais la longueur, il y avait éventuellement de vocabulaire, tout ça, mais c'est vite, mais ça veut rien dire, puisque le vocabulaire d'un gamin à un autre euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'41'01] On va. On va taper dans le mille ou pas. Bon y a de la question culturelle.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'41'05] Et donc donc, on va, on va.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'41'09] On va repenser en fonction des résultats qu'on obtient, en des résultats moyens obtenus par niveau de jeu.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'41'17] Voir si ça dit quelque chose, en fait. Je suis pas sûr non plus. Par contre, pour ses élèves, après [nom d’un élève] il a pas pu finir, mais du coup, quand il y a eu l’adaptive learning c'est quand même très intéressant, parce que du coup ça commence à remonter vert vert vert, petit à petit. Ça revenait en fait orange orange.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'41'32] Puis ça revenait un peu vert, et puis du coup je me disais au ben tiens ça lui correspond quand même mieux quoi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'41'38] Oui, parce que là ça allait chercher dans des niveaux très simples. On va étiqueter [nom d’un degré scolaire], qui était utilisé dans les parcours des dernières [nom d’un degré scolaire].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'41'48] Et donc donc ça, pour nous, ces un super informations, ça veut dire que ça ça faisait sens.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'41'54] En tout cas pour certains peut-être directement commencer.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'41'59] Avec des parcours… Mais il euh au fait euh moi euh ce qui me coincer, c'est que, en septembre, c'était le même pour tous les [nom d’un degré scolaire], le même pour tous les [nom d’un degré scolaire]. Et euh bien ils étaient tout seul les [nom d’un degré scolaire] et du coup, c'était, c'était le. C'était voulu en fait, mais mais je, je peux.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'42'18] Enfin, quand je les construisais, je me disais ça, ça devient de plus en plus difficile, c'est pas possible. Forcément y en a qui s'ennuient et forcément y en a qui sont euh, ben ‘cest comme un manuel.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'42'27] Là on était dans une modalité qui correspond au manuel, en fait, hormis que le manuel tu peux décider de dégager un exercice là, ils les enchaînaient quoi. Parce que j'ai pas compris, c'est. J'ai cru comprendre, tu as dis pour certains faudrait commencer avec des parcours et d'autres avec l’adaptive learning.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'42'45] Non, toi. Tu parles à moi? Oui.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'42'49] Dans des parcours plus simples.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'42'53] De pouvoir dire directement, euh, de pourvoir dire directement''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'42'55] Voilà je sais que c’est un élève [nom d’une catégorie de soutien pour besoins particuliers] avec de grosses difficultés scolaires et tout. Je sais que le niveau ne sera pas adapté.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'43'01] Directement commencer avec une version et un parcours euh, sans que ça soit noté parcours [nom d’un degré scolaire] ou parcours [nom d’un degré scolaire]. [rire]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'43’08] [Incompréhension]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'43'13] Mais du coup avec une logique d'adapter learning, tout ça serait déjà régler aussi non? Exactement mais tu vois là pour celui là par exemple l’adaptive learning lui permettait de retrouver du positif. Mais justement quand tu dis ça, c’est que toi tu regardais son profil, mais lui,''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'43'26] Il ne voyait pas son profil.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'43'28] Non. Donc le tout rouge au début, c'est plus que il voyait qu'il avait pas les étoiles.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'43'36] Mais ça, ça, ça rejoint l'aspect motivationnel. Moi j’avais des élèves qui étaient dans le même cas figure.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'43'41] C’était tout rouge tout rouge, franchement ils n’avaient aucun plaisir. À partir du moment où, ben moi, j'ai vu que ça remontait dans le orange vert jaune, je voyais qu'elles avaient du plaisir et qu’elles avançaient dans leurs activités.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'43'51] Ce qui n’était pas le cas avant.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'43'54] Effectivement, j'ai fini mon parcours. Plus encore, à l'étape deux, sur les directeurs machins-là pis, fallait sélectionner les mots par nous-mêmes.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'44'02] Il sentait encore plus le décalage quelque part.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'44'06] En plus. Il ne gagnait pas d'étoiles. En plus! Alors ça c’est cavalier.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'44'10] Les jeux qu'ils aimaient pas. Ils ont dit c’est ceux où on gagnait pas d’étoile.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'44'16] Oui mais ça influence beaucoup, c’est vrai.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'44'18] Et dans les flow. Là, j'en ai vu quelques-uns que vous m'avez rapporté et ce que j'avais déjà mais un coup, beaucoup ils ont dessiné les étoiles.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'44'27] Mais après ce que tu as dis là''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'44'30] Quand tu créais tes parcours et que t’avais l’impression que c'était ça. Je pense que c'est un critère très important c’est de matière, maintenir l'attention de l’élève quand on adore un truc trop systématique après il y a tout euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'44'41] Ça dépend même pas du profil, du niveau de l’élève. Il y a ceux qui sont pour la compétition avec les copains, et puis finalement,''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'44'51] Il y en a qui euh ils ne sont plus du tout dans l'objectif de lecture quoi, parce qui sont dans un truc par essais successifs. Tout ça, c'est clair, ça donne un boulot du diables de diversifier les contextes, mais aussi les présentations d'interfaces, ce qu'on voit que tout est bien posé au niveau.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'45'07] De votre concept, si c'est bien fait. Mais pour eux, ben d’un coup, il rentre avec tout un autre état d'esprit que certains c’était euh''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'45'15] D’être le plus loin. Eh t’es au''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'45'17] Numéro combien.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'45'19] Et puis, effectivement, on devait tout le temps leur dire.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'45'22] C'est la qualité. Si vous voulez gagner des étoiles. Réfléchissez.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'45'26] Pis fallait tout le temps les ramener à ça quoi. Sinon, ça partait un peu dans tous les sens, et après, ils ont tous un petit peu leur objectif.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'45'32] Et puis si on peut les déstabiliser.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'45'35] En se disant bah, moi je fais ça, toi tu n’as pas le même monde que moi. Puis, en fait, ils se rencontrent, peut-être que beaucoup plus tard, sur des mêmes choses.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'45'43] C’est peut-être qu’ils ont peut-être plus leur petit chemin leur petite aventure. Je suis conscient que c'est ça va donner un boulot du diable au niveau contexte, mais''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'45'54] La preuve, c'est euh''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'45'56] C’est euh, c'est plus, c'est complexe, là comme euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'46'02] Dans la carte là, plus ils sont, euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'46'06] Ils sont là parce qu'il définit de plus présente, même si c'était trop dur pour des, plus des pour certains élèves.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'46'13] Mais je pense que si on arrive à déstabiliser pour les emmener que dans leur propre aventure, ils sont obligés de se raccrocher à des choses,''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'46'22] Plus factuelles, qui correspondent au niveau du sens, au niveau de la démarche.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'46'26] Et puis, après bien peut-être, revenir sur des des considérations ou ben, on a fait des analyses, ont les guides, ils vont rejoindre d'autres groupes, ou je sais pas. Et pis, ils peuvent commencez à parler, parce qu’il y avait quand même une euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'46'41] L'émulation, mais beaucoup de compétitions aussi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'46'45] Dans, dans, dans, dans l'aventure.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'46'47] Parce qu’on disait on a un élève qui a quelques difficultés. Pour lui. Au début il envoyait enfin ils avancer''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'46'54] Mais pour monter dans les numéros. Mais du coup, il ne se concentrait pas du tout sur ce qu'ils faisaient. Alors, il faisait tout rouge, enfin, euh, plein de croix, mais lui, comme il savait qu'il avait de la peine, il s’en fichait''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'47'05] finalement de l'exercice. Il voulait pouvoir dire je suis au quatre-vingt-neuf.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'47'11] Donc lui. C'est un autre défi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'47'13] Je peux rebondir sur ce que tu as dis parce que mes élèves, quand on discutait hier, alors il y avait un truc. Ça marcherait peut-être pas avec tous hein mais.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'47'19] Il a un truc que j'aurais voulu pouvoir faire. C'est du style avoir genre euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'47'23] La pierre précieuse multicolore qui donne accès dans le [nom du système lootbox de gamification] trois trucs d'un coup: le nom, l'image, le texte relatif.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'47'29] Ou de temps en temps le diamants pépites où tu peux choisir lequel tu peux ouvrir.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'47'36] Et pourquoi pas imaginer avoir peut-être la pierre-malus. T’as fait plusieurs fois le même jeu faux de suites, ou comme ça, tu reçois les diamants noirs. Qui te bloque.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'47'46] Ouais, je sais pas, ou imaginer un truc que jouer sur ce truc de qualité.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'47'54] Si un impact quelque part. Attention si tu ne t’investis pas. Tu reçois ton malus et du coup, ça te bloque plus loin, tu devrais gagner un je ne sais pas.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'48'02] [incompréhensible] Pour ceux qui sont en difficulté, du coup, c’est double peine quoi. &lt;&lt;—Informaticien·ne de l’adaptive learning''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'48'07] Ouais et peut-être qu’après ils prendraient le temps de bien faire pour de vrai quoi. Et quand il avait des parcours fixes, du coup, ils voulaient avancer avec les numéros et quand ils avaient des parcours en adaptive learning avait plus euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'48'19] Si, il y avait les numéros. Mais dans le désordre. Ouais ils étaient dans le désordre''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'48'26] Et il correspondait à quoi ce numéro? C’est un historique de réalisation.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'48'31] Et du coup tu as quitté à la vingt-neuf, qui pis l’autre à la deux cent trente.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'48'36] Où est-ce que voilà. Si, tout d'un coup, si tu as changé le diamant noir ou comme ça, t’es obligé de passer le prochain niveau avec un adulte, il réexplique le jeu. Voilà pour essayer de rebondir ou d'avoir un truc dans ce sens-là. Presque gagné dans la qualité, en fait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'48'49] Ça biaiserait peut-être un peu euh''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'48'52] L'analyse chez pas.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'48'54] Mais en fait, non si c'est très intéressant, puisque là, euh là on était coincé par le protocole, dont donc le protocole c'était tout, tout semestre d'automne, parcours imposé, forcément progressif, trouve de plus en plus difficile, donc de plus en plus inaccessibles.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'49'13] Aux élèves qui étaient déjà en difficulté. Et eh ben, il faudra voir.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'49'21] Ça, c'était pour voir si s'emparer des, si il se passait quelque chose avec les fonctionnalités additionnelles.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'49'27] Mais, il y a probablement un décrochage chez certains. Enfin, on verra si on, si on va voir ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'49'32] Dans une utilisation.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'49'34] Libre.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'49'37] On pourrait, on pourrait imaginer.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'49'40] Enfin, avoir des mécaniques différentes.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'49'45] Sinon, y a aussi euh, ça serait une histoire de.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'49'47] Feedback adaptatif, qui pourrait être hyper sympa pour dire comme t’as dis.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'49'53] Là ça fait plusieurs fois que t’as fais euh celui-là. Va voir avec un enseignant pour euh ça pourrait être sympa.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'49'59] Moi, j’allais dire. C’est ce qui m'a manqué, c'est qu'il y a certains exercices, j'aurais tellement voulu presque faire une mise en commun avec tout le monde pour expliquer pourquoi le l apostrophe, était considéré comme un pronom, enfin. On allait, euh finalement, on a pas ce temps à leur donner, expliquer la règle de pourquoi c'est comme ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'50'14] Moi, je n'ai pas le temps à côté de faire ça, et j’aurais vraiment voulu le faire, parce que des jeux qui sont géniaux au niveau de la grammaire, de la compréhension de, et puis, finalement, ben on prend jamais le temps de leur expliquer pourquoi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'50'27] Doivent le découvrir par eux-mêmes, par hasard.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'50'30] Ou pas.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'50'32] Ça, c'est un petit peu dommage.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'50'34] Je ne sais pas comment ça pourrait intégrer.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'50'39] Euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'50'42] Sur sur les [nom d’un jeu]. On aurait dû tester en groupe dans des classes.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'50'48] Avec mes [nom d’une personne].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'50'50] Il y avait cette idée-là de de, euh un ordinateur, quatre gamins, et puis.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'50'56] Euh discussion.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'50'58] Et on valide que si ils sont à peu près d'accord et qu'ils ont argumenté, etc. Ainsi c'est après. C'est des modalités d'utilisation différents. Ouais c’est ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'51'09] Et je comprends.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'51'12] Et pis commis sont pas du tout au même endroit.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'51'17] Le livre euh, la synthèse, elle est difficile, mais mais on pourrait aussi imaginer que tu choisis un exercice à niveau, que tu travailles avec eux en plénum, et puis que que ça, mais ça, ça, ça fait pas partie du protocole, en fait, mais mais en revanche, moi je le vois et je l'imagine bien.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'51'35] C’est aussi qu’il n’y a pas de feedback dans les jeux.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'51'38] Si le jeu il expliquait et ben là tu n’as pas eu l’étoile parce que ce l apostrophe à cet endroit là, c'est un pronom, est pas un article parceque, etc.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'51'46] Ben ça sert, ça, en partie, ça répond à''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'51'50] C'est clair.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'51'52] Après, avec les règles du jeu, il pourrait avoir des petits inputs théoriques aussi. Oui, on devait, c'est prévu. Ça fait, ça, ça fait partie.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'52'03] Ça fait partie des choses qui sont tombées, mais mais parce que dans le référentiel, il y a des connaissances. Après est-ce que ça aurait été utilisé c’est pas sûr hein.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'52'12] Dans le référentiel, il y a des branches connaissances et à ses branches connaissances on avait prévu de mettre des capsules vidéo.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'52'21] Voilà la question subsidiaire. C'est ce que, en tant qu'enseignant, c'est quelque chose de souhaité?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'52'27] Parce que, finalement, l'élève.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'52'30] Qu’il puisse driller des exercices adaptés à son niveau.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'52'34] Je pense qu'on peut facilement déléguer ça, mais si ensuite on délègue aussi les moments de d'instruction,''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'52'40] Je veux dire, jusqu'où on est d'accord de finalement se sentir inutile d'une certaine manière.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'52'45] Oui et non parce que, avec la nouvelle méthode, dans les rituels, c'est proposé d'avoir des phrases que les élèves analysent et tout ça et souvent, quand on l'a fait de temps en temps en classe on disait ben.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'52'55] Ça, c'est mot là, vous dites que ça, c'est pluriel donc, on met ent et tout ça, ben ça c’est la même chose que dans [nom d’un jeu] et ça, ça revenait souvent, et donc le [nom d’une méthode d’apprentissage de la langue 1], la nouvelle méthode, c'est aussi ses [nom d’un jeu] et tout ça. Et là ils faisaient quand même le lien avec [nom de la plateforme de jeux]. Oui, j'entends bien, mais ce que je veux dire par là, c'est que l'hypothèse qui était mise ici, sait si jamais l'élève s'en sort pas. Il est une capsule vidéo qui l'explique, une règle, un truc.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'53'16] Mais ça veut dire qu'à un moment donné, même pour expliquer, pour l'accompagnement individuel il y a quelques choses de l'ordre de l'enseignant se fait désemparé une partie de ce. Et donc je sais pas à quel point c'est.''&lt;/small&gt; 

&lt;small&gt;''[00'53’22] C’est aussi ce qu’on faisait finalement dans notre métier quand on dit: tu peux utiliser tous les outils à disposition et tu peux utiliser à ta boîte à outils, ton texte et langue, enfin qu'importe ce qu'on a. C'est la même chose, sauf que là ça sera.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'53'37] Une capsule vidéo.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'53'41] Toute aide est la bienvenue. Finalement, parce qu’on ne s'ennuie pas.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'53'45] On a des profils qui sont toujours plus variées, plus on a de soutien tant mieux, pis effectivement que tu devrais pas une apostrophe dans le texte qui est présenté, la personne.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'53'54] Si y a si ya une fenêtre qui vient, qui explique et pis ah ben là, la règle, et bien voilà c’est un pronom.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'54'02] Il réinvestit. T’es dans l'exercice et après, il tombe sur un même, sur un même cas de figure. Une situation pis ah ouais, c’est comme dans le L apostrophes, en fait avec, je sais pas, bien peut-être un code couleur, pis ah ben oui, ce genre d'erreur j’ai déjà eu, c'était un petit sigle ou un petit truc dans l'interface. Et puis,''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'54'23] Comme ça il réinvestit.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'54'25] Bah, c'est jamais négatif. Et pis c’est dans l'immédiat, qui serait tac tac.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'54'30] Pour les élèves qui sont en grande difficulté, de toute manière, ils ne savent pas où aller chercher l'information. Donc si l'information vient à eux, temps mieux pour eux. &lt;— enseignantes''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'54'39] Aussi on pourrait aller plus loin, puis dire que s'il l'exercice a été échoué plusieurs fois d'affilée, ben automatiquement, il y a d'office la capsule et ils sont obligés de prendre temps.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'54'52] [chevauchement de prises de paroles, incompréhensible]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'55'05] Avec l’adaptive learning, ben voilà, là y a la nécessité de d’un petit complément théorique. Moi je pense que ce sera vraiment pertinent. Il y aurait un avatar [rire]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'55'17] Clippy [rire].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'55'23] Il pourrait arriver en beuglante harry potter ça peut être pas mal aussi [rire]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'55'26] Il y a un enjeu qui me paraît important, c'est que ça peut être présenté avec d'autres mots et un autre vocabulaire que ce que ça avait été présenté en classe.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'55'35] Amener de la confusion. Moi je, j’ai un peu de réserve face à ça. Pas nécessairement de la confusion parce que certains ils ont aussi besoin d'avoir une autre explication, une autre formulation. Alors.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'55'44] Et puis de toute façon ce qu’on dit dans la classe correspond jamais à ce qui est écrit dans le manuel.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'55'49] À moins de s'emparer de la trace écrite du manuel.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'55'52] En fait le le.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'55'55] Moi, je pense que c'est plus. Ça correspond plutôt à notre idée de démultiplier les entrées. Alors, en sachant qu'ils peuvent aussi aller chercher chez l'adulte. Mais non, tu vois, ils ont une explication différente.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'56'11] Bon, qu’ils aillent chercher dans leur cahier, on y croit pas.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'56'13] Mais qu’ils vous demandent, oui.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'56'15] Mais tu sais, dans la, tu as dis avant que, il pourrait faire peut-être une fois par groupe. On pourrait envisager ça. Moi j’y vois du sans dans les stratégies d'apprentissage, parce que certains ont même exercice, mais en fait, ils développent peu de stratégie, tandis que tout d'un coup il y en a un qui pourrait ben tu vous la je vais par élimination, ben en fait juste, ça, peut débloquer tellement de choses. Ça, ça pourrait être hyper intéressant je trouve.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'56'34] Les grammes. On voulait vraiment, vraiment tester ça, et puis on n'a pas pu.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'56'38] Moi, je crois vraiment à ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'56'40] Une manière complètement différente. Je pense qu'avec les autres enfants, ça peut être aussi beaucoup plus riche dans, enfin un premier temps, puis après peut-être l’adulte qui s'y ajoute. En tout cas, entre eux je suis sure qu'il y aurait tellement de choses à s'apporter qu'ils ont pas eu pu, puisque ils n’ont pas du tout communiquer, mais. Dans [nom d’un jeu]. &lt;— ambivalence entre discours d’individualisation (promesse technique de l’adaptive learning que les enseignant·es se sont approprié) et collectif (fonctionnement de l’apprentissage que les enseignant·es souhaitent)''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'56'55] Au début, dans ma classe, euh ah ouais mais cet indice, ils avaient trop envie d'échanger. Je trouvais ça génial. Oui. Ouais mais tu ne penses pas que c'est là''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'57'07] Ou bien, comme tu connais la [incompréhensible]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'57'10] Même avec les aides là, les fonctionnelles additionnelles. Ben tu vois, moi, j'écris sur la feuille avant d'aller sur le dictionnaire. Mais j'ai juste dit ça une fois, ça soulage tout le monde et dans tout le monde a galéré pendant.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'57'22] Je trouvais que des fois, eux ils ont des stratégies que nous ont ne peut pas anticiper. C'est beaucoup plus [incompréhensible].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'57'34] collaboratif où il y avait ben flipchart. Dès qu’y a un indice et bien il va le noter pour les autres. Et chacun avance. Juste une fois, comme ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'57'42] Mais même déjà ce qu'il existe. Là on a pas pu les faire collaborer, mais là avec ce qu'il existe déjà. [incompréhensible].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'57'52] On avait quelque chose de un peu un peu similaire. C'est un pad collectif.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'57'56] Et qui fonctionnait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'57'58] Techniquement, mais pour des raisons après discussion notamment avec [enseignante partenaire du projet]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'58'03] Peut-être qu’ils vont publier des bêtises.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'58'07] Ça peut être détourné rapidement des usages prévus, et donc on a enlevé.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'58'13] Y avait une fois par mois par groupe et après individuellement si ça progresse.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'58'18] Si cette phase là de groupe eug.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'58'21] Ça me parle beaucoup parce que hier quand j’ai demandé à mes élèves quelles étaient leurs idée alors il y en a qui était là.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'58'25] Mais il faudrait de temps en temps un truc genre kahoot, où on doit se confronter, ou comme ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'58'30] Ouais, c’est très compèt dans ma classe [rire]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'58'34] Ouais en fait, je ne sais pas mais, on comprend et tout comme ça, mais quelque part apprendre en temps d’échanges. Fais de temps en temps''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'58'39] une session un peu différente ou un truc. Je pense, alors parlerai aussi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'58'43] Le collectif ça peut être bien, parce que dès qu'on fait ces activités, on le projette.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'58'48] On voit toute de suite qui c’est qui écrit quoi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'58'51] Ça peut être réintégré pis.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'58'54] Et pis il y a un petit numéro d’élève et on voit qui écrit quoi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'59'00] [chevauchements de prises de parole. Incompréhensible]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'59'05] En fait, on avait un pad perso et pas de collectif. C'est-à-dire celui qui veut prendre des notes, pour un mot par rapport aux dictionnaires et d'images, etc. Il peut le noter dans son pad perso.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'59'17] Et juste à côté, un collectif. Et tout était dans la boîte à outils.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'59'21] On voit moins de boutons là, parce qu’il n'en reste que deux ou trois boutons pour la police, etc.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'59'27] Mais on peut remettre ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'59'30] Moi, ma crainte, c'était en fait, dans une période où il y avait beaucoup de harcèlement en ligne et pis en fait ils utilisaient''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'59'36] Il y jouait un commun et pis même sur des jeux, il y avait la possibilité de communiquer. Et pis enfin nous on avait des gros soucis où ils disaient n’importe quoi, enfin, pas à l'école. Quand j'ai vu ça, je me suis dit: si ils peuvent tous communiquer comme ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'59'50] Ça va dévier en n'importe quoi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'59'54] Et est-ce que ça serait que, par exemple, pour [nom d’un jeu]?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[00'59'57] Les deux qui sont à ce moment-là en train de jouer et ben pouf .''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'00'00] Ils jouent ensemble et pis ils peuvent discuter.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'00'02] [chevauchements de prises de parole. Incompréhensible]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'00'04] Avec un niveau qu'on est obligé de faire à deux. Ça serait marrant. Ouais.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'00'09] Je ne sais pas la faisabilité.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'00'13] Tu dois attendre.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'00'15] [Incompréhensible]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'00'17] Plusieurs sur la même activité, ça peut être rigolo ouais.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'00'22] Mais ça sous-entend qu’on.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'00'23] À l'avenir. Je sais pas comment vous imaginez que ce sera toujours un temps.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'00'27] On accorde à toute la classe, on fait trente minutes de [nom de la plateforme numérique]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'00'30] Ou ça peut être aussi un temps où ils font euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'00'34] Individuellement. Comment vous imaginez? je ne suis pas ça.''&lt;/small&gt; 

&lt;small&gt;''[01'00'36] C'est une vraie question, qu’on peut vous retourner au fait. Quel est l'usage qui semblerait pertinent? nous, on s’est mis des contraintes et on vous en a mis pour des raisons de mesure, en fait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'00'48] Dans l'absolu, tout est ouvert en fait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'00'51] Personnellement, on était deux classes dans la même école. Petite école hein.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'00'55] Et pis quand il fallait réserver les tablettes, toutes les tablettes de l'établissement durant je ne sais pas combien de semaines, fois deux, parce que voilà, ça a été assez compliqué. Franchement les collègues râlaient.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'01'08] Donc, je me dis si, à l'avenir, les enfants, ça serait un temps, un moment comme ça, pour tous au même moment.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'01'14] Honnêtement, ça ça serait compliqué. Nous on a pas une tablette par enfant, on a deux tablette par classe et on doit louer le reste qui est à l’établissement. Ça jazzait déjà là, alors qu'on était que deux classes à faire cette exercices, enfin à mener sur ce projet. Je ne vois pas comment on pourrait. Ça serait compliqué.''&lt;/small&gt; 

&lt;small&gt;''[01'01'32] Ce que j'entends dire que vous n'aurez pas deux ordinateurs au fond de la classe, [nom de la plateforme numérique] ouvert, et puis, tout d'un coup, tu envois un élève parce que soit il y besoin de travailler quelque chose, soit il a terminé, puis, si tu veux, tu vas jouer là-dessus. Alors s'il a terminé en c’est comment ça va. C'est toujours les mêmes et pis d’autres n’avanceraient jamais, mais de trouver peut-être je sais pas.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'01'52] Sous forme d'ateliers, en tout cas, nous, c'est compliqué d'avoir les vingt tablettes.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'01'57] Deux fois par semaine au même moment.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'01'59] Et en plus on a de petites classes.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'02'02] Là on a dix-sept élèves. La plupart du temps c’est vingt-deux''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'02'05] Vingt-quatre.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'02'06] Ça complique les choses, le côté matériel. Oui,''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'02'10] Mais moi. Je trouve ça chouette. Par contre, de faire tous ensemble, c'est un moment qui est très calme dans ma classe, qui arrive facilement à se concentrer.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'02'17] Oui et puis ça rendre dans les créneaux des activités ritualisées. Quand ils sont ensemble, il y a la compétition.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'02'25] Il y a ça aussi. Puis, finalement, il savait chaque semaine, c'était à ce moment-là, il adorait ça. Ils attendaient que ça. On a une tâche on a l’informaticien dans les rôles de la classe, ils n’attendent que d'être informaticien, parce que c'était cas aller chercher les tablettes.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'02'40] Il y avait tout un environnement qui leur plaisait dans ce moment-là, en fait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'02'45] Moi je trouve que c’est intéressant d'y être exposé quand même plusieurs fois, parce que je pense que si c'est tout d'un coup ça tombera assez vite à la trappe, aussi hein, parce que quand même il faut se discipliner un petit peu pour le faire, parce que sinon c'est sont peu exposés, je pense que, euh, je sais pas.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'03'02] Tu veux dire deux fois par semaine? peut-être pas deux fois par semaine, peut-être un peu moins, mais je trouvais quand même que la régularité faisait aussi le progrès.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'03'09] Je pense que s'ils étaient moins exposés, certainement qu’il y aurait aussi des, euh, je pense que ça jouait beaucoup oui. Au [nom d’un établissement scolaire] j’ai les mêmes retours. Que si c'était juste une activité, euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'03'19] Comme ça, enfin, si''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'03'21] Pas suffisamment régulier pour que, euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'03'25] Bon on est pas ici pour parler de ça, mais ça a été un gros débat sur ces activités ritualisées dans les nouveaux moyens et euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'03'30] La fréquence et à quoi ça sert.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'03'34] Moi je ne me verrais pas faire deux sessions par semaine. Je pense, d'autant plus que mes élèves. Ils ont trouvé que, au bout d'un moment, les activités ils les avaient comprises, quoi, c'est un peu redondant. D'abord, toujours euh, ces machines.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'03'44] Ces problèmes, ces machins nen nen nen. S’il y avait une plus large gamme d'activités et je pense que il aurait pris plus de plaisir aussi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'03'52] Surtout si c'est sur toute l'année. Je partirais plus sur quelque chose une fois par semaine ou comme ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'03'58] Et après aussi comment va évoluer la plateforme. Parce que en l’état des lieux''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'04'02] Trente minutes ça devenait aussi longuet à la fin.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'04'05] Parce que c'était très redondant. Donc voilà, par contre, si tout d'un coup il y a des fonctionnalités et des choses qui changent,''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'04'11] S’ils peuvent échanger, ou je ne sais pas. Peut-être que les trente minutes seraient entre guillemet juste suffisantes, parce qu'à partir du moment où ils peuvent discuter et tout. Ben ça sera presque trop court. Donc, à voir aussi comment évolue la plateforme. Après si on le fait de façon régulière, enfin je sais pas mais, là, on arrive toujours [nom de la personne en charge du support technique] à sa disposition.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'04'26] En cas de problèmes, si on continue, je ne sais pas dans quelle mesure.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'04'31] Ah ben il y a un avatar qui sort [rire].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'04'36] Non, non, ben ouais. L’objectif c’est que vous serez autonome aussi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'04'41] Ça fait partie de notre travail de d'optimiser l'exécution et le fonctionnement pour que vous n'ayez plus besoin de dire pourquoi pas. Après il reste des aspects peut-être ergonomiques, etc.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'04'56] On continuera à vous assister, mais l'objectif est qu’à terme vous soyez quand même assez autonomes.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'05'02] Donc est-ce qu'on doit attendre un feu vert avant de reprendre [nom de la plateforme].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'05'06] Alors, déjà pour l'adapter learning, euh, là.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'05'10] C'était. C'était en fait c'était moi qui a signé, parce que, pour le protocole expérimental, on se méfiait que, par erreur, un enseignant ou une enseignante va sur un autre parcours ou assigne adaptive learning, alors qu'il était en phase de parcours standard. Donc, là je, c'était moi qui fait les choses. Après en général. Je pense que''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'05'30] On va faire ce qu'il faut pour que vous puissiez choisir le mode euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'05'34] Qui vous convient, mais faudrait un truc simple, genre juste un truc à passer de gauche à droite. Standard, Adaptatif. [rire]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'05'44] On avait plein de designs.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'05'46] Hyper économiques, puis après il y a un problème de temps.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'05'49] C'est possible, mais. Non parce que le truc d’aller choisir en haut à droite, je ne sais plus quoi avec une petite des trois points après.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'05'56] C’était euh, faut être dans la page enseignant.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'06'01] Dans la pratique. Pour avoir de l’adaptive learning, il faut rattacher la classe.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'06'08] Un outil qui est [lieu du server lors de l’expérimentation], et donc, euh''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'06'12] Il y a cette étape de rattachement de la classe.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'06'16] Il faut activé euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'06'18] Le parcours pour qu'il soit en mode adaptive learning. Donc ça peut effectivement envisager une case à cocher.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'06'24] Et puis, quoi d'autre?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'06'27] Le rattachement de classe, on peut le faire de manière transparente. Comme à [autre site d’expérimentation d’un système d’adaptive learning], les enseignants ne s'occupent pas de ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'06'32] Ils faut mettre un mécanisme derrière.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'06'35] Après, après, ça reste faisable, mais''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'06'38] Non, mais avec notre tuto, c'était compréhensible, mais on sait comment ça va être si vous développez ça partout où il y en a qui prendront même pas la peine de regarder les vidéos donc euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'06'48] Il y avait tous les objectifs qui revenaient.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'06'50] Oui. Après ça charger.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'06'53] T’étais là entrain de, de scroller, qu’est-ce que ça veut dire tout ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'06'59] Tu valides, est-ce que ça a vraiment pris.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'07'03] Tu sais même pas si t'as vraiment validé ou pas. Ils viennent, mais c'est toujours le même exercice.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'07'08] Ah en fait, tu dois réactualiser [nom de la plateforme], tu dois sortir et rentrer. Ah là ça marche.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'07'14] Les objectifs, c’était pas euh''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'07'15] C'est un peu, euh''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'07'17] Si c'est la machine qui te dit clique là, c’est fait pour toi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'07'23] Ben justement.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'07'26] Est-ce que vous avez observé?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'07'30] Euh, non, pas justement, euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'07'33] C'est ce qu'il y a beaucoup de questions, j’avais pas vu.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'07'36] Je ne pensais pas qu’il y en avait autant''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'07'39] Ça concerne aussi l’adaptive learning, mais.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'07'42] Vous est-ce que vous avez observé des différences.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'07'45] Avec et sans.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'07'48] Moins on l'a déjà dit, c'est aussi l’autonomie quoi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'07'50] C’est ça la question.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'07'53] Mais après, j'étais très peu de temps moi le parcours, du coup euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'07'57] Je peux pas dire si c’est un long démarrage où il a fallu un moment pour que tout le monde s’y mette, ou si c’est adaptive learning. Mais j’ai un peu l’impression qu’ils étaient beaucoup plus autonomes.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'08'06] Parce que plus adapté.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'08'10] Mais on fait très peu avant, donc euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'08'12] Vous trouvez que finalement ça a permis aussi de renforcer la motivation?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'08'16] J'ai une question.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'08'17] Tu compares plus autonome entre le petit moment avant.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'08'21] Ou c'était des parcours standardisé où tu compares, plus autonome, avec le moment après où la classe est revenue, à des parcours standardisé ?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'08'30] Est-ce qu’ils se sentent plus autonome [incompréhensible] Ils sont plus autonomes en ayant l’adaptive learning que avant quand ils étaient dans les parcours.  Oui, mais comme j'ai fait très peu de temps, je ne peux pas dire si, euh. Je suis tout à fait d'accord. Mais après, normalement,''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'08'50] Si, si ça s'est passé comme je pense, t'as eu de nouveau un moment où ces revenus. Ah pas toi?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'08'57] Parce que là, ça peut simplement être du monde, au bout d’un moment l’élève se familiarise.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'09'03] Mais comme on a repris plus tard, il y a eu les vacances, puis on avait décalé. Donc au final, sa classe a fini avec l’adaptive learning.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'09'09] Après, avec ou sans adaptive learning, c'est encore des exercices adaptés. A la fin oui, plus ou moins. Mais il n'avait pas le choix, c'était juste. Oui, mais tu disait un truc intéressant [prénom d’une enseignante].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'09'20] Sur la motivation.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'09'22] L'impact de l’adaptive learning sur la motivation. Je pense que chez les élèves qui ont de la difficulté dans le parcours standardisé ben il y avait une baisse de la motivation, parce que c'est toujours trop profond et avec l’adaptive learning c’est revenu petit à petit qu’en même.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'09'35] Moi il y a eu le fait que ça allait être une.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'09'38] Intelligence artificielle.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'09'40] Alors ça, ça a eu un effet chez eux.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'09'43] Déjà participé à un projet pilote. C'était quelque chose de très valorisant pour eux. Mais alors leur dire qu'il y avait de l'intelligence artificielle et tous.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'09'52] Ils étaient bluffés.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'09'56] Moi, pour ce à qui ça a été plus compliqué l’adaptive learning, ce qu'il n'avait pas vraiment le choix. Ils avaient peut-être.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'10'00] Deux [nom d’un jeu], [nom d’un jeu], à chaque fois c’était deux [nom d’un jeu] un [nom d’un jeu]. Et donc là il fallait partir dans des objectifs plus généraux. Je devais moins cibler. Par exemple pour les bons élèves pouvaient pas cibler des objectifs très précis parce que sinon ils n’avaient rien,''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'10'14] J’ai eu le même problème avec les [nom d’un degré scolaire].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'10'19] Les plus faibles.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'10'22] Ils étaient contents parce qu'ils réussissaient.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'10'25] Les exercices où ils étaient euh''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'10'27] Et les meilleurs ben''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'10'29] Ils avaient toujours les mêmes exercices.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'10'32] Ils étaient là, euh, ouais.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'10'34] Il y avait des exercices dont il avait besoin, au fait, sur lesquels ils étaient euh… Ben forcément, parce qu'après il réussissait tout le temps.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'10'43] Je pense c’est que ça plafonnait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'10'46] Non mais ouais.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'10'48] Toi, [nom d’un degré scolaire] en fin d'année, c'est sûr que on est euh, on n'a pas de quoi les occuper.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'10'53] Les les, de les nourrir au sens s’occuper au sans les nourrir, c'est sûr.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'10'58] Je pense que, et puis, même pas en paramétrant avec le retour en prérequis.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'11'02] Je pense qu'il les gérer aussi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'11'04] Donc quand on avait épuisé le les possibilités. Tu as des élèves qui avaient presque tout vert au fait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'11'11] Mais c'est euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'11'13] C'est pour ça que c'était quand même intéressant.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'11'16] Très intéressant d'avoir ta classe, parce que puis, bon, ils l'ont fait sur les vingt semaines.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'11'22] Donc, moi, je trouve complètement normal qu'ils y sont arrivés au bout assez tard quand même.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'11'27] Enfin, je pense qu'ils ont commencé à s’ennuyer sur le dernier mois.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'11'31] Ils n’en pouvaient plus.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'11'32] Ils faisaient parce qu’ils faisaient.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'11'40] OK, j’ai une question pour l’équipe.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'11'45] [incompréhensible]. Ouais, il est quinze heure là. Est-ce qu’on pourrait ciblée en priorité, euh, tu as accès au doc.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'11'59] Parce que en fait,''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'12'00] La discussion au fait, elle a été super naturelle. Vous avez répondu.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'12'04] Certaines questions, je pense.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'12'06] Bon, hum, hum, j'en ai eu une. Enfin. Vous ne serez pas surprises.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'12'10] Que ce soit moi qui la pose.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'12'12] Qu'est-ce que vous, qu'est-ce que vous pouvez dire? est-ce que vous pouvez dire quelque chose sur les apprentissages?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'12'18] Tant qu'on a pas les [nom du test de performance], est-ce que vous vous attendez à ce que vos élèves de progresser dans ce que vous pensez qu'ils ont progressé, parce que vous vous attendez à avoir des progrès dans les [nom du test de performance], les tests est-ce que, euh, ou, au contraire, vous pensez qu'ils ont joué, mais n'ayant pas forcément eu un impact?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'12'36] La question des apprentissages.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'12'39] Ben, moi, je suis très mitigé, parce qu'il y a pas eu, justement, cet apport là qu'on a pu leur fournir si ils faisaient faux, on ne les a pas aidé, on n’a pas fait des leçons. Vraiment. Voilà, deux séances de trente minutes, point.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'12'54] Il n'y a pas eu de feedback, donc j'ai pas pu enseigner quelque chose par rapport à ça et c’est pour ça que, franchement, je sais pas. Je ne sais pas du tout s'ils auront progressé.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'13'04] Je leur ai envie, évidemment, mais''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'13'08] Je peux pas dire que moi, je les ai aidé là-dedans.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'13'11] Moi je dirais, euh''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'13'15] Qu’on ne peut pas mesurer de tout façon la progression, de toute façon, on va s'étonner qu'effectivement, comme on peut pas les aider, c'est compliqué.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'13'22] Peut-être aussi pour eux de progresser.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'13'24] Mais ça a eu quand même l'avantage qu’ils sont passés plusieurs fois dans des moments d'analyse quoi, avec les [nom d’un jeu] comme ça, certains [incompréhensible] mais je pense que l'interface elle offre quand même.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'13'40] La possibilité de rentrer.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'13'42] Dans, euh cette idée de rituel.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'13'46] Très grand nombre de fois dans des situations où ils doivent analyser une phrase, ils doivent analyser un texte.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'13'54] Sa force, un fonctionnement, sa force, un fonctionnement. Mais après, il est un petit peu tout seul effectivement. Tout d'un coup, on se retrouve avec les élèves en difficulté, parce que ça bloquait, ben ça bloquait pour l'exercice [incompréhensible].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'14'10] Mais par contre pour moi la plus value elle était déjà là par rapport à d’autres élèves qui n’avaient.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'14'14] Jamais eu cette interface. Ils ont dû y aller quoi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'14'17] En parallèle à [nom de la plateforme numérique]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'14'19] Il y a bien toute une année scolaire qui s’est passée, donc j'espère qu'ils ont quand même progressé [rire].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'14'24] Moi, ce que je me questionne, c'est pour les bons élèves.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'14'29] Comment ils ont participé, à quel point ils ont progressé.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'14'33] Les tests [nom du test de performance]. Je vous dis honnêtement, il a fallu garder leur motivation.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'14'38] Alors peut-être que''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'14'40] ça a eu, ça a une influence sur les résultats.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'14'41] Parce que la quatrième fois ce test [nom du test de performance] [incompréhensible]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'14'52] Ça va les motiver.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'14'55] Non, non, mais on est d'accord. Quatre points de mesure c’est. C’est sûr, elle s'était premier qu’ils avaient fait [incompréhensible]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'15'02] Les questions sont un peu les mêmes. Parce que à la fin ça a été de nouveau le même que le premier, peut-être si y en avait eu que deux. Voilà. Mais c’est vrai que ça, ça, ça, le quatrième.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'15'10] Ils ne savaient pas ce qu'ils ont fait dans les autres [incompréhensible]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'15'15] Niveau motivation, mais il a fallu les pousser quand même.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'15'21] Moi je l’ai fait aujourd'hui et franchement, ça a été.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'15'24] Au taquet, ils ont rendu plus vite que [chevauchements de prises de parole, incompréhensible].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'15'32] J’ai controlé un peu. Ça a l’air d’être des réponses euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'15'34] Correctes.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'15'37] Il n'est pas de question tant dit ce qu’au premier ou deuxième, ils avaient tout le temps ça veut dire quoi, ça. Ouais, ils posaient plein de questions que ça voulait dire.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'15'47] Mais, du coup ils n’avaient pas de question, Ils ont fait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'15'51] Ils avez quarante cinq minutes, après vingt-cinq, trente.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'15'56] Ouais moi non plus j’ai pas eu de questions à proprement parler sur comment il fallait les remplir ces champs, disons ils avaient déjà fait avant. C'était plus des questions niveau de compréhension de, de nouveaux sur texte ou quoi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'16'09] Ils étaient pas non plus ultra enjouée à l'idée de devoir refaire un test. Mais ils l’on refait mais, de nouveau, c'est que des questions de compréhension.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'16'20] Le reste j’ai pas particulièrement remarqué au niveau du test''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'16'23] Une grosse différence.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'16'25] C'est quand même bizarre pour certains élèves de pas pouvoir utiliser le dictionnaire en fait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'16'29] Ils étaient un peu désemparés, en gros on leur dit tout le temps utilise utilise utilise ben là non, tu essaie vraiment sans rien, il y avait deux trois élèves qui étaient là, ouais mais ça, ça va me bloquer.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'16'41] Essaie sans.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'16'44] Je partage peut-être les propos.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'16'46] Du [nom d’une école partenaire]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'16'47] Elles ont fait un test, en fait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'16'50] Je crois que c'est issue par contre, je ne suis pas tant sûr, mais un test après de la lecture, purement de compréhension.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'16'56] Il y avait un texte et, du coup ça c’est suivi, c’était horrible pour les gamins.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'17'01] Je referme le couteau après.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'17'03] Mais elle trouvait que globalement, il avait quand même, euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'17'08] Alors peut-être c'est pas que [nom de la plateforme numérique]. Il y a effectivement l'année scolaire.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'17'11] Qui est passée.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'17'12] Mais elles trouvaient quand même que ça poussait beaucoup.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'17'15] A réfléchir sur la consigne, ça c’est un truc qui, euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'17'19] Être sûr qu’ils ont compris qu'il fallait faire.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'17'21] Et euh, elles parlaient de métacognition. C'était marrant, parce que je, je ne m’attendais pas du tout à avoir cette discussion-là, mais c'était hyper intéressant de voir qu’elles, qu’elles trouvaient que ça avait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'17'31] Ça les avaient mis dans la posture de qu'est-ce que, euh, qu'est-ce qu'on me demande en fait?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'17'36] Est-ce que je suis sûr de comprendre ce qu'on me demande?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'17'41] Moi, j’avais quelques questions aussi parce que j'ai bien compris sur les recommandations que fixer les objectifs, c'était pas très pratique.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'17'50] Alors y a des problèmes d'ergonomie.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'17'53] Vous avez souligné.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'17'55] Est-ce qu'il y a aussi des problèmes sur la compréhension du référentiel?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'18'01] Sur la taille du référentiel [rire]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'18'08] Les profils. Vous avez mentionné plusieurs d'entre eux que vous les regardiez. Savoir si c'était tout rouge. Est-ce que vous avez des retours à nous faire, justement sur les profils, qui vous semblait cohérent par rapport à ce que vous connaissiez des élèves? est-ce que en termes de présentation, c'est, c'est clair.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'18'28] Oui, c'est cohérent par rapport aux difficultés et facilités des élèves.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'18'32] C’était rien d'étonnant.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'18'34] Ouais, moi, ça coïncidait. J'ai pas une surprise non plus.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'18'39] Ouais, heureusement en fait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'18'41] Mais pas, au contraire, pour un deux élèves on se dit qu’est-ce qu’il comprend vraiment toujours. Ou est-ce qu’il feinte un peu. Ou est-ce que.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'18'47] Ils regardent des fois à côté. On a des fois un ou deux élèves. On ne sait pas vraiment ce qui se passe sûr ou pas sûr. Ça permet aussi d'avoir, euh''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'18'54] Ah ben, non, il y a bien tout qui roule.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'18'57] Finalement, t’es vraiment confronté à toi-même.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'18'59] Ça nous permet d'avoir des données un peu consolidées par rapport à l'impression que vous avez, euh. En tout cas, dans ma classe, j'ai un élève il est un peu comme ça, je n'ai jamais trop, euh, voilà.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'19'10] Ben, c’était intéressant d'aller voir chez lui. Ce n'est pas si bon que ça maintenant.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'19'15] Il donne le change, mais ça s'arrête là.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'19'23] Il y a d’autres, euh, retours à nous faire?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'19'25] Euh, les profils?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'19'29] Et quand il y avait des recommandations.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'19'31] Qui n'étaient pas satisfaisantes.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'19'34] De votre point de vue.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'19'35] Que c'est parce que c'était contraint par rapport aux objectifs, ou est-ce que vous aviez, euh, ou vous compreniez vraiment pas pourquoi c’est ça qui revenait comme exercice pour un élève.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'19'47] Moi, c’était les objectifs qui étaient trop ciblés ou trop élevés.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'19'51] [incompréhensible].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'19'55] Ouais, des fois de ré-élargir pour avoir plus de jeux. En fait, dans le référentiel, je ne sais pas si c'est très utile de descendre autant bas dans les niveaux d'objectifs.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'20'05] Finalement [rire]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'20'12] Mais j'ai prévu une diapo tout à l'heure.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'20'17] On devrait pas tout voir. Je suis d'accord.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'20'21] Et pour les objectifs. Vous choisissiez les noeuds, mais y avait aussi une intention à mettre, révision, euh, approfondissement.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'20'29] Ça vous a posé problème, ses intentions, vous auriez juste préféré.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'20'34] Mettre un noeud du référentiel à valider avec un bouton?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'20'36] Où est-ce que ça vous a servi de pouvoir dire ce cela faut que ça soit une révision, celui-là, pour ce serait une découverte.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'20'44] C'était trop tôt dans l’expérimentation pour qu'on puisse, enfin, pour ma part, en tout cas, pour pouvoir dire, là je veux qu’il révise, là je veux que, enfin.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'20'53] J’ai l’impression qu'il faudrait déjà que je maîtrise déjà super bien le, la plateforme, pour pouvoir.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'20'59] Allez en plus là-dedans.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'21'00] Parce que là, je voyais pas ce que ça allait, euh,''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'21'03] Vraiment, ce que ça allait différé dans le, dans les parcours. Moi, j'ai un peu merdé en fonction des couleurs.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'21'09] Si s’était rouge. Je mettais plutôt euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'21'11] Revoir les prérequis comme ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'21'13] Donc à nouveau, pour un élève en particulier, vous avez peu utiliser le fait qu'on fixer des objectifs pour l'ensemble de la classe en disant, ben, je voudrais que la, pour les deux semaines qui viennent, il travaille plutôt tel.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'21'26] Notions du référentiel, ça vous avez pas trop.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'21'29] Pas trop exploiter. Mais pour.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'21'31] Moi, c'était un peu de peur que du coup, il y avait qu'un exercice qui arrive pour tout le monde et je me retrouve avec tous les élèves qui vont dire euh, mais on a tous des [nom d’un jeu]. Parce que j'aimerais améliorer, moi, par exemple, plutôt ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'21'42] Je me disais non, faut que je parte sur des choses plus générales. Le manque de ressources a, euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'21'48] [chevauchements de paroles, incompréhensible]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'21'51] Ouais mais il y a aussi le fait que les, les branches du référentiel correspond à un type de jeu. Donc, c’est vrai que si on veut de la variété dans les jeux, euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'22'02] Ouais, il faut plusieurs objectifs. Après, on peut aussi considérer qu'on va travailler pendant un moment sur les maths, et donc c'est normal que ce soit du pas de problème. Ouais, mais là on perd la motivation.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'22'15] Parce que tout le temps même jeu.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'22'18] Même si c'est des problèmes différents.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'22'20] Ah ouais, là on les perd. Puis des fois, ils ont repéré qu’il y a des phrases où il y a juste un mot qui change. Ça ils l’ont tous relevé.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'22'29] Mais bon, je l'ai eu juste celle-là. Je lui dis mais à non, c’était un même, mais oui, il y a juste un prénom qui a changé.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'22'38] Ouais, il y a les petites feintes quand même.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'22'41] Après, si on est par exemple dans cette situation-là, puis qu'on décide, je ne sais pas, de vraiment bosser [nom d’un jeu] un certain temps, et ce qu'on fait, une petite séance, je ne sais pas, de dix, quinze minutes dans une leçon de math. Ou même plus court.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'22'50] Mais vraiment limiter le temps. Ils ont dix minutes, on s'entraîne, on s'entraîne, on s’entraîne.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'22'55] là, c’est sympa parce qu’il y a le feedback direct.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'22'58] Mais alors pas trente minutes comme ça, parce là c’est trop long.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'23'03] Oui, oui, mais, en fait, c'est une des manières, ce serait une manière de l'utiliser.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'23'09] La contrainte euh d'organisation elle va être forte, mais sinon enfin c’est ce que tu disais, réserver à l'avance tout ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'23'16] Mais sinon, oui, moi je trouve que ce serait une manière d'utiliser comme ça pour être un atelier.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'23'23] Pendant que les autres font une chose. Et soit, ça permet d'aimer son autonomie et te concentrer sur les autres ou, au contraire, d’être avec eux.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'23'30] Mais la question des groupes aussi, c'était, euh, est-ce que c'est mieux un groupe d'élèves?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'23'36] Avec des besoins comparables, soutenus par l'enseignant, avec l'écran qui sert d’interface.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'23'41] Ou est-ce que, est-ce que c'est mieux un groupe hétérogène, avec euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'23'47] Face à, euh. Moi, je trouve qu’après on retrouve de toutes les mêmes questions qu'on se poseait habituellement.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'23'53] Avec un autre outil.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'23'55] Du coup en imaginant qu’il y ait vraiment beaucoup de ressources.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'24'01] Pour tous les nouveau pour tout à coup, euh, il y en a.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'24'05] Énormément. Est-ce que ça serait envisageable de faire des objectifs par classe, à travailler?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'24'11] Tel ou tel objectif au fait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'24'13] Tout en sachant que la machine après adapte en fonction des. C'est ce que j’allais dire pour compléter, en fait, avec un objectif, des élèves avec des capacités différentes ont normalement des séries d'exercices différents.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'24'25] Si il n’y a jamais travaille avant. Tout le monde a une première série d'exercices, mais dès que le profil va se mettent à jour.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'24'33] Normalement derrière c’est diversifié. Et effectivement, tu peux changer l’intention.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'24'39] Ou sans mettre d'intention à ce moment là.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'24'41] Ça va être automatiquement, euh, c’est en mémoire. Ah ok.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'24'45] Mais quand même adapté. Oui.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'24'48] Donc finalement. A quoi ça sert de mettre une intention si finalement c’est adapté.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'24'52] C'est pas le même type, en fait, l'intention va d'être en rapport avec, euh. Vous avez peut-être, euh. Si, par exemple, je peux dire, bah, c'est ce cette partie du référentiel, je veux qu'il révise celui-là, je veux qu'il découvre, et en fait, on leur fera découvrir que s'ils ont les compétences pour le découvrir, sinon on va plus les orienter vers la révision.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'25'11] Donc en fait tu peux mettre trois objectifs pour l'ensemble de la classe.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'25'14] Et il y aura une priorité de travailler la division, ceux qui ont déjà acquis les éléments de base, ils pourront aller découvrir.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'25'22] Donc, en fait, tu fixes ton ensemble de classes en fonction de ce qu'ils ont à faire.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'25'27] Et selon les difficultés des élèves, ça va pousser dans certaines intentions. Certaines intentions ne donneront rien pour tes élèves.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'25'34] Découvre ça, on va dire ben non t’as pas les prérequis pour cet élément-là, je ne lui permet pas découvrir.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'25'39] Soutien là-dessus. Ben non, il maîtrise à fond. Je ne propose rien pour celui-là.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'25'43] Donc après.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'25'45] Tu peux mettre une révision sur un noeud qui arrive, qui permettrait, s'il n’a rien arrive, euh, à faire un soutien, s'il a rien à découvrir, et ben révision lui donnera toujours quelque chose. Donc en fait, selon les intentions. Les élèves qu’ont pas complet au même endroit, et ça permet d'avoir pour une casse quelque chose qui va s'adapter à chacun.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'26'05] Tandis que le mode par défaut de je ne sais pas quoi mettre sur mes révisions, ils vont tous travailler un peu de tout, mais pas le soutien, ou le perfectionnement, ou le, euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'26'15] Donc ça marche, mais c'est moins ciblées en fonction de ça c’est quelque chose qu’ils devraient connaître avant d'avancer. Ça, c'est quelque chose que seuls les meilleurs, ceux qui n'ont pas de difficulté vont aller voir.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'26'26] Révision. Ils feront de tout.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'26'30] Après moi. Je pense que c’est un outil qui doit vraiment être utilisé en autonomie. Si on met tout ça dedans, c'est bien.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'26'37] Mais il ne faudrait pas que ça vienne, euh, on dit ah tient on va''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'26'40] Travailler.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'26'42] L'accord d'un groupe nominal. Et pis que ça vienne toujours plus affiné sur six ou sept exercices à la suite, parce que c'est ça qui est barbant. Faut penser le logiciel en séquences de travail, puis dire, ben voilà, on prend ça pour cet aspect-là en orthographe.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'27'00] Je lance la lecture, puis à chaque fois de trois exercices maximum qui vient, qui viennent et on leur donne des filières, et pis au fil des semaines.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'27'08] Ils progressent dans, avec, justement, la possibilité d'aller plus loin ou pas, selon leurs compétences. Mais pas qu'on fasse dans des séries dans on se dit on va aller affiner affiner affiner.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'27'20] Et après on repart. C’est ça qui les démotive. Justement dans la stratégie.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'27'26] La stratégie du système de recommandation qu'effectivement un système d'ia. Elle est paramétrée par les enseignants et donc, en fait, les l'enseignant pourrait dire: je veux que sur une notion, on a plus que trois exercices, qui la fasse travailler comme ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'27'42] On dit au système: propose un petit peu de tout ça. Avec un calendrier intégré et puis sur des séquences.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'27'52] [rire]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'27'54] Non mais ça serait bien d’avoir un calendrier.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'27'56] Et pis, euh, on lance, et aussi avec les considérations matérielles, on réserve les machines sur ces trois semaines, ou ce mois. Puis les élèves ils vont avancer, et puis on sait que, tous les, chaque semaine y a ça, ça qui vient, et pis que l’enseignant il ne doive pas tout le temps aller avant chaque leçon dire il en était où il aurait plus besoin de''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'28'16] ci ou de ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'28'17] Ou en donne les, euh, on fixe des objectifs.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'28'21] Les prérequis, le test heu, de départ, et puis après, l’ia fait le travail avec des limitations, et pis euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'28'30] Le dispachage sur plusieurs leçons.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'28'40] Vous avez des questions.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'28'48] Il y avait une question qu’on avait zappé sur la qualité de la synthèse vocale. Ah oui, je n’avais pas compris cette question au fait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'28'57] Est-ce que, est-ce que, en fait, euh, est-ce que?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'29'01] C'est la voie ?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'29'02] Ouais, est-ce que ils l'ont utilisé, ils ont trouvé que la, c'était correct la lecture, la voix? On entendait ? Vous avez eu des retours, ils ont réagi là-dessus.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'29'12] Aucune info. Je pense qu'ils font avec au fait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'29'16] Oh on a eu deux trois élèves qui ont mis le son super fort d'un coup. Ça fait mal aux oreilles [rire]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'29'19] Oui pour [nom d’un école] je vais le retour du coup.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'29'26] Bonjour. Bonjour. J’arrive trop tôt ou trop tard ?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'29'31] Non non, tu arrives bien, on est non, on est en retard.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'29'35] On discute.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'29'38] Y a pas de problème.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'29'40] La, euh, c’est que fallait régler très souvent la, euh''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'29'44] La vitesse. Pour moi c'était trop vite, en fait, pis ils ne lisaient rien, au fait.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'29'50] Et donc du coup,''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'29'53] Le souci c’est qu’il fallait le faire à chaque fois, donc dès qu'il avait une nouvelle étape fallait revenir, euh, change euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'29'58] C’est les pitchs ou ne je sais plus quoi euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'30'01] Donc il y a ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'30'04] Et puis, sinon, ils font avec effectivement.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'30'07] Alors faudra voir un prénom.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'30'10] Les données spécifiquement, mais''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'30'13] Beaucoup l’on utilisé dans [nom d’un jeu].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'30'14] Regardez le truc ils disaient là en fait en écoutant.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'30'19] Il y a des stratégies sympa avec l'utilisation de la synthèse vocale. Je n'ai pas fait de focus dessus.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'30'23] Voilà pour [nom d’un école].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'30'28] Vous avez fait le tour.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'30'30] [nom d’un·e chercheureuse], tu veux?''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'30'33] J'ai une question plus.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'30'36] On vous a dit, il y a de l'ia dans un système adaptive learning pour vos élèves.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'30'41] Est-ce que ça vous avez fait peur, puisque vous avez voulu chercher à comprendre ce que c'était l'ia, et ça a impacté, ou est-ce que''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'30'50] Il y avait un logiciel, c’était bien.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'30'52] Moi, je me suis dit super, ça va gérer ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'30'55] Pas d'appréhension? Pas du tout d’appréhension.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'31'01] On en a déjà un peu parlé avant, quand on s'était vus pendant les vacances de noël. Du coup, c'est assez clair.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'31'06] Parce qu’il y a eu un discours.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'31'08] Un dialogue avec l'équipe. Oui, j'ai déjà pu déposer.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'31'12] [incompréhensible]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'31'18] Mais c'était avant de l’expérimenter. Oui, donc, là, maintenant ? La question c'était ce qu'on allait continuer ou pas? parce que le monde était censé capter la première partie. Ouais, ouais, exact, c'est vrai.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'31'30] C’est vrai que moi, quand j'ai entendu ça, c’est quelque chose qui m’a méga motivé, parce que c'est quelque chose qui me fait un peu peur, parce que je connais pas grand chose au monde informatique, de base.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'31'37] Je me disais, mais de pouvoir confronter un peu à ça, mais dans un cadre régulier.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'31'42] Je trouvais cool de pouvoir appréhender un peu ce monde-là de cette manière-là.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'31'50] Ce que tu viens de dire, qu'il va en lien avec l’ia. C'est aussi pour ça que vous avez eu les quatre fois, les quatre occurrences de [test de lecture-compréhension].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'31'58] [rire] Parce qu’on ne savait pas si vous continueriez.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'32'00] Parce que entre décembre et janvier, finalement c’était assez court, on aurait pu dire qu’on en shooté un, et dire qu’on faisait pareil, parce qu’au niveau du temps, c'était quasiment pareil quoi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'32'14] Pour l’élève quoi. Mais que je craigne que pour l’analyse [rire]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'32'18] Du coup ça serait intéressant [incompréhensible].''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'32'33] Juste le temps pour rebondir sur cette question. Autour de l'ia, est-ce que y a eu le souhait de comprendre ce que faisait la machine? il y a une confiance qui était donnée parce que, derrière, il y a une équipe qui a bossé dessus.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'32'46] Alors moi, c'était ça, je suis de loin pas, je suis.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'32'50] Très loin de ce monde, je me suis dit il y a une équipe de chercheurs de [nom de l’université] qui gère, euh''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'32'55] On y va quoi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'32'58] Pas du tout, aucune appréhension, on vous fait confiance [rire]''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'33'02] Le fait d'avoir vu que à partir du moment que, avec ça, les enfants qui avaient des difficultés étaient directement plus à l'aise.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'33'10] Les enfants qui avaient la facilité. Ils ont pris un coup de boost. Va, ça nous a aussi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'33'16] Rassuré là-dedans.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'33'19] Bon bah, ça part dans la même direction. Mais c'est la bonne ia.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'33'23] C'est grâce à l'ia au service des apprentissages, c'est pas l'ia qui fait, à la place de. Parce que, celle là, c’est notre ennemi.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'33'32] En orthographe, à rédiger une lettre.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'33'34] Je veux dire, pour nous, notre ennemi, comme enseignants.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'33'37] On leur donne un GPS, une ia.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'33'41] Mais là, c’est au service des apprentissages. Et pis c’est un travail aussi, quoi, je veux dire, c'est tellement un gros travail de différencier pour chaque élève, on n'a pas le temps de le faire pour chaque enfant. Pis là on a une application qui nous permet justement de différencier, euh.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'34'02] Minimes par minimes. Donc. Pour nous, c'est du pain béni quoi, on pourrait jamais faire, euh, vingt-sept enfin nous on en a vinght-sept parcours individualisés on ne pourrait quand même pas le faire. Donc.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'34'12] C'est comme tu dis une bonne ia. Ça me fait gagner un temps fou.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'34'17] C'est rejoint par l'équipe du [nom d’une école] aussi, qui m’a dit que, pareil.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'34'22] C’était un bon outil pour différencier et que elle verrait plutôt l'utilisation aussi une fois par semaine, comme vous.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'34'29] Ou elle prendrait un coup, euh, donc, laisser tout le temps l’adaptive learning, mais laisser les élèves.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'34'35] En demi groupe, un, qui aurait de base plus de facilité et qui resteraient en autonomie à jouer.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'34'41] En général, cela pose pas problème. Et ceux qui ont plus la peine, rester avec eux. Et puis,''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'34'48] Les aider dans la manipulation, la boîte à outils, dans le vocabulaire, etc. Être là avec jusqu'à ce qu'il gagne en autonomie.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'34'55] Elles, euh, elles prévoyaient de faire plutôt quelque chose comme ça.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'34'58] Hum.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'35'02] Après, comme on l'a relevé, c'est très appréciable d'avoir un support qui est là.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'35'08] En pratique, ça sera pas le cas j’imagine.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'35'11] Après.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'35'13] Peut être encore le cas pour pour le semestre prochain. S’il y a des utilisations.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'35'19] Mais notre but c’est que vous soyez indépendants. Qu’il n’y ait plus de besoin, qu’il n’y ait pas de problème.''&lt;/small&gt;

&lt;small&gt;''[01'35’22] Ou alors un chat robot qui nous répond [rire].''&lt;/small&gt;</text>
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    <title>Discussion Recherche:Runed26/Revue par les pairs/Capabilités enseignantes, ou lorsque la complexité légitime le recours à un numérique impénétrable</title>
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      <text bytes="2569" sha1="5l8zsuq31mhrfd0p9yrafl9hzks29ka" xml:space="preserve">== L'article s'inscrit-il adéquatement dans le champ des approches critiques du numérique en éducation et formation? ==
Participer à la critique constructive de cet article sur la base de la question ci-dessus. [[Utilisateur:Alvarez Lionel|Alvarez Lionel]] ([[Discussion utilisateur:Alvarez Lionel|discuter]]) 10 septembre 2026 à 19:14 (UTC)

== L’article est-il scientifiquement pertinent, tant dans son recours aux cadrages théoriques, qu’à la qualité des collectes de données et analyses, et qu’aux nuances dans la discussion? ==
Participer à la critique constructive de cet article sur la base de la question ci-dessus. [[Utilisateur:Alvarez Lionel|Alvarez Lionel]] ([[Discussion utilisateur:Alvarez Lionel|discuter]]) 10 septembre 2026 à 19:14 (UTC)

== Le manuscrit compte-t-il entre 3 000 et 7 000 mots (sans compter le résumé, la bibliographie et les annexes). Le cas échéant, comment faudrait-il l'allonger/le raccourcir? ==
Participer à la critique constructive de cet article sur la base de la question ci-dessus. [[Utilisateur:Alvarez Lionel|Alvarez Lionel]] ([[Discussion utilisateur:Alvarez Lionel|discuter]]) 10 septembre 2026 à 19:15 (UTC)

== Le résumé est-il compréhensible pour un non-spécialiste? ==
Participer à la critique constructive de cet article sur la base de la question ci-dessus. [[Utilisateur:Alvarez Lionel|Alvarez Lionel]] ([[Discussion utilisateur:Alvarez Lionel|discuter]]) 10 septembre 2026 à 19:15 (UTC)

== Le cas échéant, toutes les images sont-elles sous licence libre (CC BY, CC BY-SA ou domaine public) — de préférence sur Wikimedia Commons? ==
Participer à la critique constructive de cet article sur la base de la question ci-dessus. [[Utilisateur:Alvarez Lionel|Alvarez Lionel]] ([[Discussion utilisateur:Alvarez Lionel|discuter]]) 10 septembre 2026 à 19:16 (UTC)

== Le texte du manuscrit est-il clair, correct, concis, compréhensible et cohérent (les « 5 C ») ? ==
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== Le texte manuscrit peut-il être publié ? Oui / Oui avec modifications mineures [précisez] / Oui avec modifications majeures [précisez] / Non [justifiez] ==
Participer à la critique constructive de cet article sur la base de la question ci-dessus. [[Utilisateur:Alvarez Lionel|Alvarez Lionel]] ([[Discussion utilisateur:Alvarez Lionel|discuter]]) 14 septembre 2026 à 11:02 (UTC)</text>
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== L’article est-il scientifiquement pertinent, tant dans son recours aux cadrages théoriques, qu’à la qualité des collectes de données et analyses, et qu’aux nuances dans la discussion? ==
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== Le manuscrit compte-t-il entre 3 000 et 7 000 mots (sans compter le résumé, la bibliographie et les annexes). Le cas échéant, comment faudrait-il l'allonger/le raccourcir? ==
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== Le résumé est-il compréhensible pour un non-spécialiste? ==
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== Le cas échéant, toutes les images sont-elles sous licence libre (CC BY, CC BY-SA ou domaine public) — de préférence sur Wikimedia Commons? ==
Participer à la critique constructive de cet article sur la base de la question ci-dessus. [[Utilisateur:Alvarez Lionel|Alvarez Lionel]] ([[Discussion utilisateur:Alvarez Lionel|discuter]]) 10 septembre 2026 à 19:16 (UTC)

== Le texte du manuscrit est-il clair, correct, concis, compréhensible et cohérent (les « 5 C ») ? ==
Participer à la critique constructive de cet article sur la base de la question ci-dessus. [[Utilisateur:Alvarez Lionel|Alvarez Lionel]] ([[Discussion utilisateur:Alvarez Lionel|discuter]]) 10 septembre 2026 à 19:16 (UTC)

== Le texte manuscrit peut-il être publié (évaluation de la qualité scientifique et de la forme) ? Oui / Oui avec modifications mineures [précisez] / Oui avec modifications majeures [précisez] / Non [justifiez] ==
Participer à la critique constructive de cet article sur la base de la question ci-dessus. [[Utilisateur:Alvarez Lionel|Alvarez Lionel]] ([[Discussion utilisateur:Alvarez Lionel|discuter]]) 14 septembre 2026 à 11:02 (UTC)</text>
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